x
Učitavanje

5.1 Koordinatni sustav u ravnini

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je šahovska ploča i igrač koji igra skakača na f4.

Šahovska algebarska notacija skraćeni je način zapisivanja šahovskih poteza. Koristi se u opisivanju partija, u knjigama o šahu i pri igranju šaha naslijepo. Stupci su označeni slovima a, b, c, d, e, f, g, h. Redci su označeni brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Kako se opisuju potezi? Zapiše se oznaka za figuru, zatim položaj na kojem se figura nalazi i na kraju položaj na koji se figura pomiče. Tako, na primjer, S d7 e5 znači da se skakač pomaknuo s položaja d7 na položaj e5.

Zadatak 1.

Šah možete igrati i online, na primjer, na stranici.

Odigrajte ove poteze:

Bijeli: f2 f3. Crni: e7 e5. Bijeli: g2 g4. Crni: D d8 h4.

Povezani sadržaji

Na slici su šahovske figure.

Način igranja šaha u kojem igrač ne gleda i ne dotiče figure naziva se šah naslijepo. Potezi se opisuju šahovskom notacijom. Pojavio se rano u povijesti igranja šaha, a služio je ujednačavanju izgleda za pobjedu u susretima šahovskih majstora i slabijih igrača ili za pokazivanje izuzetnog umijeća. Sposobnost igranja šaha naslijepo bila je predmet istraživanja psihologa. Tako je, na primjer, psiholog Alfred Binet, izumitelj prvog IQ testa, proučavao igrače šaha naslijepo i zaključio da su pojedini igrači razvijali različite načine pamćenja igre. Danas se u svijetu igraju mnogi turniri u šahu naslijepo.

Promotrimo šahovsku algebarsku notaciju. Od čega se notacija sastoji? Najprije je oznaka za figuru koja se pomiče. Zatim slijede oznake početnog položaja i položaja na koji se figura pomiče. Zanimaju nas oznake položaja. Od čega se sastoje? Zapišite u bilježnicu  skupove s pomoću čijih se elemenata stvara oznaka položaja. Je li oznaka položaja element tih skupova?

Oznaka položaja sastoji se od jednog slova i jednog broja. Slovo je iz skupa A = a , b , c , d , e , f , g , h , a broj je iz skupa B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 . Oznaka položaja nije element skupa A ni skupa B .


Primjer 1.

Zadani su skupovi A = a , b , c , d , e , f , g , h i B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 . Promotrimo oznaku f4 za položaj na šahovskoj ploči. Oznaka se sastoji od jednog elementa skupa A i jednog elementa skupa B . Takav ćemo novi element u matematici zapisivati ovako: f , 4 i nazvati ga uređeni par. Pritom je f prvi element para, a 4 drugi. Promatrat ćemo skup svih uređenih parova u kojima je prvi element iz skupa A , a drugi element iz skupa B . Taj ćemo skup parova nazvati Kartezijev umnožak skupova A i B i označivati s A × B .

Zadatak 2.

Zadani su skupovi A = a , b , c , d , e , f , g , h i B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 . Označite točne odgovore.

  1. ( a , 4 ) A × B  

    null
    null
  2. ( c , 9 ) A × B  

    null
    null
  3. d A × B

    null
    null
  4. ( 4 , f ) A × B  

    null
    null

Kartezijev umnožak skupova

Zapišimo definicije i oznake novih pojmova.

Uređeni par je par elemenata u kojem se točno zna koji je prvi, a koji drugi element para. Uređeni par označujemo s a , b . Prvi je element para a , a drugi b .

Zadatak 3.

Kada ćemo za dva uređena para reći da su jednaki? Označite točan odgovor.

  1. Uređeni parovi 5 , 6 i 5 , 7 su jednaki.

    null
    null
  2. Uređeni parovi 4 , 5 i 7 , 5 su jednaki.

    null
    null
  3. Uređeni parovi 2 , 5  i 5 , 2 su jednaki.

    null
    null

Zaključimo.

Uređeni su parovi a , b  i c , d jednaki ako i samo ako je a = c i b = d .

Kartezijev umnožak skupova A i B je skup A × B svih uređenih parova u kojima je prvi element para iz skupa A , a drugi element para iz skupa B.

A × B = a , b : a A , b B

Zadatak 4.

Zadani su skupovi A = , i B = p , q , r . Ispišite u bilježnicu sve elemente skupova A × B i B × A .

A × B = , p , , q , , r , , p , , q , , r

B × A = p , , p , , q , , q , , r , , r ,


Primjer 2.

Na slici je grafički prikaz kartezijevog umnoška.

Elemente Kartezijeva umnoška skupova možemo prikazati grafički. Prikažimo Kartezijev umnožak A × B iz prethodnog zadatka.

Zadatak 5.

Na slici je grafički prikaz Kartezijeva umnoška A × B skupova A = 1 , 2 , 3 , 4  i B = 1 , 2 , 3 . Postavite elemente Kartezijeva umnoška na odgovarajuće točke.

 

Na slici je grafički prikaz Kartezijevog umnoška AxB.

  ​ 1 , 1  

3 , 1

1 , 3

4 , 3

2 , 2

2 , 3

4 , 2

3 , 3

1 , 2

3 , 2

4 , 1

2 , 1  

null
null

Zadatak 6.

U prethodnim smo zadatcima promatrali Kartezijev umnožak dvaju različitih skupova. Odredite Kartezijev umnožak X × X skupa X = 1 , 2 , 3  sa samim sobom. U bilježnicu prikažite X × X grafički.

Na slici je grafički prikaz kartezijevog umnoška skupa sa samim sobom.

Promotrimo Kartezijev umnožak Z × Z skupa cijelih brojeva sa samim sobom. Skup Z je beskonačan skup pa je beskonačan i skup Z × Z svih uređenih parova cijelih brojeva. Zato ne možemo ispisati sve elemente skupa Z × Z pa skup Z × Z opisujemo njegovim svojstvom: Z × Z= m , n : m , n Z .

Na slici je grafički prikaz kartezijevog umnoška Z x Z.

Grafički prikaz skupa Z × Z također se sastoji od beskonačno mnogo točaka pa crtamo samo neke i podrazumijevamo da se mreža točaka nastavlja beskonačno na sve četiri strane. Ali ispisivanje je uređenih parova uz neke od točaka mukotrpno i nepregledno, a ako ne zapisujemo parove, ne znamo kojoj točki pripada koji par. Zato na sliku dodajmo dva međusobno okomita pravca koji će označiti položaj parova čiji je prvi ili drugi element jednak 0 .

Na slici je grafički prikaz kartezijevog umnoška Z x Z s koordinatnim osima.

Zadatak 7.

Smjestite uređene parove na odgovarajuća mjesta u grafičkom prikazu Kartezijeva umnoška Z × Z .

 

Na slici je grafički prikaz Kartezijevog umnoška ZxZ.

2 , 4

3 , 1

1 , - 1

- 2 , - 3  

- 3 , 2

- 2 , 0

0 , 3

- 3 , - 3

0 , 0

 

 

Kartezijev koordinatni sustav

Primjer 3.

Na slici je grafički prikaz kartezijevog umnoška R x R.

Promotrimo Kartezijev umnožak R × R skupa realnih brojeva sa samim sobom. Elementi su Kartezijeva umnoška R × R svi uređeni parovi a , b gdje su a i b realni brojevi.

Skup R × R beskonačan je, a neki od elemenata su na primjer: 0.3 , - 2 , - 2 , 2 3 , - π 2 , - 5 , 1 - 3 , 5 , - 3 , 7 ...

Kako ćemo grafički prikazati Kartezijev umnožak R × R ? Odaberimo dva međusobno okomita brojevna pravca kao na sljedećoj slici.

Kažemo da smo u ravnini definirali Kartezijev koordinatni sustav. Svakoj točki u ravnini pripada jedan uređeni par Kartezijeva umnoška R × R . I obratno, svaki uređeni par određuje jednu točku u ravnini.

Zadatak 8.

Za zadani uređeni par odredite odgovarajuću točku u ravnini. Poredajte korake.

- 3.5 , 2  

  • Na slici je pravac usporedan s y osi točkom (-3.5,0).

  • Na slici je u sjecištu pravaca točka (-3.5,2).


  • Na slici je koordinatni sustav i istaknuta točka (-3.5,0)


  • Na slici su pravci paralelni s koordinatnim osima točkama (-3.5,0) i (0,2).



  • Na slici je pravac usporedan s y osi točkom (-3.5,0) i točka (0,2).


null
null

Zapišimo definicije i oznake novih pojmova.

Kartezijev koordinatni sustav u ravnini određuju dva međusobno okomita brojevna pravca koja nazivamo koordinatne osi. Horizontalnu os nazivamo os x ili os apscisa. Vertikalnu os nazivamo os y ili os ordinata.

Sjecište koordinatnih osi nazivamo ishodište koordinatnog sustava.

Svaki element x , y Kartezijeva umnoška R × R određuje jednu točku T  ravnine i obratno. Kažemo da su x , y koordinate točke T i pišemo T x , y . Broj x nazivamo apscisa točke T , a broj y je ordinata točke T .

Kartezijev koordinatni sustav u ravnini:Kartezijev koordinatni sustav u ravnini određuju dva međusobno okomita brojevna pravca koja nazivamo koordinatne osi. Horizontalnu os nazivamo os x ili os apscisa. Vertikalnu os nazivamo os y ili os ordinata.

Sjecište koordinatnih osi nazivamo ishodište koordinatnog sustava.

Svaki element x , y Kartezijeva umnoška R × R određuje jednu točku T  ravnine i obratno. Kažemo da su x , y koordinate točke T i pišemo T x , y . Broj x nazivamo apscisa točke T , a broj y je ordinata točke T .

Zanimljivost

Na slici je Rene Descartes.
Rene Descartes

Francuski matematičar René Descartes prvi je opisao pravokutni koordinatni sustav koji je po njemu dobio ime (Kartezijev sustav). Otkriće koordinatnog sustava omogućilo je rješavanje geometrijskih problema algebarskim metodama. Prikazivanje ovisnosti dviju veličina u koordinatnom sustavu omogućilo je daljnji razvoj matematike, osobito u području diferencijalnog računa. Koordinatni se sustav upotrebljava za prikazivanje u mnogim područjima, na primjer u fizici, astronomiji, tehnici i informatici.

Zadatak 9.

Prikažite točke zadane koordinatama. Odredite koordinate točke nacrtane u koordinatnom sustavu.

Povećaj ili smanji interakciju

Kvadranti i točke na osima

Koordinatne su osi podijelile ravninu na četiri dijela. Nazivamo ih kvadranti.

Na slici su označeni kvadranti.

Zadatak 10.

Označite točan odgovor.

  1. Točka A 3 , - 5 pripada drugom kvadrantu.

    null

    Postupak:

    Točka A 3 , - 5 pripada četvrtom kvadrantu.

  2. Apscise su točaka drugog kvadranta negativne.

    null
  3. Umnožak je koordinata točaka trećeg kvadranta negativan.

    null
    null
  4. Točka B 7 , 11 pripada prvom kvadrantu.

    null

Zadatak 11.

Promotrite koordinate točaka na koordinatnim osima. Označite točan odgovor.

  1. Točka A 0 , 2.9 nalazi se na osi apscisa.

    null
    null
  2. Ako je točka B s , t na osi apscisa, onda je t = 0 .

    null
    null
  3. Točka C 0 , - 15 nalazi se na osi ordinata.

    null
    null
  4. Ako je točka D na osi ordinata, onda je apscisa točke D jednaka 0 .

    null
    null

Skupovi točaka u koordinatnom sustavu

Točke i skupovi točaka mogu u koordinatnom sustavu biti zadani geometrijskim svojstvima ili svojstvima njihovih koordinata. Riješimo nekoliko zadataka.

Zadatak 12.

Zadana je točka T 3 , - 5 . Odredite koordinate točke:

  1. A ako su točke T i A  simetrične s obzirom na os apscisa
  2. B ako su točke T i B  simetrične s obzirom na os ordinata
  3. C ako su točke T i C  simetrične s obzirom na ishodište.
  1. A 3 , 5
  2. B - 3 , - 5
  3. C - 3 , 5

Zadatak 13.

Označite skup čiji je prikaz u koordinatnom sustavu na slici.


  1. Na slici je polupravac prema dolje, usporedan s osi y, s početkom u točki (3,2) koja je označena praznim kružićem.

     

    null

  2. Na slici je polupravac prema desno, usporedan s osi x, s početkom u točki (2,3) koja je označena punim kružićem.

    null

  3. Na slici je dužina usporedna s osi x od točke (-5,2) koja je puna do točke (-1,2) koja je prazna.

    null
    null

  4. Na slici je dužina usporedna s osi y od točke (3,3) koja je puna do točke (3,-2) koja je prazna.

    null

Zadatak 14.

Nacrtajte u bilježnicu koordinatni sustav. Prikažite u koordinatnom sustavu skupove točaka:

  1. x , y : x = - 2
  2. x , y : y 2
  3. x , y : x < 3 , y - 2 .
rješenje a) zadatka
rješenje b) zadatka
rješenje c) zadatka

Zadatak 15.

Nacrtajte u bilježnicu koordinatni sustav. Prikažite u koordinatnom sustavu skup točaka

x , y : x - 3 1 , y - 1 > 2 .

Rješenje pogledajte u animaciji.


Od geografske karte do GPS-a

Povezani sadržaji

Na slici je Ptolomejeva karta.
Autor Credited to Francesco di Antonio del Chierico – Ptolemy's Geography (Harleian MS 7182, ff 58–59), Javno vlasništvo, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=193697

Potreba određivanja i opisivanja položaja vrlo je stara. Ljudi su u povijesti na različite načine izrađivali karte. Postoji li sličnost između Kartezijeva koordinatnog sustava i geografskih karti? Klaudije Ptolomej (90. – 168. godine), starogrčki ili staroegipatski matematičar, zemljopisac, astronom, astrolog i glazbeni teoretičar predložio je primjenu koordinatnog sustava s paralelama za geografsku širinu i meridijanima za geografsku dužinu. Karte do tada poznatog svijeta nisu sačuvane u izvorniku nego u srednjovjekovnim prijepisima.

Projekt

Danas se pri određivanju položaja koristimo GPS-om. Potražite podatke o povijesti GPS-a, načinu rada i primjeni.  

Na slici je GPS uređaj.

Kutak za znatiželjne

Skakavac se kreće koordinatnom ravninom prema ovom pravilu:

Iz točke s koordinatama x , y pomaknut će se u točku čije su koordinate 2 y - x , 2 x - y ili 3 y - 2 x , 3 x - 2 y  ili y , x . Ako se nalazi u točki s koordinatama 1 , 3 , može li doći do točke s koordinatama:

U zadatku je postavljeno pitanje je li moguće iz zadane točke prema opisanom algoritmu doći do željene točke. To je jedan od tipičnih problema u matematici. Općenito je opisan neki postupak kojim se zadano stanje mijenja, početno stanje i stanje koje želimo postići. Pitanje je možemo li postići željeno stanje. Što može biti odgovor na to pitanje?

Odgovor je: moguće je ili nije moguće. U oba je slučaja odgovor potrebno objasniti. Na koji ćemo način objasniti svaki od tih dvaju odgovora?

U prvom se slučaju najčešće opisuju neki konkretni primjeri koraka koji će dovesti do željena stanja ili se na neki drugi način dokazuje da takvi koraci postoje. U drugom slučaju treba dokazati da takvi koraci ne postoje. Je li primjer koji pokazuje da nismo došli do željena stanja u tom slučaju dovoljan?

Ne, jer takav primjer samo pokazuje da se na odabrani način nije došlo do željena stanja, a ne isključuje se mogućnost da je do željena stanja moguće doći na neki drugi način. Zato u ovom slučaju primjenjujemo druge metode. Jedna je od njih primjena invarijanti.

Invarijanta je veličina ili svojstvo koje se pri mijenjanju stanja opisanim postupkom ne mijenja. Zato ako tu veličinu ili svojstvo posjeduje početno stanje, a željeno ne, možemo zaključiti da se željeno stanje ne može postići. Invarijante mogu biti neki zbroj, umnožak, parnost, neparnost, broj parnih ili neparnih elemenata i slično.


Zadatak 16.

Pronađite invarijante za naš zadatak. Mogu li se željene koordinate postići?

Označimo koordinate točke u kojoj se nalazimo u nekom koraku s x , y . Iz te se točke možemo pomaknuti u točku s koordinatama: 2 y - x , 2 x - y ili 3 y - 2 x , 3 x - 2 y ili y , x .

Promotrimo zbroj koordinata.

Početna točka: x + y .

Nova točka:

2 y - x + 2 x - y = x + y ili

3 y - 2 x + 3 x - 2 y = x + y ili

y + x = x + y .

Zbroj koordinata je invarijanta.

Zbroj je koordinata početne točke 1 + 3 = 4 .

  1. Zbroj je koordinata točke u koju želimo doći 1 000 005 - 1 000 003 = 2 , što je nemoguće postići jer će zbroj uvijek biti 4 .
  2. Zbroj je koordinata točke u koju želimo doći - 1 000 000 + 1 000 004 = 4 . Zbroj se nije promijenio pa ne možemo zaključiti da ne možemo doći do te točke. Ali to ne znači ni da možemo. Treba pronaći korake kojima dolazimo do te točke ili novu invarijantu s pomoću koje ćemo dobiti kontradikciju.

Pretpostavimo da se u nekom koraku nalazimo u točki s koordinatama x , y i da su obje koordinate neparne. U idućem ćemo se koraku naći u točki s koordinatama 2 y - x , 2 x - y ili 3 y - 2 x , 3 x - 2 y ili y , x . U svakom od tih triju slučajeva obje će koordinate ponovno biti neparne. Početna točka ima obje koordinate neparne pa ne možemo doći do točke s parnim koordinatama.


...i na kraju

Osvijetlite borić.

Povećaj ili smanji interakciju

Idemo na sljedeću jedinicu

5.2 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu - dodatni sadržaj