x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Na slici je kalendar.

    Svi znamo čemu služe kalendari. No, znate li da se u kalendarima kriju magični trikovi? Evo jednog od njih. Pogledajte kalendar na slici. Na kalendaru ćemo odabrati četiri broja smještena u kvadrat 2 × 2 . Na primjer, to mogu biti brojevi 11 , 12 , 18 i 19 . Odaberite svoja četiri broja. Zbrojite ih. Upišite zbroj na predviđeno mjesto. Računalo će pogoditi koje ste brojeve odabrali. Je li pogodak slučajnost? Pokušajte još jedanput.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Pogledajte raspored brojeva u kalendaru. Uočavate li pravilnost? Objasnite kako je računalo pogodilo vaše brojeve.

    Brojevi su u kalendaru raspoređeni tako da se u redcima povećavaju za 1 , a u stupcima za 7 . To će nam svojstvo kalendara pomoći u objašnjavanju magičnog trika.

    Pogledajmo, na primjer, brojeve 11 , 12 , 18 i 19 . Prvi od njih je 11 . Možemo li s pomoću njega zapisati ostale brojeve?

    12 = 11 + 1

    18 = 11 + 7

    19 = 11 + 8

    Označimo broj u gornjem lijevom kutu odabranog kvadrata brojeva s ​ x . Zapišimo s pomoću njega ostale brojeve odabranog kvadrata. To su:

    x + 1 , x + 7 , x + 8 .

    Zbrojimo sva četiri broja:

    S = x + x + 1 + x + 7 + x + 8 = 4 x + 16 .

    Taj smo zbroj izračunali. Ako je poznat zbroj, prvi zamišljeni broj može se izračunati ovako:

    x = S - 16 4 .

    Zatim se s pomoću njega mogu dodavanjem brojeva 1 , 7 i 8 izračunati ostali.


    Zadatak 1.

    U kalendaru se kriju i drugi magični trikovi. Otkrijte i objasnite neke od njih.

    1. Odaberite u kalendaru četiri broja u kvadratu 2 x 2 . Pomnožite broj u gornjem desnom kutu kvadrata s brojem u donjem lijevom kutu. Od tog umnoška oduzmite umnožak broja u gornjem lijevom i donjem desnom kutu. Zapišite rezultat u bilježnicu. Ponovite s nekim drugim kvadratima. Zapišite zaključak. Objasnite.
    2. Zamolite prijatelja da u kalendaru odabere pet brojeva smještenih u obliku slova T (na primjer 8 , 9 , 10 , 16 , 23 ). Pronađite magični trik s pomoću kojega možete pogoditi odabrane brojeve.
    3. Smislite neki svoj magični trik s brojevima u kalendaru.
    1. Razlika je uvijek jednaka 7 . Označimo li brojeve kao u prethodnom triku, razliku računamo ovako:

      x + 1 x + 7 - x x + 8 = x 2 + x + 7 x + 7 - x 2 - 8 x = 7 .

    2. Označite neki od odabranih brojeva s x i ostale brojeve zapišite s pomoću tog broja.


    Parcijalni razlomci

    Zadatak 2.

    U ovom ste modulu naučili računati s algebarskim razlomcima. Zbrojite algebarske razlomke 2 x - 1 i 5 x + 4 .

    2 x - 1 + 5 x + 4 = 2 x + 4 + 5 x - 1 x - 1 x + 4 = 7 x + 3 x - 1 x + 4


    Zadatak 3.

    Pogledajmo sada obratni postupak. Zadan je algebarski razlomak koji je dobiven kao zbroj nekih dvaju ili više algebarskih razlomaka. Treba odrediti pribrojnike.

    Algebarski razlomak 7 x + 3 x - 1 x + 4 zapišimo u obliku zbroja razlomaka ​ A x - 1 i B x + 4 . Treba odrediti realne brojeve A i B .

     Složite redoslijed računa.

    • 7 x + 3 x - 1 x + 4 = A x - 1 + B x + 4
    • 7 x + 3 x - 1 x + 4 = 2 x - 1 + 5 x + 4
    • 7 x + 3 = A + B x + 4 A - B
    • A = 2 , B = 5
    • Razlomci su jednaki, imaju jednake nazivnike pa moraju i brojnici biti jednaki.
    • 7 x + 3 = A x + 4
    • A + B = 7 4 A - B = 3
    • 7 x + 3 x - 1 x + 4 = A x + 4 + B x - 1 x - 1 x + 4
    null
    null

    Zapisali smo zadani algebarski razlomak u obliku zbroja jednostavnijih algebarskih razlomaka. Kažemo da smo zadani razlomak rastavili na parcijalne razlomke.

    Zadatak 4.

    Rastavite zadane algebarske razlomke na parcijalne razlomke.

    1. 6 x + 14 x + 1 x + 3 = A x + 1 + B x + 3 , A = B =   .
      null
      null
    2. 3 x - 15 x 2 - 9 = A x - a + B x - b , a = b =   A =   B =   .

       

       

    Nekoliko zadataka

    Zadatak 5.

    Izračunajte.

    1. 3 2 p - 1 2 q 2 2
    2. a - b 2 + 2 a - b a + b + a + b 2
    3. 5 a + 1 3 - 5 a - 1 3
    1. 9 4 p 2 - 3 2 p q 2 + 1 4 q 4
    2. 4 a 2
    3. 150 a 2 + 2

    Zadatak 6.

    Rastavite na faktore.

    1. 27 x 3 y 6 + 8  
    2. 2 x 3 + 12 x 2 + 18 x  
    3. 25 x 2 - 9 y - 1 2
    4. 10 x 2 - 15 x y + 2 x - 3 y
    1. 3 x y 2 + 2 9 x 2 y 4 - 6 x y 2 + 4
    2. 2 x x + 3 2
    3. 5 x - 3 y + 3 5 x + 3 y - 3
    4. 2 x - 3 y 5 x + 1

    Zadatak 7.

    Izračunajte.

    1. 2 x 5 x 2 - 8 x + 16 · x 2 - 16 8 x 3
    2. 4 x 2 - 4 x + 1 20 x 2 - 5 : 8 x 3 - 1 100 x 2 + 50 x + 25
    1. x 2 x + 4 4 x - 4
    2. 5 2 x + 1

    Zadatak 8.

    Izračunajte: b a 2 - a b + a b 2 + a b + 1 a + b .

    a 2 - a b + b 2 a b a - b


    Zadatak 9.

    Izračunajte: 3 x + 3 x - 1 + x + 1 x - 1 · x 3 - 1 x 2 - 1 : x + 2 . Rezultat možete provjeriti u videozapisu.

    Djeljivost

    Primjer 1.

    Odaberite neki prirodni broj. Zbrojite broj i njegov kvadrat. Rezultat zapišite na ploču. Promotrite i rezultate drugih učenika. Uočavate li pravilnost? Objasnite.

    Rezultat je uvijek paran broj. Neka je odabrani broj ​ n . Računali ste: n 2 + n = n n + 1 .

    Dobili smo umnožak dvaju uzastopnih brojeva. Jedan je od njih paran, a drugi je neparan. Umnožak je parnoga i neparnoga broja paran broj.


    Zadatak 10.

    Od kvadrata nekoga neparnoga prirodnoga broja oduzmite 1 . Zapišite rezultat. Ponovite s nekim drugim neparnim brojem. Uočavate li pravilnost? Objasnite.

    Neparni broj veći od 1 možemo zapisati kao 2 n + 1 , n N . Računamo:

    2 n + 1 2 - 1 = 2 n + 1 - 1 2 n + 1 + 1 = 2 n + 2 2 n = 4 n + 1 n .

    Umnožak je djeljiv s 8 .

    Vrijedi li slično svojstvo za razliku kvadrata bilo kojih dvaju prirodnih brojeva?


    Zadatak 11.

    Odaberite tri uzastopna prirodna broja. Zbrojite njihove kubove. Zapišite rezultat u bilježnicu. Ponovite s neka druga tri uzastopna broja. Uočavate li pravilnost? Objasnite.

    Zbroj je djeljiv s 9 . Označimo tri uzastopna broja s n - 1 , n , n + 1 ​. Računamo:

    n - 1 3 + n 3 + n + 1 3 = n 3 - 3 n 2 + 3 n - 1 + n 3 + n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 = 3 n 3 + 6 n = 3 n n 2 + 2 .

    Zbroj je djeljiv s 3 . Treba još dokazati da je izraz​ n n 2 + 2 djeljiv s 3 . Postoje tri mogućnosti:

    1. ​Ako je n djeljiv s 3 , izraz je djeljiv s 3 .
    2. Broj n pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1 .

      Tada je n = 3 k + 1 . Treba dokazati da je n 2 + 2 djeljiv s 3 . Vrijedi: n 2 + 2 = 3 k + 1 2 + 2 = 9 k 2 + 6 k + 1 + 2 = 3 3 k 2 + 2 k + 1 , što je djeljivo s 3 .

    3. Broj n pri dijeljenju s 3 daje ostatak 2 .

      Tada je n = 3 k + 2 pa je n 2 + 2 = 3 k + 2 2 + 2 = 9 k 2 + 12 k + 4 + 2 = 3 3 k 2 + 4 k + 2 , što je djeljivo s 3 .


    Pascalov trokut

    Projekt

    Na slici je Pascalov trokut brojeva.

    U ovom ste modulu naučili formule za kvadrat i kub binoma:

    a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 i a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 .

    Koji su koeficijenti u formuli za kvadrat binoma? To su 1 , 2 i 1 .

    Koji su koeficijenti u formuli za kub binoma? To su 1 , 3 , 3 i 1 .

    Izračunajte: a + b 4 = a + b a + b 3 . Koji su koeficijenti u toj formuli?

    Koeficijente iz tih formula možemo zapisati u obliku trokuta. Nacrtajte takav trokut u bilježnicu pa u posljednji redak upišite koeficijente iz formule za​ a + b 4 .

    Promotrite neki element u trokutu. Kako ga možemo zapisati s pomoću elemenata iznad njega? Primijenite uočeno pravilo pa napišite idući redak trokuta. Provjerite množenjem jeste li dobili koeficijente u formuli za​ a + b 5 .

    Pascalov trokut je trokut s brojevima koji na rubnim elementima ima jedinice, a svaki element trokuta dobiven je zbrajanjem elemenata koji su neposredno iznad njega. Brojevi u Pascalovu trokutu koeficijenti su u formulama za potenciju binoma.

    Zadatak 12.

    Dopišite još nekoliko redova Pascalova trokuta. Promotrite brojeve u Pascalovu trokutu i pronađite pravilnosti. Za prvih nekoliko redaka izračunajte zbroj elemenata u retku. Promotrite brojeve koje ste dobili. Uočavate li pravilnost? Izrecite pravilo. Pročitajte članak o Pascalu i Pascalovu trokutu u časopisu Matka na poveznici.

    Zanimljivost

    Na slici je ilustracija Pascalovog trokuta iz knjige kineskog matematičara Yanga Huia iz 13. stoljeća.
    Yáng Huī (楊輝) (oko 1238. – 1298.), w:en:Image:Yanghui_triangle.gif, Public Domain, Link

    Pascalov trokut s koeficijentima potencija binoma naziv je dobio po matematičaru Blaiseu Pascalu, koji ga je opisao u 17. stoljeću, ali trokut je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. Sačuvana je ilustracija trokuta iz knjige kineskog matematičara Yanga Huia iz 13. stoljeća.

    Kutak za znatiželjne

    U ovom ste modulu naučili formule za razliku kvadrata, zbroj i razliku kubova. Vidjeli smo da ne postoji formula za zbroj kvadrata. Ispitajte vrijede li slične formule za zbroj i razliku viših potencija. Zapišite opće formule u bilježnicu. Objasnite ih.

    Jeste li uspjeli? Ako niste, izračunajte:

    1. a - b a 2 + a b + b 2

      a - b a 3 + a 2 b + a b 2 + b 3

      a - b a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + a b 3 + b 4 . Poopćite.​

    2. a + b a 2 - a b + b 2

      a + b a 3 - a 2 b + a b 2 - b 3

      a + b a 4 - a 3 b + a 2 b 2 - a b 3 + b 4 . Poopćite.


    Zadatak 13.

    Uparite formule tako da vrijedi znak jednakosti.

    Za svaki neparni broj ​ n > 1
    vrijedi a n + b n =  
    a + b a n - 1 - a n - 2 b + . . . - a b n - 2 + b n - 1
    Za svaki prirodni broj ​ n > 1
    vrijedi a n - b n =  
      a - b a n - 1 + a n - 2 b + . . . + a b n - 2 + b n - 1
    Za svaki parni prirodni broj ​ n vrijedi a + b a n - 1 - a n - 2 b + . . . + a b n - 2 - b n - 1 =
    a n - b n
    null
    null

    Zadatak 14.

    Pojednostavnite 1 + q + q 2 + . . . + q n .  

    Uvrstimo li u formulu za razliku potencija s eksponentom n + 1 umjesto varijable a broj 1 , a umjesto varijable b varijablu q , dobit ćemo:

    1 - q n + 1 = 1 - q 1 + q + q 2 + . . . + q n pa je

    1 + q + q 2 + . . . + q n = 1 - q n + 1 1 - q .

    Formula vrijedi za svaki prirodni broj ​ n i svaki realni broj​ q 1 .


    Zadatak 15.

    Dokažite da je broj:

    1. 5 2017 + 1 djeljiv sa 6
    2. 2 1985 + 1 djeljiv s 33 .
    1. ​Broj 6 možemo zapisati kao 6 = 5 + 1 , a

      5 2017 + 1 = 5 2017 + 1 2017 = 5 + 1 5 2016 - 5 2015 + . . . + 1 = 6 · m , m Z .

    2. ​Kako možemo dobiti 33 kao zbroj potencije broja 2 i broja 1 ?

      33 = 32 + 1 = 2 5 + 1 ,

      2 1985 + 1 = 2 5 397 + 1 = 32 397 + 1 397 = 32 + 1 32 396 - 32 395 + . . . + 1 = 33 · m , m Z .


    ...i na kraju

    Složite pločice tako da izrazi koji se dodiruju budu odgovarajući. Pločice možete okretati klikom na strelice koje će se pojaviti kad prijeđete mišom preko pločica.