Matematika 1 - 8.9 Euklidov poučak

Na početku...

Slika prikazuje razred. Jedan učenik kaže: U pravokutnom je trokutu jedna kateta geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije te katete na hipotenuzu.

Ima li učenik Vedran pravo? Proučimo.

Podsjetimo se što je geometrijska sredina dvaju brojeva.

Neka su $a, b, g$ pozitivni realni brojevi. Broj $g$ jest geometrijska sredina brojeva $a$ i $b$ ako i samo ako vrijedi $\frac{a}{g} = \frac{g}{b} .$

To još drugačije zapisujemo $g = \sqrt{a b} .$

Euklidov poučak

Praktična vježba

Pogledajte animaciju.

Ponovite korake iz animacije rezanjem trokuta od papira.

Što zaključujete? Uočavate li sličnost trokuta?

Primjer 1.

Obrazložimo postupak rezanja trokuta matematičkim jezikom.

Na slici je pravokutni trokut. Nacrtana je visina na hipotenuzu i označene su ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzu.

Neka je $A B C$ pravokutni trokut duljine kateta $a$ i $b$ i duljina hipotenuze $c .$

Označimo s $D$ nožište visine spuštene na hipotenuzu trokuta, a s $p = |B D|$ i $q = |A D|$ ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzu te kutove $α$ i $β .$

Na slici je pravokutni trokut. Visinom na hipotenuzu podijeljen je na dva trokuta.

Uočimo sukladne kutove.

Mjera kuta $∠ B D C = 90 °$ pa je mjera kuta $∠ D C B = 90 ° - β$ što je jednako $α .$ Slično je mjera kuta $∠ A C D = β .$

Na slici su označeni sukladni kutovi. Trokuti $△ A B C,$ $△ A C D$ i $△ C B D$ imaju sva tri kuta sukladna. Prema definiciji sličnosti trokuta sva su tri trokuta slična.

Iz $△ A B C \sim △ C B D$ slijedi da je $\frac{c}{a} = \frac{a}{p},$ odnosno $a = \sqrt{c p} .$

Usporedimo li ovaj izraz s Vedranovom tvrdnjom na početku, vidimo da je imao pravo.

Neka su $a$ i $b$ katete, a $c$ hipotenuza pravokutnog trokuta $A B C$ i neka je $D$ nožište visine $v$ spuštene iz vrha $C$ na hipotenuzu. Neka su $p = |D B|$ i $q = |A D|$ duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu. Tada vrijedi:

$a = \sqrt{c p}$

$b = \sqrt{c q}$

$v = \sqrt{p q} .$

Na isti način izvedite preostale dvije tvrdnje pomoću sličnih trokuta.

Iz $△ A B C \sim △ A C D$ slijedi da je $\frac{c}{b} = \frac{b}{q},$ odnosno $b = \sqrt{c q} .$

Iz $△ A C D \sim △ C B D$ slijedi da je $\frac{q}{v} = \frac{v}{p},$ odnosno $v = \sqrt{p q} .$

Kutak za znatiželjne

Vrijedi li obrat Euklidovog poučka?

Ako je točka $D$ nožište visine trokuta $A B C$ spuštene iz vrha $C$ i vrijedi da je $|C D| = \sqrt{|A D| \cdot |B D|},$ možemo li zaključiti da je trokut $A B C$ pravokutan?

Provjerite.

Pročitajte više na http://mis.element.hr/fajli/526/04-08.pdf.

Primjena Euklidova poučka

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

U pravokutnom je trokutu $p = 12,$ a $q = 3 .$ Izračunajte duljine kateta toga trokuta i duljinu visine na hipotenuzu.

$c = p + q = 15,$ $a = \sqrt{c p} = \sqrt{15 \cdot 12} = 6 \sqrt{5},$ $b = \sqrt{c q} = \sqrt{15 \cdot 3} = 3 \sqrt{5},$ $v = \sqrt{p q} = \sqrt{12 \cdot 3} = 6$

Zadatak 2.

Odredite površinu pravokutnog trokuta $A B C$ ako je $c = 24, p : q = 1 : 7 .$

$p = 3, q = 21, v = \sqrt{p q} = \sqrt{63}$

$p = \frac{1}{2} c \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sqrt{63} \approx 95.25$

Zadatak 3.

Odredite duljine stranica pravokutnog trokuta ako je $q = 25, v = 60 .$

$v = \sqrt{p q} \Rightarrow p = \frac{v^{2}}{q} = 144 \Rightarrow c = 169$

$a = \sqrt{c p} = \sqrt{144 \cdot 169} = 156$

$b = \sqrt{c q} = 65$

Zadatak 4.

Slika prikazuje primjenu Euklidovog poučka.

Tena tvrdi da pomoću bilježnice iz matematike, koristeći Euklidov poučak, može približno izračunati visinu žirafe u zoološkom vrtu. Kako?

Tena je visoka $172 cm,$ a žirafa je visoka oko $5.5$ metara. Na kojoj udaljenosti od žirafe Tena mora stajati da bi izmjerila njezinu visinu?

Na udaljenosti od oko $2.5$ metara.

Zatvori

...i na kraju

Slika je ilustracija Pitagorinog poučka.

Izvedite Pitagorin poučak iz Euklidova poučka.

$a = \sqrt{c q} \Rightarrow a^{2} = c q,$ $b = \sqrt{c p} \Rightarrow b^{2} = c p,$ $a^{2} + b^{2} = c q + c p = c (q + p) = c \cdot c = c^{2}$

Ako u pravokutnom trokutu na slici vrijedi da je

$|X W| \cdot |W Z| = {|W Y|}^{2},$ označite pravilno preostale vrhove trokuta.

Na slici je pravokutni trokut s vrhom X i nožištem visine W.

null

Na slici je pravokutni trokut s visinom na hipotenuzu.

U trokutu

P R Q

na slici točka

S

nožište je visine iz vrha

P .

Nadopunite:

∠ R P S ≅ ∠

\frac{R S}{R P} = \frac{R P}{x}, x =

\frac{R S}{x} = \frac{P S}{Q S}, x =

null

Visina na pravokutnog trokuta jest sredina odsječaka i na koje ta visina dijeli .

null

Duljina jedne katete pravokutnog trokuta iznosi

6 cm,

a duljina njezine ortogonalne projekcije jest

3.6 cm .

Duljina hipotenuze toga trokuta jest

cm .

null

Nožište visine na hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli tu hipotenuzu na dijelove čije su duljine u omjeru $9 : 4 .$ Kolika je duljina hipotenuze trokuta ako je površina trokuta jednaka $156 {cm}^{2} ?$

8

12

18

26

null

Duljina jedne katete pravokutnog trokuta iznosi $20 cm,$ a duljina visine na hipotenuzu jest $12 cm .$ Opseg toga trokuta jest $50 cm ?$

60 cm

null

ZAVRŠITE PROCJENU

8.9 Euklidov poučak

Na početku...

Euklidov poučak

Praktična vježba

Kutak za znatiželjne

Primjena Euklidova poučka

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

8.10 Primjena sukladnosti i sličnosti