Aktivnosti za samostalno učenje

Tri sa tri

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zbroj znamenaka troznamenkastog broja jest $12.$ Broj zapisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku veći je za $99$ od početnog broja. Ako je zbroj znamenaka jedinica i desetica dvostruko veći od znamenke stotica, odredite početni broj.

Početni broj možemo zapisati kao $\overline{abc}=100a+10b+c$ gdje su  $a,b,c$ znamenke. Tada je $\left(a,b,c\right)$ rješenje sljedećih jednadžbi:

$100a+10b+c-99=100c+10b+a$

$a+b+c=99$  

$a+b+c=12$ 

$b+c=2a$  

$a-c=1$

$a+2b=c$  

null

null

Rješenje

Znamenke traženog troznamenkastog broja rješenje su sustava:

$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=12\\ a-c=1\\ 2a-b-c=0\end{array}\right.$

Traženi broj je $453.$

---

Zadatak 3.

Dino je negdje pročitao da se lako uštedi novac prikupljajući kovanice. Stoga je pripremio tri kasice: jednu za kovanice od jedne kune, jednu za kovanice od $2$ kune i jednu za kovanice od $5$ kuna. Svi su ukućani pripomogli i odlagali svoje kovanice u kasice, pa je nakon dva mjeseca Dino prepune kasice odnio u banku. Na njegov je račun uplaćen ukupan iznos od $492$ kune, a ukupno je bilo $180$ kovanica. Ukupan broj kovanica od jedne kune i od pet kuna bio je za $20$ veći od broja kovanica od $2$ kune.

Koliko je Dino prikupio kovanica od svake vrste?

 ​

Sustav jednadžbi kojim dolazimo do rješenja jest
$x+y+z=$
$x+2y+5z=$   
$x-y+z=$ 

null

null

Zatvori

Kramerovo pravilo

 Zašto oznaka $\left|\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc?$

Zadatak 4.

 Ako je  $\left\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}\right.$ sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama koji ima rješenje $\left(x,y\right),$ tada vrijedi:

$\frac{\left|\begin{array}{ll}e& b\\ f& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right|}$	=x=y
$\frac{\left|\begin{array}{ll}a& e\\ c& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right|}$	=x=y

null

null

Primjer 1.

Riješimo sustav $\left\{\begin{array}{l}-2x+7y=1\\ 4x-3y=11\end{array}\right.$ koristeći determinante.

Pri rješavanju sustava pomoću determinanti koristit ćemo sljedeće oznake:

$D=\left|\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc,$

$D_x=\left|\begin{array}{ll}\mathbf{e}& b\\ \mathbf{f}& d\end{array}\right|=de-bf,$

$D_y=\left|\begin{array}{ll}a& \mathbf{e}\\ c& \mathbf{f}\end{array}\right|=af-ce.$

Uočite da su u determinanti  $D$ koeficijenti sustava koji stoje uz nepoznanicu $x$ u prvom stupcu, a oni koji su uz nepoznanicu $y$ u drugom.​

Kod determinante $D_x$ prvi je stupac (iz  $D$) zamijenjen slobodnim članovima sustava $e,f.$

Kod determinante $D_y$ drugi je stupac (iz $D$) zamijenjen slobodnim članovima sustava $e,f.$

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama $\left\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}\right.$ može se riješiti pomoću determinanti drugog reda.

Tada za $ad-bc\ne 0$ rješenje sustava $(x,y)$ računamo prema:

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{\left|\begin{array}{ll}e& b\\ f& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{ed-bf}{ad-bc}$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a& e\\ c& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{af-ce}{ad-bc}$ 

Ova se metoda rješavanja još naziva i Cramerovo pravilo.

Zanimljivost

Gabriel Cramer bio je švicarski matematičar (Ženeva, 31. VII. 1704 – Bagnols-sur-Cèze, 4. I. 1752).

Doktorirao (1722.) na Sveučilištu u Ženevi gdje je i radio.

Njegov Uvod u analizu algebarskih krivulja jedan je od prvih radova s područja analitičke geometrije. U njemu je raspravljao o algebarskim krivuljama i opisao način rješavanja sustava linearnih jednadžbi s pomoću determinanti koji se danas naziva Cramerovo pravilo.

Kutak za znatiželjne