4.8 Nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Nejednadžba s apsolutnom vrijednosti, $\left|x\right|\le a,a\in \mathbf{R}$

Zadatak 3.

Označite rješenja nejednadžbi.

Na osnovi prethodnih primjera i zadataka zaključujemo sljedeće.

• Ako je $a<0,$ nejednadžba $\left|x\right|\le a,a\in \mathbf{R}$ nema rješenja.

• Ako je $a=0,$ nejednadžba $\left|x\right|\le a$ ima jedino rješenje $x=0.$ ​

• Ako je $a>0,$ rješenje nejednadžbe $\left|x\right|\le a$ zapisujemo na jedan od sljedećih načina:

  $-a\le x\le a\iff \left(x\ge -a\mathrm{i}x\le a\right)\iff x\in \left[-a,a\right].$

U geometrijskom smislu to su svi brojevi $x$ koji su od $0$ udaljeni za manje od $a$ ili jednako $a.$

Prikaz na brojevnom pravcu.

Zadatak 4.

Kako glasi geometrijska interpretacija nejednadžbe​ $\left|x-2\right|\le 5?$

Popunite brojevima koji nedostaju.

Odredimo sve realne brojeve $x$ koji su od broja​ udaljeni za manje od ili jednako .

null

null

Kako to izgleda na brojevnom pravcu?

S brojevnog pravca vidimo da je rješenje nejednadžbe​ $\left|x-2\right|\le 5$ interval $\left[-3,7\right].$

Kao i kod jednadžbi s apsolutnom vrijednosti, katkad ćemo iz praktičnih razloga zadatak rješavati bez crtanja, samo algebarski. Tada ćemo postupati kao da rješavamo nejednadžbu​ $\left|t\right|\le 5.$

Postupak je sljedeći.

Rješenje zadatka možemo pisati i na sljedeći način:

$\left|x-2\right|\le 5\iff -5\le x-2\le 5.$

Ta dvostruka nejednakost je sustav nejednadžbi

$\left\{\begin{array}{l}x-2\ge -5\\ x-2\le 5\end{array}\right.,$ a njegovo je rješenje

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 2-5\\ x\le 2+\mathrm{5,}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x\le 7\end{array}\right.,$ odnosno $-3\le x\le 7$ ili zapisano s pomoću intervala $\left[-3,7\right].$

Zadatak 5.

Povlačenjem složite postupak rješavanja dane nejednadžbe.

• $-\frac{3}{2}\le \frac{1}{4}x+3\le \frac{3}{2}$ 
  
• $x\in \left[-18,-6\right]$  
• $\frac{1}{4}x+3\ge -\frac{3}{2}\mathrm{i}\frac{1}{4}x+3\le \frac{3}{2}$  
•  ​ $x\ge -18\mathrm{i}x\le -6$ 
• $\left|\frac{1}{4}x+3\right|\le \frac{3}{2}$ 
  
• $\frac{1}{4}x\ge -\frac{9}{2}\mathrm{i}\frac{1}{4}x\le -\frac{3}{2}$  
• $\frac{1}{4}x\ge -\frac{3}{2}-3\mathrm{i}\frac{1}{4}x\le \frac{3}{2}-3$  

null

null

Nejednadžba s apsolutnom vrijednosti, $\left|x\right|\ge a,a\in \mathbf{R}$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Uparite nejednadžbu i njezinu geometrijsku interpretaciju.

$\left|x\right|>7$	Svi realni brojevi $x$ koji su od $2$ udaljeni za više od $7$ ili jednako $7.$
$\left|x-2\right|\ge 7$	Svi realni brojevi $x$ koji su od $0$ udaljeni za više od $3$ ili jednako $3$.
$\left|x\right|\ge 3$	Svi realni brojevi $x$ koji su od $0$ udaljeni za više od $7.$

null

null

Zadatak 7.

Koji je skup realnih brojeva prikazan na brojevnom pravcu? Označite sve algebarske prikaze tog skupa.

$\left|x\right|\ge 3$

$\left|x\right|\le 3$ 

$x\ge -3\mathrm{ili}x\le 3$  

$x\le -3\mathrm{ili}x\ge 3$  

$\left.⟨-\infty ,-3\right]\cup \left[3,\infty \right.⟩$

$\mathbf{R}\backslash ⟨-3,3⟩$

null

null

Zadatak 8.

Označite rješenje sljedećih nejednadžbi s apsolutnim vrijednostima.

1. $\left|x\right|\ge \frac{5}{9}$  ​

   $x\ge \frac{5}{9}$  

   $-\frac{5}{9}\le x\le \frac{5}{9}$

   $x\le -\frac{5}{9}\mathrm{ili}x\ge \frac{5}{9}$  

   

   null

   null

2. ​ $\left|x\right|\ge -4$
   

   $x\ge -4$  

   $x\ge -4\mathrm{i}x\le 4$  

   $x\in \mathbf{R}$  

   

   null

   null

3. $\left|x\right|\ge 0$ 
   

   $x\ge 0$  

   $x\in \mathbf{R}$

   $x\in \varnothing$  

   

   null

   null

4. $\left|x\right|>0$
   

   $x<0\mathrm{ili}x>0$

   $x\in \varnothing$  ​

   $x\in \mathbf{R}$

   

   null

   null

Zatvori

Na osnovi prethodnih primjera i zadataka zaključujemo sljedeće.

• Ako je $a\le 0,$ rješenje nejednadžbe $\left|x\right|\ge a$ su svi realni brojevi $x$.

• Ako je $a>0,$ rješenje nejednadžbe $\left|x\right|\ge a$ zapisujemo na jedan od sljedećih načina:

  $\left(x\le -a\mathrm{ili}x\ge a\right)\iff x\in \left.⟨-\infty ,-a\right]\cup \left[a,\infty \right.⟩.$
  

U geometrijskom su smislu to svi brojevi $x$ koji su od $0$ udaljeni za više od $a$ ili jednako $a.$

Prikaz na brojevnom pravcu.

Zadatak 9.

Kako glasi geometrijska interpretacija nejednadžbe​ $\left|x-2\right|\ge 5?$

Popunite brojevima koji nedostaju.

Odredite sve realne brojeve $x$ koji su od udaljeni za više od ili jednako .

null

null

Kako to izgleda na brojevnom pravcu?

S brojevnog pravca vidimo da je rješenje nejednadžbe $\left|x-2\right|\ge 5$ unija intervala $\left.⟨-\infty ,-3\right]\cup \left[7,\infty \right.⟩$.

Ako zadatak rješavamo bez crtanja, postupat ćemo kao da rješavamo nejednadžbu​ $\left|t\right|\ge 5.$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Riješite nejednadžbu​ $\left|5-3x\right|\ge 7.$

Poredajte elemente prema redoslijedu rješavanja nejednadžbe.

• $-3x\le -12\mathrm{ili}-3x\ge 2$  
• $5-3x\le -7$ ili $5-3x\ge 7$
• $x\in \left.⟨-\infty ,-\frac{2}{3}\right]\cup \left[4,\infty \right.⟩$  ​
• $x\le -\frac{2}{3}\mathrm{ili}x\ge 4$  

null

null

Zadatak 11.

Riješite nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima.

Svaki element predstavlja jedan oblik rješenja neke od zadanih nejednadžbi. Razvrstajte elemente prema tome kojoj nejednadžbi pripadaju.

$x<\frac{9}{4}\mathrm{ili}x>\frac{11}{4}$  

$x>-\frac{11}{4}\mathrm{i}x<\frac{13}{4}$  

$x\ge -\frac{11}{4}\mathrm{i}x\le -\frac{9}{4}$  

$x<-\frac{11}{4}\mathrm{ili}x>\frac{13}{4}$  

$⟨-\frac{11}{4},\frac{13}{4}⟩$

$⟨-\infty ,\frac{9}{4}⟩\cup ⟨\frac{11}{4},\infty ⟩$

$⟨-\infty ,-\frac{11}{4}⟩\cup ⟨\frac{13}{4},\infty ⟩$ 

$\left[-\frac{11}{4},-\frac{9}{4}\right]$  

$\left|-x+\frac{1}{4}\right|<3$  

$\left|-x+\frac{1}{4}\right|>3$  

$\left|\frac{2}{5}x+1\right|\le 0.1$  

$\left|\frac{2}{5}x-1\right|>0.1$  

null

null

Zadatak 12.

Riješite nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima.

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Riješite nejednadžbe i rješenje zapišite s pomoću intervala.

Uparite nejednadžbu i njezino rješenje.

$5\left|3-x\right|-2<0$	$\left[-\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]$
$\left|0.1x+\frac{3}{5}\right|<0$	$x\in \varnothing$
$2\left|x\right|-\frac{3}{5}\le 3\left|x\right|+\frac{4}{5}$	$⟨-\infty ,\infty ⟩$
$\left|\frac{2}{x-1}\right|\le 5$	$\left.⟨-\infty ,\frac{3}{5}\right]\cup \left[\frac{7}{5},\infty \right.⟩$
$1-\left|x-\frac{2}{5}\right|\ge -\frac{1}{5}$	$⟨\frac{13}{5},\frac{17}{5}⟩$

null

null

Zadatak 14.

U sljedećoj interakciji pokušajte prema prikazanom rješenju napisati nejednadžbu čije je to rješenje.

Zatvori

Malo složenije...

Primjer 1.

Riješimo nejednadžbu​ $1\le \left|x\right|<7.$ Nacrtajte brojevni pravac na papiru. Rješenje prikažimo na brojevnom pravcu.

Dvostruka nejednakost je skraćeni zapis sustava nejednadžbi:

$\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|\ge 1\\ \left|x\right|<7\end{array}\right..$

Riješimo prvo jednu pa drugu nejednadžbu.

$\begin{array}{l}\left|x\right|\ge 1\\ x\le -1\mathrm{ili}x\ge 1\\ x\in \left.⟨-\infty ,-1\right]\cup \left[1,\infty \right.⟩\end{array}$ i

$\begin{array}{l}\left|x\right|<7\\ x>-7\mathrm{i}x<7\\ x\in ⟨-7,7⟩\end{array}$

Konačno je rješenje presjek dobivenih skupova rješenja, odnosno:

$\left(\left.⟨-\infty ,-1\right]\cup \left[1,\infty \right.⟩\right)\cap ⟨-7,7⟩.$

Skicirajmo to na brojevnom pravcu.

Rješenje dane nejednadžbe je unija intervala​ $\left.⟨-7,-1\right]\cup \left[1,7\right.⟩.$ Pogledajmo sad kako bismo geometrijski interpretirali nejednadžbu​ $1\le \left|x\right|<7.$

Odredimo sve realne brojeve​ $x$ koji su od udaljeni za više od ili jednako , a manje od .

null

null

S obzirom na geometrijsku interpretaciju i prikaz rješenja na brojevnom pravcu, možemo zaključiti da se takve nejednadžbe jednostavnije rješavaju primjenom geometrijskog prikaza, odnosno možemo općenito pisati

$\left(a\le \left|x\right|\le b,a<b\right)\iff \left(-b\le x\le -a\right)\mathrm{ili}\left(a\le x\le b\right).$

Kutak za znatiželjne

Riješimo nejednadžbu $x^2\le 9.$

Očito su skupovi rješenja nejednadžbi $x^2\le 9$ i $\left|x\right|\le 3$ jednaki.

Slično kao i kod jednadžbi s apsolutnom vrijednosti, tom se činjenicom možemo koristiti kako bismo pojednostavnili ili ubrzali rješavanje nekih nejednadžbi. 

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 17.

Uparite tako da dobijete istinite tvrdnje.

$x^2=a,a\in \mathbf{R},a\ge 0\iff$	$\left|x\right|\le \sqrt{a}\iff -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}$
$x^2\ge a,a\in \mathbf{R},a\ge 0\iff$	$\left|x\right|=\sqrt{a}\iff x=\pm \sqrt{a}$
$x^2\le a,a\in \mathbf{R},a\ge 0\iff$	$\left|x\right|\ge \sqrt{a}\iff x\le -\sqrt{a}\mathrm{ili}x\ge \sqrt{a}$

null

null

Zadatak 18.

Riješite nejednadžbe.

1. $4x^2\le 1$
2. $9x^2>16$
3. ${\left(x-1\right)}^2\le 4$
4. ${\left(2x+1\right)}^2-9\ge 0$

Rješenje

1. ​ $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$​
2. $R\backslash \left[-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right]$
3. $\left[-1,3\right]$
   
4. $\left.⟨-\infty ,-2\right]\cup \left[1,\infty \right.⟩$ 
   

---

Zatvori