8.8 Sličnost

Sličnost trokuta

Primjer 1.

Kada su dva trokuta slična, odnosno kada su istoga oblika?

Nacrtajmo dva slična trokuta.

Što možemo reći o njima? U čemu se ogleda njihov isti oblik?

Očito im se kutovi podudaraju.

Proučimo u interakciji još jedno svojstvo sličnih trokuta.

Ako su dva trokuta slična, tada su im odgovarajuće stranice proporcionalne, odnosno

$△ABC\sim △A\text{'}B\text{'}C\text{'}\Rightarrow \frac{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B\text{'}C\text{'}\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A\text{'}C\text{'}\right|}{\left|AC\right|}.$

Omjer duljina odgovarajućih stranica sličnih trokuta naziva se koeficijent sličnosti.

Zadatak 2.

Na slici su prikazana dva slična trokuta. Izračunajte nepoznate duljine stranica.

Kada ćemo za neka dva trokuta moći zaključiti da su slični?

Poučci o sličnosti trokuta

Znamo u kakvu su međusobnom odnosu duljine stranica sličnih trokuta. Proučimo sada kakvi su trokuti kojima su duljine stranica proporcionalne.

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sličnosti trokuta.

Zadatak 3.

Provjerite.

Primjer 2.

Za dva slična trokuta $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ vrijedi $\frac{a\text{'}}{a}=\frac{b\text{'}}{b}=\frac{c\text{'}}{c}=k.$ Možemo li reći u kakvu su odnosu opsezi tih trokuta?

Proučimo u interakciji.

Zadatak 4.

Dokažite dobivenu tvrdnju.

Neka su $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ slični trokuti s koeficijentom sličnosti $k.$ Tada je $\frac{o\text{'}}{o}=k,$ tj. opsezi sličnih trokuta odnose se kao omjeri odgovarajućih stranica trokuta.

Zadatak 5.

Duljine stranica jednoga trokuta iznose $6\mathrm{cm},$ $18\mathrm{cm}$ i $21\mathrm{cm},$ a najkraća stranica njemu sličnog trokuta iznosi $4\mathrm{cm}.$ Izračunajte opseg drugoga trokuta.

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im dva kuta sukladna. Ovaj poučak nazivamo K-K poučak o sličnosti trokuta.

S-K-S poučak o sličnosti trokutaDva su trokuta slična ako i samo ako im je jedan kut sukladan, a stranice uz taj kut proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sličnosti trokuta.

 Neka su dana dva trokuta $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ takva da je $\angle BAC\cong \angle B\text{'}A\text{'}C\text{'}$ i $\frac{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|A\text{'}C\text{'}\right|}{\left|AC\right|}.$

Budući da su kutovi u vrhu $A$ i $A\text{'}$ sukladni, trokute možemo preklopiti na sljedeći način.

Prema obratu Talesova poučka, stranice $\overline{BC}$ i $\overline{B\text{'}C\text{'}}$ paralelne su. Iz toga slijedi da su i ostala dva kuta trokuta sukladna pa su trokuti slični.

Zadatak 6.

Na stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $D$ i $E$ takve da je $\left|AD\right|=27,\left|BE\right|=7,\left|CD\right|=6,\left|CE\right|=11.$ Dokažite da je $△ABC\sim △EDC.$

Kut u vrhu $C$ zajednički je. Dokažimo još proporcionalnost stranica.

Izračunajmo duljine stranica trokuta $ABC$ koje odgovaraju stranicama $\overline{EC}$ i $\overline{BD}.$ To su $\left|AC\right|=33,\left|BC\right|=18.$

Provjerimo omjere $\frac{\left|AC\right|}{\left|EC\right|}=\frac{33}{11}=3,$ $\frac{\left|BC\right|}{\left|BD\right|}=\frac{18}{6}=3,$ što znači da su duljine odgovarajućih stranica proporcionalne pa su trokuti slični.

Računanje trokuta koristeći sličnost

Uočili smo već da su opsezi sličnih trokuta također proporcionalni. Što je s ostalim mjerivim elementima trokuta kao što su visina, težišnica, površina?

Zadatak 7.

Dokažite da su visine sličnih trokuta proporcionalne.

Poredajte korake dokaza.

• po K-K poučku ​ $\Rightarrow △ANC\sim △A\text{'}N\text{'}C\text{'}$ 
• $\angle CNA\cong \angle C\text{'}N\text{'}A\text{'}$
  
  
  
  
  
• $\Rightarrow \frac{v\text{'}}{v}=\frac{\left|A\text{'}C\text{'}\right|}{\left|AC\right|}=k$  
• $\angle BAC\cong \angle B\text{'}A\text{'}C\text{'}\mathrm{i}$ 
  

null

null

Analogno se dokaže za ostale visine u trokutu.

Neka su $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ slični trokuti s koeficijentom sličnosti $k.$ Tada je $\frac{v_{a\text{'}}}{v_a}=\frac{v_{b\text{'}}}{v_b}=\frac{v_{c\text{'}}}{v_c}=k,$ tj. visine sličnih trokuta odnose se kao omjeri odgovarajućih stranica trokuta.

Kutak za znatiželjne

Dokažite sami slične tvrdnje za težišnice i simetrale kutova sličnih trokuta.

Možemo li isto tvrditi za površine sličnih trokuta? Pogledajmo u interakciji.

Što smo zaključili?

Neka su $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ slični trokuti s koeficijentom sličnosti $k.$ Tada je $\frac{p\text{'}}{p}=k^2,$ tj. površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati omjera odgovarajućih stranica trokuta.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Dokažite ovu tvrdnju.

Rješenje

Neka su​ $p$ i $p\text{'}$ površine sličnih trokuta. Tada je

$\frac{p\text{'}}{p}=\frac{\frac{1}{2}a\text{'}·v_{a\text{'}}}{\frac{1}{2}a·v_a}=\frac{a\text{'}}{a}·\frac{v_{a\text{'}}}{v_a}=k·k=k^2.$

---

Zadatak 9.

Riješite sljedeće zadatke.

Zadane su duljine kateta pravokutnog trokuta $a=10,b=14.$ Površina toga trokuta jest ${\mathrm{cm}}^2.$
Duljina kraće katete njemu sličnoga trokuta jest $a\text{'}=6\mathrm{cm}.$ Koeficijent sličnosti jest $\frac{a\text{'}}{a}=$ . Površina sličnog trokuta iznosi ${\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

null

null

Zatvori