x
Učitavanje

7.1 Sustav linearnih jednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je polica s knjigama.

Maja razmišlja o još jednoj polici za svoju sobu. Ima na raspolaganju 8 m daske. Želi policu kao na slici. Pomozite Maji i predložite neke dimenzije police.

Zadatak 1.

Od raspoloživih 8 m daske treba napraviti 5 vodoravnih i 2 vertikalna dijela police. Označimo duljinu vodoravnog dijela u centimetrima s​ x , a duljinu vertikalnog dijela u centimetrima s y . Nadopunite rečenice.

  1. Za vodoravne dijelove potrebno je x cm daske. Za vertikalne dijelove potrebno je y cm daske. Ukupno je za policu potrebno cm daske.
    Maja ima na raspolaganju 800 cm daske. Možemo zapisati .
    null
    null
  2. Maja može napraviti policu s 80 cm dugim horizontalnim policama i 200 cm dugim vertikalnim.

    null
    null
  3. Maja može napraviti policu s 200 cm dugim horizontalnim policama i 80 cm dugim vertikalnim.

    null
    null
  4. Maja razmatra neke moguće duljine horizontalnih ( x ) i vertikalnih ( y ) dijelova police. Koristeći vezu 5 x + 2 y = 800 izračunajte nepoznate veličine i postavite vrijednosti na odgovarajuća mjesta u tablici. ​

    Na slici je tablica. Vrijednosti varijable x su 90, 105, 125. Vrijednosti varijable y su 100, 125, 135.

      87.5  

      175  

      137.5

      120

      110

      106

    null
    null

Zadatak 2.

U prethodnom smo zadatku dobili jednadžbu​ 5 x + 2 y = 800 . U jednadžbi se pojavljuju dvije nepoznate veličine pa ćemo ju zvati linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama. Rješenje jednadžbe jest uređeni par brojeva koji uvršteni u jednadžbu umjesto nepoznanica daju istinitu jednakost. Označite točne odgovore.

  1. Uređeni parovi brojeva ​ x , y prikazani u tablici rješenja su jednadžbe 5 x + 2 y = 800 .

    x   100 110 120 125
    y   150 125 100 87.5

    null
    null
  2. Uređeni parovi brojeva ​ x , y prikazani u tablici rješenja su jednadžbe 5 x + 2 y = 800 .

    x   150 125 100 87.5
    y   100 110 120 125

    null
    null

Rješenje linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama

Linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama jest jednadžba oblika ​ a x + b y = c gdje su a , b , c zadani realni brojevi od kojih a i b nisu oba jednaka 0 . S x , y označene su nepoznanice.

Rješenje linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama jest svaki uređeni par s , t takav da uvrštavanjem vrijednosti s umjesto varijable x i vrijednosti t umjesto varijable y dobivamo istinitu jednakost.

Zadatak 3.

Označite točan odgovor.

  1. Uređeni par ​ 6,15 rješenje je jednadžbe 2 3 x - 1 5 y = 1 .

    null
    null
  2. Uređeni par 15,6 rješenje je jednadžbe 2 3 x - 1 5 y = 1 .

    null
    null

Zadatak 4.

Ako je poznata linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama za svaku zadanu vrijednost jedne nepoznanice, možemo izračunati vrijednost druge nepoznanice.

Ako je 2.3 x - 4 y = 3.5 ​ i x = - 5 , onda je y = .
null
null

Primjer 1.

Na slici je skica zemljišta uz kuću.

Ante želi s tri strane ograditi dio zemljišta uz kuću kao na slici. Ima na raspolaganju 10 m žice. Pomaknite crvenu točku u interakciji. Kojih dimenzija može biti ograđeno zemljište? Koliko ima rješenja?


Povećaj ili smanji interakciju

Kako Ante ima na raspolaganju 10 m žice, mora vrijediti ​ 2 x + y = 10 . Osim toga, veličine x i y moraju biti pozitivne. Iz toga zaključujemo da je x 0,5 i y 0,10 . Ima beskonačno mnogo rješenja jer za svaki odabrani x možemo izračunati odgovarajuću vrijednost y .


Rješenja linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama uređeni su parovi​ x , y . Linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama ima beskonačno mnogo rješenja. Za svaku zadanu vrijednost jedne nepoznanice možemo izračunati vrijednost druge.

Sustav linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama

Zadatak 5.

  1. Označite uređene parove koji su rješenja jednadžbe ​ 2 x - 3 y = - 7 .

    null
    null
  2. Označite uređene parove koji su rješenje jednadžbe - x + 5 y = 21 .

    null
    null
  3. Označite uređene parove koji su rješenje obiju jednadžbi:​ 2 x - 3 y = - 7 i - x + 5 y = 21 .

    null
    null

Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama uređeni je par koji je rješenje jedne i druge jednadžbe.

Zadatak 6.

Povežite sustav jednadžbi s uređenim parom koji je rješenje sustava.

 

3.4 x - 2.9 y = 1 1.2 x + 3.8 y = 2   ​
59 10 , 67 25   ​
- 3 x + 2.5 y = - 11 x - 5 y = - 7.5  
- 1.8,16.8   ​
- 2 3 x + 1 6 y = 4 2 x + 1 3 y = 2  
24 41 , 14 41   ​
null
null

Diofantske jednadžbe

Kutak za znatiželjne

U linearnim jednadžbama s dvjema nepoznanicama koje smo promatrali rješenje je bio uređeni par realnih brojeva. U mnogim praktičnim primjerima nepoznanice su po prirodi zadatka cijeli ili prirodni brojevi. Linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama u kojoj tražimo samo cjelobrojna rješenja nazivamo linearna diofantska jednadžba. Kako riješiti diofantsku jednadžbu?

Primjer 2.

Riješimo diofantsku jednadžbu 7 x + 8 y = 0 , x , y Z . Izrazimo nepoznanicu y :

y = - 7 8 x .

Kako je​ y cijeli broj, zaključujemo da x mora biti višekratnik broja 8 :

x = 8 k , k Z , iz čega slijedi y = - 7 k . Rješenje jednadžbe jest svaki uređeni par ( 8 k - 7 k ) gdje je k cijeli broj.

Primjer 3.

Riješimo diofantsku jednadžbu 15 x - 8 y = 9 . Izrazimo nepoznanicu y :

y = 15 x - 9 8 = 16 x - 8 8 - x + 1 8 = 2 x - 1 - x + 1 8 .

Kako je x  cijeli broj, zaključujemo da će y biti cijeli broj ako je x + 1 = 8 k , x = 8 k - 1 .

Uvrstimo u izraz za y :

y = 2 8 k - 1 - 1 - k = 15 k - 3 .

Rješenje je svaki par brojeva 8 k - 1,15 k - 3 , k Z . Postupak rješavanja koji smo primijenili naziva se metoda kvocijenta.

Zadatak 7.

Riješite diofantsku jednadžbu 4 x - 6 y = 5 .

Jednadžba nema rješenja jer je na lijevoj strani paran broj, a na desnoj neparan.


Pod kojim uvjetima linearna diofantska jednadžba ima rješenje? Istražite.

Zanimljivost

Na slici je Diofant.
Diofant

Diofant, po kojem su diofantske jednadžbe dobile ime, živio je u 3. stoljeću u Aleksandriji. Autor je matematičkog djela Arithmetica, koje se sastoji od 13 knjiga sa 150 zadataka.

Neki ga nazivaju ocem algebre jer je koristio algebarsku notaciju, a zadatci koje je zapisao u svojem djelu stoljećima su inspirirali mnoge poznate matematičare. Piere Fermat na marginama Arithmetice zapisao je svoj poznati posljednji teorem.

...i na kraju

Na slici su bočice s kemikalijama.

Mladi kemičari Pero, Mihael i Jasna miješaju otopine. Imaju 2 -postotnu i 12 -postotnu otopinu, a žele dobiti 10 litara 5.8 -postotne otopine. Koliko treba uzeti prve, a koliko druge otopine? Količinu prve otopine označimo s x , a količinu druge s y . Postavite jednadžbe.

 

x + y = 10 0.02 x + 0.12 y = x + y · 0.058


Pero je uzeo 6 l prve i 4 l druge. Mihael je uzeo 6.2 l prve i 3.8 l druge. Jasna je uzela 5.89 l prve i 3.61 l druge. Tko će od njih dobiti željenu količinu? Tko će dobiti željenu koncentraciju?

Pero će dobiti željenu količinu, ali ne i koncentraciju. Mihael će dobiti i količinu i koncentraciju. Jasna će dobiti željenu koncentraciju, ali ne i količinu.


Jesu li uređeni parovi 6,4 , 6.2,3.8 , 5.89,3.61   rješenja jednadžbi x + y = 10 i 0.02 x + 0.12 y = x + y · 0.058 ? Koji je par rješenje sustava jednadžbi?

Prvi je par rješenje prve jednadžbe, drugi obiju, a treći druge. Rješenje sustava jest par 6.2,3.8 .

Idemo na sljedeću jedinicu

7.2 Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi