Matematika 1 - 7.3 Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama

Primjer 1.

Mirta je počela trčati i kretala se stalnom brzinom od $6$ kilometara na sat. Slaven je krenuo $10$ minuta nakon nje i trčao stalnom brzinom od $9$ kilometara na sat. Hoće li Slaven prestići Mirtu? Kada?

Ovaj ćemo problem riješiti grafički. Popunimo tablice koje povezuju vrijeme u minutama nakon što je Mirta počela trčati i udaljenost koju su prešli.

Mirta:

$t$ ( $\min$ )
$0$ $20$ $40$ $60$

$s$ ( $km$ )
$0$ $2$ $4$ $6$

Slaven:

$t$ ( $\min$ )
$10$ $30$ $50$ $70$

$s$ ( $km$ )
$0$ $3$ $6$ $9$

Ucrtajmo te točke u koordinatni sustav. Budući da Mirta i Slaven trče stalnom brzinom, ovisnost je linearna pa točke leže na pravcu. Povežimo ih.

Na slici su dva pravca u koordinatnom sustavu.

Uočimo da se ova dva grafa sijeku u točki s koordinatama $(30, 3),$ odnosno kada je $t = 30$ minuta i $s = 3$ kilometra, što znači da će Slaven prestići Mirtu $30$ minuta nakon što je ona počela trčati i prešla $3 km .$

Zadatak 2.

Zapišite odgovarajuće linearne jednadžbe iz primjera i riješite sustav računski.

Mirta: $y = \frac{1}{10} x$
Slaven: $y = \frac{3}{20} x - \frac{3}{2}$

Rješenje je $x = 30, y = 3 .$

Za rješavanje sustava dviju jednadžbi s dvjema nepoznanicama nacrtamo oba pravca. Rješenje sustava je uređeni par koji odgovara točki u kojoj se pravci sijeku.

Grafička metoda rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama pogodna je kada se točka presjeka može jednostavno očitati. Možemo je koristiti i u slučajevima kada je potrebno odrediti približno rješenje ili broj rješenja sustava.

Rješenje kojeg od navedenih sustava linearnih jednadžbi jest grafički prikazano u koordinatnom sustavu?

\{\begin{cases} - 3 x - y = 1 \\ 2 x + y = 6 \end{cases}

\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \\ 2 x - y = 6 \end{cases}

\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \\ 2 x + y = 6 \end{cases}

\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \\ 2 x - y = 6 \end{cases}

null

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Na kojoj je od navedenih slika prikazano grafičko rješenje sustava $\{\begin{cases} y = 3 x + 1 \\ - 8 x - y = 10 \end{cases} ?$

Na slici su dva pravca koji se sijeku u točki (-1,-2)

Na slici su dva pravca koji se sijeku u točki ((-5,4)

Na slici su dva pravca koji se sijeku u točki (3,2)

null

Zadatak 4.

U koordinatnom sustavu prikazano je grafičko rješenje sustava jednadžbi:

- x +

y =

x + y =

null

Zadatak 5.

Povežite sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice i njegovo rješenje, koristeći grafičko rješenje sustava.

Na slici su tri pravca. Po dva pravca se sijeku redom u točkama A(-4,3), B(-1,-4), C(6,4)

$\{\begin{cases} 7 x + 3 y = - 19 \\ - x + 10 y = 34 \end{cases}$	$x = - 1, y = - 4$
$\{\begin{cases} 7 x + 3 y = - 19 \\ 8 x - 7 y = 20 \end{cases}$	$x = - 4, y = 3$
$\{\begin{cases} - x + 10 y = 34 \\ 8 x - 7 y = 20 \end{cases}$	$x = 6, y = 4$

null

Zatvori

...i na kraju

Unesite koeficijente u sustav linearnih jednadžbi te procijenite rješenje.

Projekt

Ana i Marko rješavali su sustav jednadžbi $\{\begin{array}{l} x + y = \frac{7}{3} \\ 1.01 x + y = 2 \end{array}$

Ana je rješavala sustav točno s brojevima koji su zapisani. Marko više voli računati s decimalnim brojevima pa je razlomak $\frac{7}{3}$ zapisao kao $2 . \dot{3} .$ Zaključio je da može zaokružiti $2 . \dot{3}$ na $2.3$ jer je pogreška u drugoj decimali pa to sigurno neće jako utjecati na rezultat.

Tako je došao do sustava $\{\begin{array}{l} x + y = 2.3 \\ 1.01 x + y = 2 \end{array}$ kojeg je riješio.

Riješite sustav kao Ana i kao Marko. Je li Marko bio u pravu? Prikažite oba sustava grafički. Opišite što uočavate i obrazložite što se dogodilo. Napišite dva sustava jednadžbi koja će imati isto svojstvo kao sustavi u ovom primjeru.