x
Učitavanje

8.4 Formule za površinu trokuta

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su trokuti.

Na slici su trokuti obojeni u nekoliko nijansi zelene. Izmjenom svijetlih i tamnih trokuta postiže se dojam trodimenzionalnosti. Možete li promatrajući sliku procijeniti udio trokuta pojedinih nijansi? Može li se taj udio izračunati? Koji su nam podatci potrebni kako bismo mogli izračunati površine trokuta u pojedinoj nijansi? U ovoj ćemo jedinici ponoviti formule za računanje površine trokuta koje ste već upoznali i naučiti neke nove.

Površina pravokutnika i pravokutnog trokuta

Prisjetimo se računanja površine pravokutnika.

Zadatak 1.

Odredite površinu pravokutnika na slikama pa sparite sliku pravokutnika i njegovu površinu u cm 2 .

 

Na slici je pravokutnik sa stranicama duljina 6 cm i 5 cm.
Na slici je pravokutnik sa stranicama duljina 10 cm i 5 cm.
Na slici je pravokutnik sa stranicama duljina 11 cm i 2 cm.
null
null

Zadatak 2.

Izračunajte površinu pravokutnika kojemu su duljine stranica 12.3 cm i 7.1 cm .

p = 87.33 cm 2   ​


Zaključimo:

Površina pravokutnika kojemu su duljine stranica a i b računa se po formuli p = a b .

Zadatak 3.

Odredite površinu pravokutnih trokuta na slikama pa sparite sliku trokuta i njegovu površinu u cm 2 .

 

Na slici je pravokutni trokut sa katetama duljina 11 cm i 6 cm.
Na slici je pravokutni trokut sa katetama duljina 4 cm i 6 cm.
 ​
Na slici je pravokutni trokut sa katetama duljina 10 cm i 3 cm.

 ​
Na slici je pravokutni trokut sa katetama duljina 7 cm i 6 cm.
null
null

Zadatak 4.

Izračunajte površinu pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta 15.3 cm i 7.6 cm .

p = 58.14   cm


Zaključimo: Dijagonala dijeli pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika kojemu su stranice katete pravokutnog trokuta.

Na slici je pravokutni trokut i formula za površinu pravokutnog trokuta.

Površina pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta a i b računa se po formuli p = a b 2 .

Zadatak 5.

Odredite površinu pravokutnih trokuta na slikama pa sparite sliku trokuta i njegovu površinu u cm 2 .

 

Na slici je pravokutni trokut sa katetama duljina 10 cm i 14 cm.
Na slici je pravokutni trokut sa katetama duljina 11 cm i 8.5 cm.
Na slici je pravokutni trokut sa katetom duljine 12.4 cm i hipotenuzom duljine 19.2 cm.
null
null

Površina trokuta

Računali smo površinu pravokutnog trokuta. Može li nam to pomoći pri računanju površine trokuta koji nije pravokutan? Nacrtamo li u trokutu neku visinu, pojavit će se pravokutni trokuti. Promotrite slike.

Zadatak 6.

Odredite površinu pravokutnih trokuta na slikama pa sparite sliku trokuta A B C i njegovu površinu u cm 2 .

 

Na slici je trokut ABC i visina CD. Duljina dužine AD je 7, DB je 2, CD je 4.
Na slici je trokut ABC i visina AD. Duljina dužine BD je 5, DC je 3, AD je 8.
null
null

Zadatak 7.

Odaberite prikladnu metodu pa izračunajte površinu trokuta na slici.

Na slici je trokut.
Površina trokuta na slici jest cm 2 .
null
null
Na slici je trokut.
Površina trokuta na slici jest cm 2 .
null
Na slici je trokut.
Površina trokuta na slici jest cm 2

Pomoć:

 Od površine pravokutnika oduzmite površine triju pravokutnih trokuta.

Na slici je trokut upisan u pravokutnik.


null

Primjer 1.

Na slici je šiljastokutni trokut. Nacrtana je visina i označeni su dijelovi na koje visina dijeli stranicu.

Površinu trokuta možemo odrediti pomoću površine pravokutnih trokuta. Nacrtajmo u šiljastokutnom trokutu jednu visinu. Trokut je podijeljen na dva pravokutna trokuta.

P = P 1 + P 2 = x v 2 + y v 2 = v 2 x + y = v 2 c = v c 2  

Zadatak 8.

Na slici je tupokutni trokut. Označena je visina i projekcije dviju stranica na treću.

Hoćemo li za tupokutni trokut dobiti istu formulu? Izvedite formulu za površinu tupokutnog trokuta.

P = P 1 - P 2 = c + x v 2 - x v 2 = v 2 c + ( x - x ) = v 2 c = v c 2  


Zaključimo:

Površina trokuta

Površina trokuta sa stranicom a i visinom na tu stranicu v računa se po formuli p = a v 2 .

Zadatak 9.

Izračunajte površinu trokuta A B C na slikama.

  1. Na slici je trokut sa stranicom duljine 20 cm i visinom 10 cm.

    p = cm 2 .
    null
    null
  2. Na slici je trokut sa stranicama a=14 cm, b=16 cm i visinom vb=8.5 cm.

    p = cm 2
    null
    null
  3. Na slici je trokut sa stranicom c=8 cm i visinama vb=6 cm i vc=18 cm..

    p = cm 2 .
    null
    null

Zadatak 10.

Površinu složenijih likova možemo izračunati dijeljenjem lika na trokute. Izračunajte površine likova sa slika pa upišite točan odgovor.

  1. Na slici je trapez. Duljine osnovica su 7 i 2, a visina je 7.

    p = cm 2

     

    null
  2. Na slici je trapez. Duljine osnovica su 6 i 8, a visina je 6.

    p = cm 2 .
    null
  3. Na slici je paralelogram. Duljina stranice je 5, a visina je 6.

    p = cm 2 .
    null
    null

Opseg i površina trokuta

Postoji li veza između površine i opsega trokuta? Istražimo.

Praktična vježba

Nacrtajte trokut. Izmjerite mu duljine stranica pa izračunajte opseg. Nacrtajte neku visinu, izmjerite joj duljinu pa izračunajte površinu. Nacrtajte još neke veličine karakteristične za trokut pa i njih izmjerite. Možete li uočiti neku pravilnost među izmjerenim i izračunatim veličinama? Zapišite svoje pretpostavke.

Promotrite površinu i opseg trokuta na mnogo primjera u sljedećoj interakciji. Mijenjajte položaj vrhova trokuta. Uočavate li neku pravilnost među izmjerenim veličinama? Zapišite svoje zaključke.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 11.

Označimo površinu trokuta p , opseg trokuta o , polumjer opisane kružnice R , polumjer upisane kružnice r . Na osnovi prethodnih promatranja označite točan odgovor.

p o =

null
null

Zaključimo.

Neka je r polumjer trokutu upisane kružnice, a s = 1 2 o = 1 2 a + b + c poluopseg. Površina trokuta računa se po formuli p = r o 2 = r s .

Na slici je trokut i središte trokutu upisane kružnice.

Dokažite formulu za površinu. Spojite središte upisane kružnice i vrhove trokuta. Trokut A B C podijeljen je na tri trokuta:

S B C , S C A i S A B . Promotrite trokut S B C . Osnovica tog trokuta jest a . Visina na osnovicu jest r . Zapišite formulom površinu tog trokuta. Ponovite isti postupak za preostala dva trokuta. Postavite u trokute formule za njihovu površinu.

 

Na slici je trokut, simetrale kutova i središte trokutu upisane kružnice

a r 2

b r 2

c r 2

 

null

Ukupnu ćemo površinu trokuta A B C dobiti zbrajanjem površina triju trokuta od kojih se sastoji:

p = p 1 + p 2 + p 3 = a r 2 + b r 2 + c r 2 = r a + b + c 2 = r s

Zadatak 12.

Duljine stranica trokuta iznose 5 cm , 3.5 cm i 6.5 cm . Polumjer upisane kružnice jest 2 3 3 cm .

Odredite površinu trokuta.

p = 5 3 cm 2  


Projekt

Unutar pravokutnog zemljišta dimenzija 10 m × 7 m treba ograditi dio u obliku trokuta. Na raspolaganju nam je 28 m ograde. Na ograđenom dijelu zemljišta izgradit će se bazen okrugla oblika. Predložite nekoliko rješenja. Za svako predloženo rješenje nacrtajte u bilježnicu skicu, izračunajte površinu zemljišta i površinu bazena.

Metoda površina

Kutak za znatiželjne

U trokutu su v 1 , v 2 , v 3 duljine visina, a r je duljina polumjera upisane kružnice. Dokažite: 1 r = 1 v 1 + 1 v 2 + 1 v 3

U dokazu ste koristili dvije formule za površinu trokuta. Metoda dokazivanja identiteta pomoću različitih formula za površinu istog lika naziva se metoda površina. Primijenite metodu površina u sljedećem zadatku.

Zadatak 13.

Zbroj udaljenosti bilo koje unutarnje točke jednakostraničnog trokuta do njegovih stranica ne ovisi o izboru te točke. Čemu je jednak zbroj tih udaljenosti? Dokažite.

...i na kraju

Površina trokuta može se odrediti na različite načine. Koji ćemo način odabrati ovisi o vrsti trokuta i poznatim elementima trokuta. Promotrimo na kraju još jednu formulu za računanje površine trokuta. Formula se naziva Heronova formula, a koristi se za računanje površine trokuta kojem su zadane duljine svih triju stranica trokuta. U formuli su duljine stranica označene s a , b , c i poluopseg sa s .

Heronova formula: p = s s - a s - b s - c

Zadatak 14.

Izračunajte Heronovom formulom površinu trokuta kojemu su stranice duljina 30 cm , 38 cm , 28 cm .   

p = 240 3 cm 2


U nekim zadatcima možemo površinu trokuta izraziti na dva načina te pomoću tih formula izračunati nepoznati element trokuta. Samostalno ili uz pomoć videa riješite zadatak:

Duljine stranica trokuta iznose 13 cm , 14 cm i 15 cm . Odredite duljinu polumjera upisane kružnice.

Kutak za znatiželjne

Na slici je trokut. Nacrtana je visina iz vrha A.

Dokažite Heronovu formulu.

  1. Izrazite površinu trokuta pomoću stranice a i visine v .
  2. Izrazite kvadrat visine v 2 na dva načina.
  3. Izjednačite izraze za kvadrat visine pa izrazite x .
  4. Uvrstite dobiveni izraz za x u jednu od formula za kvadrat visine v 2 . Dobili ste izraz za kvadrat visine u kojem se pojavljuju samo duljine stranica. Taj izraz treba srediti.
  5. Uočite razliku kvadrata pa izraz rastavite na faktore.
  6. Svedite izraze u zagradama na zajedničke nazivnike.
  7. Zapišite izraze u brojniku kao razlike kvadrata pa ih rastavite na faktore.
  8. Uvedite oznaku za poluopseg s = a + b + c 2 . Zapišite faktore u brojniku na jednostavniji način pomoću s . Dobili ste formulu za visinu pomoću a , b , c i s u faktoriziranom obliku.
  9. Uvrstite izraz za visinu u formulu za površinu trokuta i sredite.

Idemo na sljedeću jedinicu

8.5 Proporcionalnost