Matematika 1 - 4.7 Rješavanje složenih nejednadžbi

Na početku...

Učenik zna riješiti nejednadžbu u kojoj je umnožak, a drugi učenik ne zna riješiti nejednadžbu u kojoj je zbroj.

Naučili ste rješavati linearne nejednadžbe i sustave linearnih nejednadžbi. Neke se složenije nejednadžbe mogu svesti na linearne ili na sustave linearnih nejednadžbi. Pritom je važno uočiti neka obilježja nejednadžbe koja nam mogu pomoći u odabiru strategije rješavanja. Promotrite nejednadžbe u idućem zadatku i podijelite ih u dvije skupine: one koje smo već rješavali i one koje nismo.

2 x - 5 < 7

\frac{x}{x - 1} \leq 3

x (x - 3) \geq 4

2 x - 5 \geq 0

x (x - 3) \leq 0

\frac{x + 2}{x - 1} \geq 0

x^{2} - 3 x < 0

\frac{3 x - 1}{5} \leq 2

Poznati oblici nejednadžbi

Nepoznati oblici nejednadžbi

null

Promotrimo nejednadžbe iz prethodnog zadatka. Uočimo najprije nejednadžbe koje s jedne strane znaka nejednakosti imaju $0 .$ Ako je neki broj veći od $0$ , to znači da je pozitivan, a ako je manji od $0$ , onda je negativan. Pri rješavanju nejednadžbe možemo promatrati predznake. Možemo li iz poznatih predznaka dijelova nekog izraza zaključiti o predznaku cijelog izraza?

Ako je $(a \geq 0 i b \leq 0) ili (a \leq 0 i b \geq 0),$	onda je $\frac{a}{b} \geq 0 .$
Ako je $(a \geq 0 i b \geq 0) ili (a \leq 0 i b \leq 0),$	onda je $a \cdot b \leq 0 .$
Ako je $(a \geq 0 i b > 0) ili (a \leq 0 i b < 0),$	ne možemo zaključiti kakvi su predznaci od $a + b$ .
Ako je $(a \geq 0 i b < 0) ili (a \leq 0 i b > 0),$	onda je $\frac{a}{b} \leq 0$ .
Ako je $a < 0 i b > 0,$	onda je $a \cdot b \geq 0 .$

null

Predznak zbroja ne možemo uvijek odrediti iz poznatih predznaka pribrojnika. Na primjer, neka je jedan pribrojnik pozitivan, a drugi negativan; predznak zbroja ovisi o odnosu apsolutnih vrijednosti pribrojnika. Ali ako su nam poznati predznaci faktora ili brojnika i nazivnika razlomka, možemo zaključiti koji je predznak umnoška ili kvocijenta.

Nejednadžbe mogu biti zapisane tako da je s jedne strane broj različit od nule. Možemo li odrediti što treba vrijediti za dijelove izraza u nejednadžbi? Na primjer, ako želimo da bude $a \cdot b \geq 5,$ možemo li odrediti što treba vrijediti za $a$ i $b ?$ Ne možemo.

Zato ćemo pri rješavanju nejednadžbi najčešće nastojati nejednadžbu zapisati tako da je s jedne strane znaka nejednakosti nula, a da je druga strana u obliku umnoška ili kvocijenta.

Zadatak 1.

Riješite nejednadžbu $x^{2} - 3 x < 0 .$

S jedne je strane nejednadžbe nula. Zapišimo drugu stranu u obliku umnoška: $x (x - 3) < 0 .$ Razlikujemo dva slučaja.

Prvi slučaj: $x < 0$ i $x - 3 > 0,$ odnosno $x < 0$ i $x > 3,$ što je nemoguće pa je skup rješenja $\emptyset$ ili
Drugi slučaj: $x > 0$ i $x - 3 < 0,$ odnosno $x > 0$ i $x < 3$ pa je skup rješenja $⟨0, 3⟩ .$

Konačno je rješenje $⟨0, 3⟩ \cup \emptyset = ⟨0, 3⟩ .$

Primjer 1.

Riješimo nejednadžbu $\frac{x + 2}{x - 1} \geq 0 .$

Rješavat ćemo je slično kao i nejednadžbe s umnoškom. Pritom ćemo paziti da vrijednost izraza u nazivniku ne bude $0 .$ Dva su slučaja.

Prvi slučaj: $x + 2 \geq 0$ i $x - 1 > 0,$ odnosno $x \geq - 2$ i $x > 1$ pa je skup rješenja $⟨1, \infty⟩$ ili

Drugi slučaj: $x + 2 \leq 0$ i $x - 1 < 0,$ odnosno $x \leq - 2$ i $x < 1$ pa je skup rješenja $⟨- \infty, - 2] .$

Konačno je rješenje $⟨- \infty, - 2] \cup ⟨1, \infty⟩ .$

Zadatak 2.

Primjer 2.

Riješimo nejednadžbu $\frac{x}{x - 1} \leq 3 .$ Zapišimo nejednadžbu tako da s jedne strane znaka nejednakosti bude nula.

$\frac{x}{x - 1} - 3 \leq 0$

Lijevu stranu treba zapisati u obliku kvocijenta.

$\frac{x - 3 x + 3}{x - 1} \leq 0$

$\frac{- 2 x + 3}{x - 1} \leq 0$

Riješite nejednadžbu kao u prethodnom primjeru.

$⟨- \infty, 1⟩ \cup [\frac{3}{2}, \infty⟩$

Zadatak 3.

Promotrite nejednadžbu $x (x - 3) \geq 4$ . Zapišite na papiru nejednadžbu u prikladnom obliku pa je riješite.

$x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$

$(x - 4) (x + 1) \geq 0$

$⟨- \infty, - 1] \cup [4, \infty⟩$

Tablica predznaka

Nejednadžbe u kojima se pojavljuje umnožak dviju zagrada rastavili smo na dva slučaja. Na koliko bi se slučajeva rastavljala nejednadžba u kojoj se pojavljuje umnožak triju zagrada? Što ako su četiri zagrade?

Nejednadžba s trima zagradama rastavljala bi se na četiri slučaja, a nejednadžba s četirima zagradama na osam slučajeva.

Pronađimo neki lakši način.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Pri rješavanju nejednadžbi bili su nam važni predznaci jednostavnih algebarskih izraza. Promotrite algebarski izraz $2 x - 6 .$ U idućoj animaciji upišite vrijednosti koeficijenata $a = 2, b = - 6,$ pomičite točku na osi $x$ i pratite predznak vrijednosti izraza. Za koju će se vrijednost varijable $x$ predznak vrijednosti algebarskog izraza promijeniti? Na kojem je intervalu vrijednost izraza pozitivna, a na kojem negativna?

Dok mijenjamo vrijednost varijable $x$ od negativnih brojeva pa sve do broja $3,$ vrijednost algebarskog izraza $2 x - 6$ je stalno .

Ako je vrijednost varijable $x$ jednaka $3,$ vrijednost algebarskog izraza $2 x - 6$ je .

Dok mijenjamo vrijednost varijable $x$ od broja $3$ prema većim brojevima, vrijednost algebarskog izraza $2 x - 6$ je stalno .

null

null

Povežite nejednadžbu i skup njezinih rješenja.

$2 x - 6 > 0$	$⟨- \infty, 3⟩$
$2 x - 6 < 0$	$⟨3, \infty⟩$

null

Zadatak 5.

Predznake vrijednosti algebarskih izraza na intervalima možemo pregledno prikazati u tablici. Dovucite predznake na odgovarajuće mjesto u tablici. Postavite predznak na crtu.

Na slici je tablica predznaka za izraz 2x-6. Treba upisati predznake za brojeve koji se na brojevnom pravcu nalaze lijevo od broja 3 i za one koji su desno od broja 3.

$+$

$-$

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Istražite u interakciji iz zadatka 4 predznake izraza

- 3 x + 15

pa dopunite rečenice.

Dok mijenjamo vrijednost varijable $x$ od negativnih brojeva pa sve do broja , vrijednost algebarskog izraza $- 3 x + 15$ je stalno .

Ako je vrijednost varijable $x$ jednaka , vrijednost algebarskog izraza $- 3 x + 15$ je .

Dok mijenjamo vrijednost varijable $x$ od broja prema većim brojevima, vrijednost algebarskog izraza $- 3 x + 15$ je stalno .

null

null

Povežite nejednadžbu i skup njezinih rješenja.

$- 3 x + 15 < 0$	$⟨5, \infty⟩$
$- 3 x + 15 > 0$	$⟨- \infty, 5⟩$

null

$+$

$-$

null

null

Zadatak 7.

Promatrali ste polinome prvog stupnja s jednom varijablom i predznake vrijednosti tih polinoma na intervalima. Zadajte još neke polinome prvog stupnja pa ponovite istraživanje u animaciji. Koliko se puta mijenja predznak vrijednosti izraza? U kojoj se vrijednosti varijable $x$ mijenja predznak? Zapišite na papir opće pravilo.

Polinom prvog stupnja možemo zapisati ovako: $a x + b .$

Predznak se mijenja jedanput i to u vrijednosti varijable koja je rješenje jednadžbe $a x + b = 0 .$ Predznak se ne mijenja na intervalu lijevo i na intervalu desno od te vrijednosti.

Zadatak 8.

Na slici je tablica predznaka za izraz 2x+5.

Za izraz $2 x + 5$ odredite vrijednost varijable u kojoj se mijenja predznak vrijednosti izraza pa popunite tablicu koju ste prethodno prepisali na papir.

Zaključimo.

Predznak polinoma prvog stupnja $a x + b$ mijenja se jedanput i to u vrijednosti varijable koja je rješenje jednadžbe $a x + b = 0 .$ Predznak se ne mijenja na intervalu lijevo i na intervalu desno od te vrijednosti.

Zatvori

Rješavanje nejednadžbi s pomoću tablica predznaka

Primjer 3.

Zadana je nejednadžba $(x + 2) (- x + 3) > 0 .$

U idućoj interakciji upišite vrijednosti koeficijenata $a = 1, b = 2, c = - 1, d = 3,$ pomičite točku na osi $x$ i pratite predznake vrijednosti izraza. Za koje će se vrijednosti varijable $x$ predznaci vrijednosti algebarskih izraza promijeniti? Koliko intervala uočavate? Koji su to intervali? Pratite predznak umnoška pa zapišite skup rješenja nejednadžbe.

Predznaci će se mijenjati za $x = - 2$ i $x = 3 .$ Tri su intervala koja uočavamo: $⟨- \infty, - 2⟩, ⟨- 2, 3⟩, ⟨3, \infty⟩ .$

Skup je rješenja $⟨- 2, 3⟩ .$

U tablicama predznaka koje ste zapisivali u prethodnim zadatcima pregledno i jednostavno možemo pratiti kako se mijenja predznak vrijednosti algebarskih izraza. Tablice predznaka pomoći će nam u rješavanju složenijih nejednadžbi, a bit će korisne i u nekim drugim situacijama.

Primjer 4.

Zadana je nejednadžba $(3 x + 12) (5 - x) < 0 .$ Riješit ćemo nejednadžbu s pomoću tablice predznaka. Koristit ćemo se činjenicom da se predznak polinoma prvog stupnja $a x + b$ mijenja jedanput i to u vrijednosti varijable koja je rješenje jednadžbe $a x + b = 0 .$ Predznak se ne mijenja na intervalu lijevo i na intervalu desno od te vrijednosti.

Pogledajmo izraz $3 x + 12 .$ Odredimo vrijednost varijable $x$ u kojoj se mijenja predznak vrijednosti izraza.

$3 x + 12 = 0, x = - 4,$ što znači da je vrijednost izraza $3 x + 12$ na intervalu $⟨- \infty, - 4⟩$ jednog predznaka, a na intervalu $⟨- 4, \infty⟩$ drugog. Kako odrediti te predznake? Možemo uvrstiti neki broj iz intervala.

Uzmimo neki broj iz intervala $⟨- \infty, - 4⟩,$ na primjer $- 5 .$ Vrijednost je izraza $3 \cdot (- 5) + 12 = - 3$ pa je vrijednost izraza negativna na cijelom intervalu $⟨- \infty, - 4⟩ .$

Na intervalu $⟨- 4, \infty⟩$ vrijednosti su izraza pozitivne.

Pogledajmo izraz $5 - x .$ Odredimo vrijednost varijable $x$ u kojoj se mijenja predznak vrijednost izraza.

$5 - x = 0, x = 5$

Odaberimo neki broj iz intervala $⟨- \infty, 5⟩,$ na primjer 1. Vrijednost je izraza $5 - 1 = 4$ pa je vrijednost izraza pozitivna na cijelom intervalu $⟨- \infty, 5⟩ .$ Na intervalu $⟨5, \infty⟩$ vrijednost je izraza negativna.

Dobili smo dvije vrijednosti, $- 4$ i $5 .$ Skup realnih brojeva podijelit ćemo na intervale $⟨- \infty, - 4⟩,$ $⟨- 4, 5⟩,$ $⟨5, \infty⟩$ i u tablicu predznaka upisati predznake vrijednosti izraza $3 x + 12$ i $5 - x .$

Iz tablice predznaka čitamo:

Na intervalu $⟨- \infty, - 4⟩$ predznaci su suprotni pa je umnožak negativan.

Na intervalu $⟨- 4, 5⟩$ oba su predznaka pozitivna pa je umnožak pozitivan.

Na intervalu $⟨5, \infty⟩$ predznaci su suprotni pa je umnožak negativan.

Nejednadžba koju rješavamo je $(3 x - 12) (5 - x) < 0$ pa nas zanima skup na kojem je umnožak negativan. To je skup $⟨- \infty, - 4⟩ \cup ⟨5, \infty⟩ .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Riješite nejednadžbu $(5 x + 2) (- 3 x - 6) \geq 0:$

s pomoću tablice predznaka
razlikovanjem slučajeva.

Usporedite ta dva načina rješavanja.

U tablici predznaka čitamo skup na kojem je umnožak pozitivan ili $0 .$ Rubne ćemo točke intervala uključiti jer su to vrijednosti varijable za koju je vrijednost izraza $0 .$ Skup je rješenja $[- 2, - \frac{2}{5}] .$

Koje ćemo nejednadžbe moći riješiti s pomoću tablice predznaka? Možemo li takve nejednadžbe riješiti i na drugi način?

Nejednadžbe zapisane u obliku umnoška ili kvocijenta koje na jednoj strani znaka nejednakosti imaju $0 .$ Možemo ih riješiti i razlikovanjem slučajeva.

Zadatak 10.

S pomoću tablice predznaka riješite nejednadžbu $\frac{2 - x}{4 + 3 x} \leq 0 .$

Pazite na rubne točke intervala. Za koje je vrijednosti varijable algebarski izraz definiran? Koju vrijednost ne smijemo uvrstiti? Može li ta vrijednost biti element skupa rješenja?

Algebarski je izraz definiran za sve realne brojeve osim onih za koje je vrijednost nazivnika $0 .$ Ne smijemo uvrstiti broj $- \frac{4}{3}$ pa taj broj ne može biti element skupa rješenja.

Skup je rješenja $⟨- \infty, - \frac{4}{3}⟩ \cup [2, \infty⟩ .$

Zadatak 11.

Tablicom se predznaka možemo koristiti i pri rješavanju nejednadžbi u kojima se pojavljuje umnožak više zagrada.

Riješite nejednadžbu $(x - 1) (x + 2) (x - 3) < 0 .$

$⟨- \infty, - 2⟩ \cup ⟨1, 3⟩$

Zadatak 12.

Neke je nejednadžbe potrebno najprije zapisati u prikladnom obliku, a zatim riješiti. Koji su oblici prikladni?

Skup rješenja nejednadžbe ${(x + 2)}^{2} - {(3 x + 1)}^{2} > 0$ je:

$⟨- \infty, - \frac{3}{4}⟩ \cup ⟨\frac{1}{2}, \infty⟩$

$⟨- \frac{3}{4}, \frac{3}{2}⟩$

$⟨- \infty, - \frac{3}{4}⟩ \cup ⟨\frac{3}{2}, \infty⟩$

$⟨- \frac{3}{4}, \frac{1}{2}⟩ .$

Pomoć:

Zapišite izraz na lijevoj strani nejednažbe u obliku umnoška. Izraz je razlika kvadrata pa možete primijeniti formulu za razliku kvadrata:

$\begin{array}{l} ((x + 2) - (3 x + 1)) ((x + 2) + (3 x + 1)) > 0 \end{array}$

$(1 - 2 x) (4 x + 3) > 0 .$
Skup rješenja nejednažbe $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$ je:

$⟨- \infty, 0⟩ \cup ⟨1, \infty⟩$

$[0, 1]$

$⟨0, 1⟩$

$⟨- \infty, 0] \cup [1, \infty⟩ .$

Pomoć:

Prikažite izraz na lijevoj strani nejednadžbe u obliku kvocijenta:

$\frac{x - 1 - x}{x (x - 1)} \geq 0$

$\frac{- 1}{x (x - 1)} \geq 0 .$

Brojnik je negativan, a razlomak mora biti pozitivan ili 0. Zaključujemo da nazivnik mora biti negativan. Racionalni algebarski izraz nije definiran za 0 i 1 pa ti brojevi ne mogu biti rješenje, pa je $x (x - 1) < 0 .$

Zatvori

Nejednadžbe s algebarskim izrazima u nazivniku

Pogledajte videozapis.

Zadatak 13.

Prisjetimo se svojstava uređaja. S kojim algebarskim izrazima smijemo množiti nejednadžbu?

Ako nejednadžbu množimo s pozitivnim brojem, znak se nejednakosti . Ako nejednadžbu množimo s negativnim brojem, znak se nejednakosti .

null
Kad nejednadžbu množimo s brojem, moramo znati kojeg je predznaka taj broj. Kad nejednažbu množimo s algebarskim izrazom, moramo znati kojeg su predznaka vrijednosti tog izraza.

Razvrstajte algebarske izraze u dvije skupine: one kojima se predznak vrijednosti ne mijenja i one kojima se predznak vrijednosti mijenja.

$3 x, x \neq 0$

$x - 1, x \neq 1$

$|x - 1|, x \neq 1$

$x^{2}, x \neq 0$

$3 x^{0}$

$|x| - 1, x \neq \pm 1$

$x^{3}, x \neq 0$

$(x - 1) (x + 1) - x^{2}$

Predznak vrijednosti se ne mijenja

Predznak vrijednosti se mijenja

Pomoć:

Ako vrijednosti algebarskog izraza mogu biti i pozitivne i negativne za različite vrijednosti varijable, ne znamo okreće li se znak nejednakosti ili se ne mijenja.

null

Množimo li nejednadžbu s algebarskim izrazom čije vrijednosti mogu biti i pozivne i negativne ne znamo treba li znak nejednakosti okretati. U takvoj bismo situaciji morali razlikovati slučajeve s obzirom na predznak vrijednosti izraza s kojim množimo. Time se često rješavanje zadatka komplicira. Zato izbjegavamo množenje nejednadžbi s algebarskim izrazom čije vrijednosti mogu biti i pozitivne i negativne. Zaključimo.

Nejednadžbu izbjegavamo množiti s algebarskim izrazom čije vrijednosti mogu biti i pozitivne i negativne.

Nejednadžbu smijemo množiti s brojem različitim od $0$ i s algebarskim izrazom čije su vrijednosti uvijek pozitivne ili uvijek negativne.

Zadatak 14.

Riješite nejednadžbu $\frac{1}{x} \leq 2 .$

Zapišite nejednadžbu u obliku kvocijenta i s nulom na jednoj strani znaka nejednakosti.

$\frac{1}{x} - 2 \leq 0$

$\frac{1 - 2 x}{x} \leq 0$

Skup je rješenja $⟨- \infty, 0⟩ \cup [\frac{1}{2}, \infty⟩ .$

Nejednakosti

Kutak za znatiželjne

Računajte vrijednost izraza $x^{2} + x + 1$ za različite vrijednosti varijable $x .$ Uočavate li pravilnost? Zapišite na papir uočenu pravilnost koristeći se matematičkim simbolima.

Za svaki realni broj $x$ vrijedi $x^{2} + x + 1 > 0 .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 15.

U dokazivanju nejednakosti koristimo se različitim strategijama. Jedna je od njih prikaz izraza koji se pojavljuje u nejednakosti u prikladnu obliku. Vidjeli smo da je pri rješavanju nejednadžbi korisno prikazati izraze u obliku umnoška ili kvocijenta. Jesu li prikazi u obliku umnoška korisni i za dokazivanje nejednakosti? Ako, na primjer, želimo dokazati da je neki izraz uvijek pozitivan, hoće li nam pomoći to što je zapisan u obliku umnoška? Korisniji bi bio zapis u nekom obliku za koji znamo da je uvijek pozitivan ili negativan. Smislite koji bi to prikaz mogao biti.

Pri dokazivanju nejednakosti može biti korisno prikazati izraz u obliku zbroja kvadrata. Za kvadrate realnih brojeva znamo da su nenegativni pa je i njihov zbroj nenegativan. Štoviše, zbroj kvadrata bit će jednak $0$ ako i samo ako su svi pribrojnici jednaki $0 .$

Simbolima možemo zapisati:

Za proizvoljne realne brojeve $a_{1}, a_{2} . . . a_{n}$ vrijedi ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . . + {a_{n}}^{2} \geq 0 .$

Ako je ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . . + {a_{n}}^{2} = 0,$ onda vrijedi $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n} = 0$ .

Zadatak 16.

Dokažite da za svaki realni broj $x$ vrijedi $x^{2} + x + 1 > 0 .$

Dopunite prva dva pribrojnika do potpunog kvadrata.

$\begin{array}{l} x^{2} + x + 1 = (x^{2} + x + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > {(x + \frac{1}{2})}^{2} \geq 0 \end{array}$

Zadatak 17.

Za svaka tri realna broja $a, b, c$ vrijedi $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a .$ Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a = b = c .$

Dokažite.

Prikažite izraze u nejednažbi u obliku zbroja kvadrata. Uočite $a^{2}, b^{2}, a b .$ Pojavljuju li se ta tri člana u nekom kvadratu? Odgovaraju li koeficijenti? Što možemo učiniti? Koliko nam članova s $a^{2}$ treba? A s $b^{2} ?$

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) =$

$\begin{array}{l} (a^{2} - 2 a b + b^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + (c^{2} - 2 c a + a^{2}) = \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{array}$ pa je

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \geq 0,$ odnosno

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a .$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a - b = b - c = c - a = 0,$ odnosno ako i samo ako je

$a = b = c .$

Zatvori

4.7 Rješavanje složenih nejednadžbi

Na početku...

Poznati oblici nejednadžbi

Nepoznati oblici nejednadžbi

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Tablica predznaka

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Rješavanje nejednadžbi s pomoću tablica predznaka

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Nejednadžbe s algebarskim izrazima u nazivniku

Zadatak 13.

Predznak vrijednosti se ne mijenja

Predznak vrijednosti se mijenja

Zadatak 14.

Nejednakosti

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

...i na kraju

4.8 Nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima