x
Učitavanje

2.1 Pojam potencije

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na petoj bi slici bilo 4 · 4 · 4 · 4 = 256 , a na desetoj 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 262 144 kvadrata.


Riješite sljedeća dva zadatka o kvadratima iz videozapisa.

Zadatak 1.

Duljina je stranice početnog kvadrata 1 dm . Kolike su duljine stranica obojenih kvadrata na idućim slikama?

Kolika bi bila duljina stranice na petoj slici? Kolika bi bila na dvanaestoj?

Duljine su stranica: na drugoj slici ​ 1 3 dm , na trećoj 1 3 · 1 3 = 1 9 dm ,

a na četvrtoj 1 3 · 1 3 · 1 3 = 1 27 dm .

Na petoj bi slici duljine stranica bile 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 = 1 81 dm ,

a na dvanaestoj 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 = 1 177 147 dm .


Zadatak 2.

Kolika je ukupna površina obojenih kvadrata na svakoj od slika?

Kolika bi bila površina obojenih kvadrata na petoj slici? Kolika bi bila na jedanaestoj?

Površine su: na prvoj slici 1 dm 2 , na drugoj slici ​ 4 9 dm 2 , na trećoj 4 9 · 4 9 = 16 81 dm 2 ,

na četvrtoj 4 9 · 4 9 · 4 9 = 64 729 dm 2 .

Na petoj bi slici površina bila 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 = 256 6 561 dm 2 ,

a na jedanaestoj 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 = 1 048 576 3 486 784 401 dm 2 .


Broj kvadrata, duljinu stranice i površinu na pojedinoj slici računali smo kao umnožak jednakih faktora. Zapis s pomoću jednakih faktora može biti dug i nepregledan pa koristimo ovaj skraćeni zapis:

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 9 ,

1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 · 1 3 = 1 3 11 , 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 · 4 9 = 4 9 10 .

Kažemo da smo uzastopno množenje zapisali u obliku potencije.

Potencija s prirodnim eksponentom

Neka je a realan broj i n prirodni broj veći od jedan. Potencija a n je zapis umnoška u kojem se broj a pojavljuje n puta kao faktor. Broj a zovemo baza potencije, a broj n eksponent.

a · a · . . . · a n puta = a n

Primjer 1.

Ako se broj 5.1 sedam puta pojavljuje kao faktor, umnožak je 5.1 · 5.1 · 5.1 · 5.1 · 5.1 · 5.1 · 5.1 što zapisujemo 5.1 7 . Baza je 5.1 , a eksponent 7 .

Ako se broj - 7 četiri puta pojavljuje kao faktor, umnožak je - 7 · - 7 · - 7 · - 7 , što zapisujemo - 7 4 . Baza je - 7 , a eksponent 4 .

Zadatak 3.

Zapišite umnoške u obliku potencije. Pomicanjem klizača, pojavit će se novi zadatak.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Povežite umnožak s odgovarajućom potencijom.

5 8
x · x · x · x
- x 4  
1.2 · 1.2 · 1.2 · 1.2 · 1.2
8 5
8 · 8 · 8 · 8 · 8
- 1.2 3  
5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5
1.2 5
1.2 · 1.2 · 1.2
1.2 3
x · x · x · x   
x 4
- 1.2 · - 1.2 · - 1.2
null
null

Potencije suprotnih baza

Primjer 2.

  1. Usporedimo brojeve - 3 4 , 3 4 i - 3 4 .

    Potencija - 3 4 jednaka je umnošku u kojem se broj - 3 pojavljuje kao faktor 4 puta:

    - 3 4 = - 3 · - 3 · - 3 · - 3 = 81 .

    Potencija 3 4 jednaka je umnošku u kojem se broj 3 pojavljuje kao faktor 4 puta:

    3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .

    Potencija - 3 4 je suprotni broj potencije 3 4 :

    - 3 4 = - 3 4 = - 81 .

    Zaključimo: - 3 4 = 81 , 3 4 = 81 , - 3 4 = - 81 , pa je - 3 4 = 3 4 i - 3 4 - 3 4 .

  2. Usporedimo brojeve - 3 5 , - 3 5 i 3 5 .

    Potencija - 3 5 jednaka je umnošku u kojem se broj - 3 pojavljuje kao faktor 5 puta:

    - 3 5 = - 3 · - 3 · - 3 · - 3 · - 3 = - 243 .

    Potencija 3 5 jednaka je umnošku u kojem se broj 3 pojavljuje kao faktor 5 puta:

    3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 .

    Potencija - 3 5 je suprotni broj potencije 3 5 :

    - 3 5 = - 3 5 = - 243 .

    Zaključimo: - 3 5 = - 243 , 3 5 = 243 , - 3 5 = - 243 , pa je - 3 5 = - 3 5 i - 3 5 3 5 .

Promotrite vrijednosti potencija u sljedećoj animaciji. Mijenjajte vrijednosti baze i eksponenta. Uočavate li pravilnost?

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 5.

Primijenite zaključke iz prethodne aktivnosti pa označite točne tvrdnje.

Za proizvoljnu pozitivnu bazu a i prirodni eksponent n brojevi - a n i a n

null
null

Zaključimo prethodna razmatranja. Za parne su eksponente potencije suprotnih baza jednake, a za neparne su eksponente potencije suprotne.

Svaki parni prirodni broj možemo zapisati u obliku​ 2 n . Neparni prirodni broj veći od 1 možemo zapisati u obliku 2 n + 1 , n N .   Stoga prethodni zaključak možemo formulama zapisati ovako:

Za pozitivnu bazu a i prirodni broj n vrijedi:

- a 2 n = a 2 n i - a 2 n + 1 = - a 2 n + 1 .

Zadatak 6.

Obrazložite formule - a 2 n = a 2 n i - a 2 n + 1 = - a 2 n + 1 za pozitivnu bazu a i prirodni broj n .

Po definiciji je - a 2 n zapis umnoška u kojem se negativni broj - a pojavljuje kao faktor paran broj puta. Rezultat je pozitivan i jednak je umnošku u kojem se broj a pojavljuje kao faktor 2 n puta, što zapisujemo a 2 n .

Također je po definiciji - a 2 n + 1 zapis umnoška u kojem se negativni broj - a pojavljuje kao faktor neparan broj puta. Rezultat je negativan i suprotan je umnošku u kojem se broj a pojavljuje kao faktor 2 n + 1 puta, što zapisujemo - a 2 n + 1 .


Broj podskupova

Primjer 3.

Odredimo sve podskupove skupa

  1. A = a b
  2. B = a b c
  1. Podskupovi skupa A su: , a , b , a b . Skup A ima četiri podskupa.
  2. Podskupovi skupa B su: , a , b , c , a b , a c , b c , a b c . Skup B ima osam podskupova.

Zadatak 7.

Odredite sve podskupove skupova C = a , b , c , d , D = a , b , c , d , e . Promotrite broj elemenata skupa i broj svih podskupova. Uočavate li pravilnost? Pretpostavite koliko podskupova ima skup E ako je:

  1. card ​ E = 6
  2. card E = 10
  3. card E = n .

​Prisjetite se (1.1. Skupovi), card E je kardinalni broj skupa E i označava broj elemenata skupa E .

Skup C ima 16 podskupova, a skup D ima 32 podskupa.

Primjećujemo da je 16 = 2 4 i card C = 4 . 32 = 2 5 i card D = 5 .

  1. 2 6 = 64
  2. 2 10 = 1 024
  3. 2 n

Skup od n elemenata ima 2 n podskupa.

Pokušajte sami dokazati tu tvrdnju ili pogledajte dokaz u videozapisu.

Što smo pokazali u videozapisu?

Ako skup od 2 elementa ima 2 2 podskupa, onda skup od 3 elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno ​ 2 · 2 2 = 2 · 2 · 2 = 2 3 podskupa.

Ako skup od 3 elementa ima 2 3 podskupa, onda skup od 4 elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno ​ 2 · 2 3 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 podskupa.

Na sličan način možemo zaključiti:

Ako skup od n elementa ima 2 n podskupa, onda skup od n + 1 elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno ​ 2 · 2 n = 2 · 2 · . . . · 2 n = 2 n + 1 podskupa.

Štednja

Na slici je kasica za štednju.

Marko je uložio u banku 2 500 kn uz godišnju kamatnu stopu od 4 % . Nakon godinu dana iznosu na Markovu računu pribrojit će se 4 % od iznosa na računu.

Zadatak 8.

Kako izračunati iznos na Markovu računu nakon nekoliko godina? Krenimo redom pa odredimo najprije iznos nakon jedne godine, a zatim nakon dvije. Izračunajte iznose u sljedećem zadatku i zapišite ih s pomoću uloženog iznosa, kamatne stope i broja proteklih godina.

Nakon jedne godine dobit će kn kamata. Te će kamate također uložiti te će njegov ukupni ulog biti kn , što je · 2 500 . Nakon druge godine dobit će kn kamata koje će uložiti te će njegov ukupni ulog biti kn , što je · 2 500 = 2 · 2 500 .
null
null

Zadatak 9.

U bilježnicu zapišite formulom koliki će biti Markov ukupni ulog nakon 3 , 5 , 10 , n godina.​

Nakon tri godine ulog će biti 1.04 3 · 2 500 = 2 812.16 kn .

Nakon pet godina ulog će biti 1.04 5 · 2 500 = 3 041.63 kn .

Nakon deset godina ulog će biti 1.04 10 · 2 500 = 3 700.61 kn .

Nakon n godina ulog će biti 1.04 n · 2 500 kn .

Elektronička pošta

Na slici je djevojka s računalom.

Maja je poslala e-poštu na pet e-adresa. U e-pošti je uputa primatelju da sat vremena nakon primitka proslijedi e-poštu dalje na novih pet e-adresa. Pretpostavimo da svi koji prime e-poštu postupaju po uputi.

Zadatak 10.

Na koliko će e-adresa biti poslana e-pošta nakon

  1. jedan sat
  2. dva sata
  3. pet sati
  4. trinaest sati?

Koliki je to postotak stanovništva Zemlje?

  1. 5 · 5 = 5 2 = 25
  2. 5 · 25 = 5 3 = 125
  3. 5 6 = 15 625
  4. 5 14 = 6 103 515 625 , 81.4 % stanovništva Zemlje.

(stanovništvo Zemlje 7 500 000 000 )


Broj djelitelja prirodnoga broja

Zadatak 11.

U bilježnicu napišite u obliku potencija sve djelitelje broja:

  1. 3
  2. 3 2
  3. 3 3
  4. 3 4 .

Koliko djelitelja imaju zadani brojevi?

Uočavate li pravilnost? Možete li je obrazložiti? Primijenite uočenu pravilnost pa odredite broj djelitelja broja 3 25 i ​ 3 n .

  1. Broj 3 ima dva djelitelja: 1 i 3 .
  2. Broj 3 2 ima tri djelitelja: 1 , 3 i 3 2 .
  3. Broj 3 3 ima četiri djelitelja, a broj 3 4 pet. Broj djelitelja je za jedan veći od eksponenta.
  4. Broj 3 25 ima 26 djelitelja.

Broj 3 n ima n + 1 djelitelja. Djelitelji su osim brojeva 1 i 3 potencije broja 3 s eksponentima od 2 do n , ukupno n + 1 djelitelj.

Broj 3 2 ima tri djelitelja: 1 , 3 i 3 2 .


Zadatak 12.

Odredite sve djelitelje brojeva:

  1. 3 2 · 5 ; 3 2 · 5 2 ; 3 2 · 5 3
  2. 3 2 · 5 · 2 ; 3 2 · 5 · 2 2 ; 3 2 · 5 · 2 3 .

Koliko djelitelja imaju zadani brojevi? Uočavate li pravilnost?

Koliko djelitelja ima broj p 1 k 1 · p 2 k 2 · . . . p n k n   gdje su p 1 , p 2 , . . . , p n različiti prosti brojevi? Obrazložite svoje zaključke.

Broj djelitelja je​ k 1 + 1 k 2 + 1 . . . k n + 1 .

Zadatak 13.

Riješite ove zadatke:

  1. Koliko djelitelja ima broj 16 200 ?
  2. Odredite sve troznamenkaste prirodne brojeve koji imaju točno pet djelitelja.
  3. Ako je broj djelitelja nekoga prirodnoga broja neparan, dokažite da je taj broj potpun kvadrat.
  4. Pokažite da ne postoji četveroznamenkasti broj djeljiv sa 143 koji ima točno 9 djelitelja.
  1. 129 600 = 2 6 · 3 4 · 5 2 pa ima 6 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 = 7 · 5 · 3 = 105 djelitelja.​
  2. Broj je oblika p 4 . Jedini je troznamenkasti broj tog oblika 5 4 = 625 .
  3. Ako je broj djelitelja neparan, svi su faktori oblika k + 1 neparni. Svi eksponenti su parni pa je broj potpun kvadrat.
  4. Broj je djeljiv sa 143 pa u rastavu na proste faktore ima 11 i 13 . Zato što je broj djeljitelja 9 , eksponenti su 2 . Ali 11 2 · 13 2 = 20 449 , pa ne postoji četveroznamenkasti broj s traženim svojstvima.

...i na kraju

Ponovimo:

Potencija a n , gdje je a realan broj i n prirodni broj veći od jedan, zapis je umnoška u kojem se broj a pojavljuje kao faktor n puta: a n = a · a · . . . · a n puta .

Za svaki pozitivni realni broj a i prirodni broj n vrijedi:

  1. - a 2 n = a 2 n
  2. - a 2 n + 1 = - a 2 n + 1 .

Idemo na sljedeću jedinicu

2.2 Potencije s cjelobrojnim eksponentom