9.4 Primjena na pravokutni trokut

Ponovimo trigonometrijske omjere

Primjer 1.

Za svaki pravokutni trokut odredimo trigonometrijske omjere šiljastog kuta označenog na slici.

Povežite nazive i oznake stranica s obzirom na kut $\alpha$ (Slika 1.).

$j$	hipotenuzapriležeća katetanasuprotna kateta
$k$	hipotenuzapriležeća katetanasuprotna kateta
$l$	hipotenuzapriležeća katetanasuprotna kateta

null

null

Sinus kuta $\alpha$ je omjer duljina

 

i

 

.

hipotenuze

nasuprotne katete

null

null

$\sin \alpha =$

$\frac{j}{k}$

$\frac{k}{j}$

$\frac{j}{l}$

$\frac{l}{j}$

null

null

Zadatak 1.

Odredite preostale trigonometrijske omjere označenih kutova u trokutima na Slici 1.

Rješenje

---

Rješavanje pravokutnog trokuta

Riješiti pravokutan trokut znači izračunati stranice i kutove koji su nepoznati. Pri rješavanju koristimo se Pitagorinim poučkom i trigonometrijskim omjerima zadanog kuta. Upotrebljavamo uobičajene oznake kako slijedi: $c$ – hipotenuza, $a$ i $b$ – katete, $\alpha \mathrm{i}\beta$ – kutovi nasuprot katetama $a$ i $b$ redom.

Mogu se pojaviti četiri osnovna slučaja:

• ​zadani hipotenuza i kut
• zadani kateta i kut
• zadane hipotenuza i kateta
• zadane dvije katete.
  

Svaki slučaj razmotrimo posebno.

Primjer 2.

Zadana je hipotenuza. Najprije računamo katetu $a$ koja je s obzirom na kut $\alpha$ nasuprotna. Koji trigonometrijski omjer povezuje nasuprotnu katetu i hipotenuzu? To je sinus. Pišemo:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}\Rightarrow a=c·\sin \alpha .$

Zatim računamo katetu $b$ koja je s obzirom na kut $\alpha$ priležeća. Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu? To je kosinus. Pišemo:

$\cos \alpha =\frac{b}{c}\Rightarrow b=c·\cos \alpha .$

Kutovi $\alpha$ i $\beta$ su komplementarni pa je $\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-\alpha .$

Primjer 3.

Zadana kateta je s obzirom na kut $\beta$ priležeća.

Najprije ćemo izračunati katetu $b$ koja je s obzirom na kut $\beta$ nasuprotna. Koji trigonometrijski omjer povezuje nasuprotnu i priležeću katetu? To je tangens. Pišemo:

​ $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}\Rightarrow b=a·\mathrm{tg}\beta .$

Odredimo hipotenuzu $c.$ Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu? To je kosinus. Pišemo:

$\cos \beta =\frac{a}{c}\Rightarrow c=\frac{a}{\cos \beta }.$

Odredimo i kut $\alpha$ $:$

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \alpha ={90}^{\circ }-\beta .$

Primjer 4.

Računamo katetu $a$ i oba šiljasta kuta.

Odredimo najprije katetu $a:$ $a^2+b^2=c^2\Rightarrow a=\sqrt{c^2-b^2}.$

Odredimo kut $\alpha .$ S obzirom na kut $\alpha$ zadane su:

nasuprotna kateta i hipotenuza

priležeća kateta i hipotenuza

priležeća i nasuprotna kateta.

null

null

Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu?

Sinus

Kosinus

Tangens

null

null

Pišemo:

$\cos \alpha =\frac{c}{b}\Rightarrow \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{c}{b}\right).$

$\cos \alpha =\frac{b}{c}\Rightarrow \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{b}{c}\right).$  

$\sin \alpha =\frac{b}{c}\Rightarrow \alpha ={\sin }^{-1}\left(\frac{b}{c}\right).$

null

null

Kutovi  $\alpha$ i $\beta$ su komplementarni pa je $\alpha +\beta ={180}^{\circ }\Rightarrow \beta ={180}^{\circ }-\alpha .$

Da

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-\alpha$

Ne

null

null

Primjer 5.

Izračunajmo hipotenuzu: $a^2+b^2=c^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}.$

Odredimo kut $\alpha .$ S obzirom na kut $\alpha$ zadane su

 

$a$ i

 

$b.$

nasuprotna kateta

priležeća kateta

null

null

Nasuprotnu i priležeću katetu povezuje

sinus

kosinus

tangens.

null

null

Pišemo:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{tg}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\left(\frac{a}{b}\right)$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{b}{a}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{tg}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\left(\frac{b}{a}\right)$

null

null

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-\alpha$

Da

Ne

null

null

Zadatak 2.

Za pravokutan trokut sa slike izačunajte kutove i stranicu $d.$

Rješenje

---

Primjer 6.

U nastavku pogledajte videozapis u kojem se rješava još jedan primjer.

Zadatak 3.

Za zadane elemente zapišite u bilježnicu formule kojima se računaju nepoznati elementi. Uparite zadatak i odgovor.

Zadane su hipotenuza i kateta $b.$ Izračunajte drugu katetu i oba kuta.	$\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)$
​Zadani su hipotenuza i kut $\alpha .$ Odredite katete .	$b=c·\cos \alpha$
Zadani su kateta $a$ i kut uz nju. Izračunajte drugu katetu i kut.	$\alpha ={90}^{\circ }-\beta$  ​

null

null

Primjena trigonometrijskih omjera na pravokutan trokut u svakodnevnim situacijama

U uvodu smo vidjeli četiri situacije iz života na kojima možemo prepoznati pravokutan trokut i njegove poznate i nepoznate elemente.

Problemske situacije zahtijevaju rad u nekoliko koraka.

1. ​Pročitati problem do kraja.
2. Pročitati ponovno i nacrtati sliku, crtež, skicu.
3. Povezati sliku sa zadanim podatcima i označiti ih na slici.
4. Zapisati sve što nije na slici, a moglo bi pomoći u rješavanju.
5. Zapisati nepoznate veličine, tj. ono što se traži.
6. Zapisati formule koje povezuju poznate i nepoznate veličine.
7. Izračunati nepoznate veličine s pomoću algebre.

Riješimo nekoliko primjera.

Primjer 7.

Meteorolozi u zračnim lukama prate vrijeme da bi osigurali sigurnost slijetanja i polijetanja zrakoplova. Jedno od obilježja koje mjere jest visina oblaka. Ako su oblaci prenisko, zrakoplovima nije dopušteno slijetanje i uzlijetanje. Jedan od načina mjerenja jest reflektor postavljen tako da baca svjetlo okomito prema nebu, a nalazi se na fiksnoj udaljenosti od ureda meteorologa. Zatim se mjeri kut elevacije svjetlosne točke na oblaku. Kut elevacije je kut između svjetlosne točke na oblaku i horizonta pod kojim se svjetlo reflektora na oblaku vidi s tla. Koristeći se trigonometrijom, možemo utvrditi visinu oblaka.

Primjer: Reflektor je postavljen $200\mathrm{m}$ od ureda. Izmjeren je kut elevacije svjetlosne točke od ${35}^{\circ }.$ Kolika je visina oblaka?

Nakon što smo problem pročitali, pokušajmo ga nacrtati.

Zadan je kut i priležeća kateta, a traži se nasuprotna kateta. Koji trigonometrijski omjer povezuje te elemente?

$\mathrm{tg}{35}^{\circ }=\frac{x}{200}\Rightarrow x=200·\mathrm{tg}{35}^{\circ }=140.042\mathrm{m}$

Oblak se nalazi na približno $140$ metara visine.

Primjer 8.

Njihalo duljine $30\mathrm{cm}$ njiše se pod maksimalnim kutom od ${30}^{\circ }.$ Kolika je razlika u visini s obzirom na visinu u ravnotežnom položaju koju pritom njihalo postiže?

Uočimo pravokutan trokut s hipotenuzom $l,$ kutom $\beta$ i priležećom katetom $l-h.$

Hipotenuzu i priležeću katetu povezuje kosinus.

$\cos \beta =\frac{l-h}{l}$

$\begin{array}{l}l·\cos \beta =l-h\Rightarrow h=l·\left(1-\cos \beta \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}h=30·\left(1-\cos {30}^{\circ }\right)=4.02\mathrm{cm}\end{array}$

Razlika je približno $4\mathrm{cm}.$

Zadatak 4.

Nalazimo se u podnožju skijaškog dizala. Kut elevacije pod kojim se vidi vrh na koji dizalo vodi jest  ${25}^{\circ }.$ Koliko je duga žica koja povezuje podnožje i vrh ako su vrh i podnožje horizontalno udaljeni $5\mathrm{km}?$

Rješenje

---

Riješimo uvodne probleme.

Zadatak 5.

Motorist vozi stazom dugom $250\mathrm{m}$ i pritom savlada razliku u nadmorskoj visini od $20\mathrm{m}.$ Koji kut nagiba treba savladati?

Rješenje

---

Zadatak 6.

Širina zgrade je $9$ $\mathrm{m},$ a nagib krova je $35°.$ Kolika je duljina stranice krova?

Rješenje

---

Zadatak 7.

Stepenicama treba savladati nagib od $28°.$

1. Visina jedne stepenice je $16\mathrm{cm}.$ Kolika je duljina gazišta stepenice?
2. Stepenice su ugodne za penjanje ako je $61\le 2v+d\le \mathrm{65,}$ gdje je $v$ visina, a $d$ duljina gazišta. Koje su moguće duljine gazišta ako želimo savladati nagib od $28°$ i imati stepenice ugodne za penjanje.

Rješenje

---

Zadatak 8.

Kuća je visoka $9\mathrm{m},$ a vatrogasno vozilo $3\mathrm{m}.$ Ljestve su duljine $9\mathrm{m}.$ Pod kojim kutom treba postaviti vatrogasne ljestve?

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Riješite zadatak:

U pravokutnom su trokutu iz vrha pravog kuta povučene visina i težišnica. Omjer njihovih duljina iznosi $12:13.$ Odredite kutove tog pravokutnog trokuta.

Rješenje

---