Aktivnosti za samostalno učenje

Nekoliko zadataka

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Riješite jednadžbe.

1. $\frac{2x-3}{2}-\frac{5x+1}{3}=5$
2. $\left|2x-4\right|=\left|3-x\right|$
3. $\left|5+x\right|=2x$

Rješenje

1. ​ $-\frac{41}{4}$ ​
2. $\frac{7}{3}\mathrm{;}1$  ​
3. $5$

---

Zadatak 2.

Riješite nejednadžbe.

1. $\left(4x-3\right)\left(2+5x\right)\ge 0$ 
2. $\left|3-4x\right|\le 2$

Rješenje

1. $\left.⟨-\infty ,-\frac{2}{5}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\infty \right.⟩$ 
2. $\left[\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right]$  ​

---

Zadatak 3.

Neke jednadžbe i nejednadžbe imaju konačno mnogo rješenja, neke beskonačno mnogo, a neke nemaju rješenja. Riješite jednadžbe i nejednadžbe pa ih razvrstajte prema tom kriteriju.

$\frac{2x-6}{4-x}<0$  ​

$\frac{4}{2x-1}=\frac{2}{x-0.5}$  ​

$\left\{\begin{array}{l}3x-2\ge 1\\ 5-4x\ge 1\end{array}\right.$  ​

$\frac{2}{\left|5x-7\right|}=-1$  ​

$\left\{\begin{array}{l}3x^2-x\le 0\\ 2x-10\ge 0\end{array}\right.$  ​

$\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$  

$\left|2x-1\right|=5$  ​

$\frac{3}{\left|2-x\right|}\le 1$  ​

$\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{x+5}$  ​

Konačno mnogo rješenja

 Nema rješenja

 Beskonačno mnogo rješenja

null

null

Zadatak 4.

Označite točan odgovor.

1. Ako jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, svaki je realni broj rješenje.
   

   Da

   Jednadžba $\frac{3}{x}+\frac{2}{x}=\frac{5}{x}$ ima beskonačno mnogo rješenja, ali broj 0 nije rješenje. Zašto?

   Ne

   

   null

   null

2. Ako jednadžba ima konačno mnogo rješenja, onda ima samo jedno rješenje.
   

   Da

   Jednadžba $\left|x\right|=5$ ima dva rješenja.

   Ne

   

   null

   null

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Maja je pronašla sliku police za knjige. Želi napraviti takvu policu, a zamislila je da se širina i visina odnose kao $3:4.$ Ima na raspolaganju $8.05\mathrm{m}$ daske. Odredite dimenzije police. Hoće li na policu u uspravnom položaju stati knjiga kojoj su dimenzije $17\mathrm{x}24\mathrm{cm}?$

Rješenje

$5x+2·\frac{4}{3}x=805,x=1.05$

Polica će biti široka $1.05\mathrm{m},$ a visoka $1.4\mathrm{m}.$ Visina jednog reda police je $35\mathrm{cm}$ pa će knjiga stati na policu.

---

Zadatak 6.

Učenik tijekom školske godine iz Matematike piše četiri ispita i iz svakog od njih može dobiti $50$ bodova. Za aktivnosti (domaće zadaće, projekti, umne mape i slično) može dobiti još $40$ bodova. Za zaključnu ocjenu odličan treba imati najmanje $90\%$ ukupnoga broja bodova. Učenik je u prva tri ispita imao $35,$ $49$ i $46$ bodova. Za aktivnosti je dobio ukupno $37$ bodova. Može li učenik dobiti zaključnu ocjenu odličan? Ako može, koji je najmanji broj bodova koje mora dobiti na četvrtom ispitu?

Rješenje

Označimo broj bodova na četvrtom ispitu s $x.$

$\frac{35+49+46+37+x}{240}\ge 0.9,x\ge 49$

Učenik može dobiti zaključnu ocjenu odličan, ali na četvrtom ispitu mora dobiti najmanje $49$ bodova.

---

1. Rješenje jednadžbe $\frac{2}{x-a}+\frac{3}{x+a}=\frac{1}{x^2-a^2}$ je $2$ ako je vrijednost parametra $a$ .

   

   null

   null
2. Jednadžba $a\left(ax-1\right)=5\left(5x+1\right)$ nema rješenja ako je vrijednost parametra $a$ .

   

   null

   null
3. Apsolutna vrijednost rješenja jednadžbe $\frac{3ax+2}{5}+\frac{x}{4}=1$  je 1 ako je vrijednost negativnog parametra $a$ na dvije decimale jednaka .

   

   null

   null

Zadatak 7.

Odaberite pravu jednadžbu ili nejednadžbu s odgovarajućim prikazom rješenja na brojevnom pravcu.

1. 
   

   

   $\left|x-2\right|\ge 3$  ​

   $\left(x+1\right)\left(x-5\right)\le 0$  ​

   $\left|x-2\right|=3$

   $\frac{4-x}{3}+\frac{x}{6}=\frac{1}{2}$

   

   null

   null

2. 
   

   

   $\left|x-2\right|=3$ 

   $\frac{4-x}{3}+\frac{x}{6}=\frac{1}{2}$  ​

   $\left|x-2\right|\ge 3$

   ​ $\left(x+1\right)\left(x-5\right)\le 0$

   

   null

   null

3. 
   

   

   $\left|x-2\right|\ge 3$  

   $\left(x+1\right)\left(x-5\right)\le 0$  ​

   $\left|x-2\right|=3$ 

   $\frac{4-x}{3}+\frac{x}{6}=\frac{1}{2}$ 

   

   null

   null

4. 
   

   

   $\left|x-2\right|\ge 3$

   $\left(x+1\right)\left(x-5\right)\le 0$

   $\left|x-2\right|=3$

   $\frac{4-x}{3}+\frac{x}{6}=\frac{1}{2}$

   

   null

   null

Zatvori

Još neke jednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Primjer 1.

Naučili ste rješavati jednadžbe s apsolutnim vrijednostima koje se svode na jednadžbe oblika​ $\left|x\right|=a$ i $\left|x\right|=\left|y\right|.$ Riješite jednadžbe.

1. $\left|5x-3\right|=2$ 
2. $\left|5x-3\right|-\left|2x+1\right|=0$

Primjer 2.

Promotrimo jednadžbu $\left|5x-3\right|-\left|2x+1\right|=2.$ Možemo li tu jednadžbu riješiti slično kao i jednadžbe iz prethodnog primjera? Ne možemo jer se ta jednadžba ne može svesti na oblik ​ $\left|x\right|=a$ ili $\left|x\right|=\left|y\right|.$

Kako riješiti jednadžbu? Najprije ju treba zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti. Prisjetite se definicije apsolutne vrijednosti.

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu $\left|5x-3\right|-\left|2x+1\right|=2.$ Da bismo jednadžbu zapisali bez znaka apsolutne vrijednosti, treba razlikovati slučajeve s obzirom na predznake izraza $5x-3$ i $2x+1.$ Koliko ima mogućnosti?

1. Prvi slučaj: $5x-3\le 0,2x+1\le 0$

   Jednadžbu možemo zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti:

   $-\left(5x-3\right)-\left(-\left(2x+1\right)\right)=2$ 

   $-5x+3+2x+1=2$ čije je rješenje $x=\frac{2}{3}.$

   Provjerimo je li $x=\frac{2}{3}$ rješenje početne jednadžbe. Provjeru uvijek možemo obaviti uvrštavanjem u početnu jednadžbu:

   $\left|5·\frac{2}{3}-3\right|-\left|2·\frac{2}{3}+1\right|=\left|\frac{1}{3}\right|-\left|\frac{7}{3}\right|=-2\ne 2.$

   Zaključujemo: $x=\frac{2}{3}$ nije rješenje početne jednadžbe.

   Do istog smo zaključka mogli doći i provjerom uvjeta. Provjeravamo jesu li za $x=\frac{2}{3}$ istinite obje nejednakosti $5x-3\le 0,2x+1\le 0:$

   $5·\frac{2}{3}-3=\frac{1}{3}>0,2·\frac{2}{3}+1=\frac{7}{3}>0$ pa $x=\frac{2}{3}$ ne zadovoljava uvjete i zato nije rješenje početne jednadžbe.

2. Drugi slučaj: $5x-3\le 0,2x+1>0$

   Jednadžbu zapisujemo bez znaka apsolutne vrijednosti:

   $-\left(5x-3\right)-\left(2x+1\right)=2$

   $-5x+3-2x-1=2$ čije je rješenje $x=0.$

   Provjerimo je li $x=0$ rješenje početne jednadžbe. Uvrštavamo u početnu jednadžbu:

   $\left|5·0-3\right|-\left|2·0+1\right|=\left|-3\right|-\left|1\right|=3-1=2.$

   Zaključujemo: $x=0$ je rješenje početne jednadžbe.

   Ili možemo provjeriti jesu li za $x=0$ istinite obje nejednakosti $5x-3\le 0,2x+1>0:$

   $5·0-3=-3\le 0,2·0+1=1>0$ pa $x=0$ zadovoljava uvjete i zato je rješenje početne jednadžbe.

Riješite preostala dva slučaja.

Primjer 4.

U prethodnom smo primjeru promatrali četiri slučaja. Važni su nam bili predznaci izraza koji se nalaze pod znakom apsolutne vrijednosti. Možemo li predznake jednostavno i pregledno prikazati? Prisjetite se tablice predznaka.

Riješimo jednadžbu $\left|3-x\right|+\left|2x+4\right|=8.$ Odredite najprije brojeve za koje vrijednosti izraza $3-x$ i $2x+4$ mijenjaju predznak, a zatim na papir zapišite tablicu predznaka za te izraze.

Jednadžbu $\left|3-x\right|+\left|2x+4\right|=8$ rješavat ćemo na tri intervala $\left.⟨-\infty ,-2\right],\left.⟨-2,3\right],⟨3,\infty ⟩.$ Pogledajte u videozapisu.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Riješite jednadžbu $\left|4-2x\right|+\left|4+2x\right|=8$ i odaberite točno rješenje.

Skup svih rješenja jednadžbe je:

$\mathbf{R}$  ​

$\left\{-2,2\right\}$

$⟨-\mathrm{2,\; 2}⟩$  

$\left[-\mathrm{2,\; 2}\right].$

 

Postupak:

Na intervalu $\left.⟨-\infty ,-2\right]$ dobivamo $x=-2,$ što je u intervalu pa jest rješenje.

Na intervalu $\left.⟨-2,2\right]$ dobivamo $8=8$ pa je rješenje svaki broj iz intervala $\left.⟨-\mathrm{2,\; 2}\right].$

Na intervalu $⟨2,\infty ⟩$  dobivamo $x=2,$ što nije u intervalu pa nije rješenje.​

Zadatak 9.

Na dugoj pješčanoj plaži nalaze se slastičarnica i restoran. Slastičarnica je udaljena $250\mathrm{m}$ od ulaza na plažu, a restoran $650\mathrm{m}.$ Mateo bira suncobran koji će iznajmiti. Odlučio je najprije plivati, zatim pojesti sladoled pa čitati knjigu pod suncobranom. Nakon čitanja otići će na ručak, a nakon ručka još malo čitati prije ponovnog kupanja. Planira hodati svaki dan $1\mathrm{km}$ po plaži. Na kojoj udaljenosti od ulaza treba biti suncobran koji će odabrati da bi Mateo ispunio zadani plan?

Marija se slaže sa svim aktivnostima, ali ne želi hodati više od $800\mathrm{m}.$ Na kojoj udaljenosti od ulaza treba biti njezin suncobran?

Rješenje

Označimo s​ $x$ udaljenost suncobrana od ulaza u kilometrima. Udaljenost od suncobrana do slastičarnice je $\left|x-0.25\right|,$ a do restorana $\left|x-0.65\right|$ i svaku će od njih Mateo prijeći dva puta. Postavnimo jednadžbu:

$2·\left|x-0.25\right|+2·\left|x-0.65\right|=1.$ Rješenja su $0.2$ i $0.7$ pa Mateo treba odabrati suncobran koji je udaljen od ulaza $200\mathrm{m}$ ili $700\mathrm{m}.$

Označimo udaljenost Marijina suncobrana od ulaza s $y$ i postavimo jednadžbu:

$2·\left|y-0.25\right|+2·\left|y-0.65\right|=0.8.$ Rješenje je svaki broj iz intervala $\left[0.25,0.65\right]$ pa Marija može odabrati bilo koji suncobran između slastičarnice i restorana.

---

Zatvori

Složenije nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Kutak za znatiželjne

Riješit ćemo neke složenije nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima. Do sada smo rješavali složenije jednadžbe s apsolutnim vrijednostima u kojima smo promatrali rješenja na pojedinim intervalima. Jesu li rješenja jednadžbe dobivene na intervalu ujedno rješenja početne jednadžbe, mogli smo provjeriti uvrštavanjem u početnu jednadžbu. Hoće li ta metoda biti primjenjiva i pri rješavanju složenijih nejednadžbi?

Riješimo nejednadžbu $\left|x+4\right|+\left|4-2x\right|<9.$ Najprije na papiru napravite tablicu predznaka.

Riješimo nejednadžbu na intervalu​ $⟨-\infty ,-4⟩.$

$-\left(x+4\right)+\left(4-2x\right)<9$ pa je $x>-3.$ Rješenje je svaki broj veći od $-3$ koji se nalazi u intervalu ​ $⟨-\infty ,-4⟩,$ odnosno skup ćemo rješenja dobiti kao presjek intervala ​ $⟨-\infty ,-4⟩$ i $⟨-3,\infty ⟩.$ Presjek je $\varnothing$ pa na tom intervalu nema rješenja.

Zadatak 10.

Riješite nejednadžbu na intervalima $\left[-4,2\right.⟩,\left[2,\infty \right.⟩.$ Odredite skup rješenja nejednadžbe.