8.2 Primjena sukladnosti

Simetrala dužine

Na slici je simetrala dužine $\overline{AB}.$ Što je simetrala i kako bismo ju opisali?

Rješenje

---

Istražite važno svojstvo simetrale dužine. U idućoj interakciji mijenjajte položaj točke $T$ na simetrali dužine $\overline{AB}$ i promotrite udaljenost točke $T$ od krajnjih točaka dužine $A$ i $B.$ Mijenjajte položaj točke $Q$ koja nije na simetrali dužine i također promotrite udaljenosti. Što možete zaključiti? Na osnovi promatranja riješite sljedeći zadatak.

Zadatak 1.

Označite točan odgovor.

1. Točka $T$ pripada simetrali dužine $\overline{AB}.$
   

   Točka $T$ jednako je udaljena od točaka $A$ i $B.$

   Točka $T$ nije jednako udaljena od točaka $A$ i $B.$

   

   null

   null

2. Točka $Q$ ne pripada simetrali dužine $\overline{AB}.$

   Točka $Q$ jednako je udaljena od točaka $A$ i $B.$
   

   Točka $Q$ nije jednako udaljena od točaka $A$ i $B.$  

   

   null

   null

Zaključimo.

Svaka je točka simetrale dužine jednako udaljena od krajnjih točaka dužine.

Primjer 1.

Dokažimo svojstvo simetrale dužine. Odaberimo neku točku $T$ koja pripada simetrali dužine $\overline{AB}.$ Nacrtajmo dužine $\overline{TA}$ i $\overline{TB}.$ Treba dokazati da su jednakih duljina.

Uočavate li na slici trokute koji izgledaju sukladno? Promotrimo trokute $TPA$ i $TPB.$ U idućem zadatku sparite odgovarajuće elemente.

 

$\angle ATP$  ​	$\overline{BP}$
$\overline{AP}$	$\angle BTP$  ​
$\angle TAP$	$\overline{TB}$
$\overline{TA}$	$\angle TPB$  ​
$\angle TPA$	$\angle TBP$  ​
$\overline{TP}$	$\overline{TP}$

null

null

1. Promotrite odgovarajuće elemente. Ako su trokuti $TPA$ i $TPB$ sukladni, svi su odgovarajući elementi sukladni. Potrebno je pronaći ona tri odgovarajuća elementa čiju sukladnost možemo argumentirati. Koristeći definiciju simetrale dužine, riješite sljedeći zadatak.
   
   Točka $P$ je dužine $\overline{AB}.$

   

   null

   null
2. Dužine $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$ su .
   

   
3. Pravac $TP$  je na dužinu $\overline{AB}.$
   
   

   

   null

   null
4. Kutevi $\angle TPA$  i $\angle TPB$  su .

   

   Pomoć:

   Kutevi $\angle TPA$ i $\angle TPB$ su pravi pa su im mjere jednake $90°.$
   

    
   

Zadatak 2.

Zapišite sve korake dokaza sukladnosti trokuta $TPA$ i $TPB.$

Rješenje

---

Dokazali smo da je $△TPA\cong △TPB.$ Ako su trokuti sukladni, svi su im odgovarajući elementi sukladni. Zaključujemo da je $\overline{TA}\cong \overline{TB},$ što znači da su dužine $\overline{TA}$ i $\overline{TB}$ jednakih duljina. Točka $T$ jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine $A$ i $B.$

Može se dokazati i obratno:

Ako je neka točka jednako udaljena od krajnjih točaka dužine, onda je ta točka na simetrali dužine.

Provedite dokaz.

Rješenje

---

Simetrala kuta

Zadatak 3.

Promatrat ćemo udaljenost točke na simetrali od krakova kuta. Što je udaljenost točke od pravca? Promotrite sliku pa označite točan odgovor.

 Udaljenost točke $T$ od pravca $p$ je duljina dužine

$\overline{TA}$ ​

$\overline{TB}$

$\overline{TC}$ 

$\overline{TD}$   ​

 

null

Udaljenost točke $T$ od pravca $p$ kojemu ne pripada je duljina dužine $\overline{TP}$ gdje je $P$ sjecište pravca $p$ i okomice iz točke $T$ na pravac $p$.

Istražite važno svojstvo simetrale kuta. U sljedećoj interakciji mijenjajte položaj točke $T$ na simetrali kuta i promotrite udaljenosti točke $T$ od krakova kuta. Mijenjajte položaj točke $Q$ koja nije na simetrali kuta i također promotrite udaljenosti. Što možete zaključiti? Na osnovi promatranja riješite sljedeći zadatak.

1. Točka na simetrali kuta jednako je udaljena od krakova kuta.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Točka koja nije na simetrali kuta jednako je udaljena od krakova kuta.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

Zaključimo.

Svaka je točka simetrale kuta jednako udaljena od krakova kuta.

Dokažimo svojstvo simetrale kuta. Neka je točka $T$ na simetrali kuta. Nacrtajmo okomice iz točke $T$ na krakove kuta i označimo točke $A$ i $B$ kao na slici. Uočavate li sukladne trokute? Promotrimo trokute $TVA$ i $TVB.$ U idućem zadatku sparite odgovarajuće elemente.

 

$\angle VTA$  ​	$\overline{TB}$  ​
$\angle TAV$  ​	$\angle TBV$  ​
$\angle AVT$  ​	$\overline{BV}$  ​
$\overline{AV}$  ​	$\angle BVT$  ​
$\overline{TV}$	$\overline{TV}$  ​
$\overline{TA}$	$\angle VTB$  ​

null

null

Zadatak 4.

Promotrite odgovarajuće elemente. Ako su trokuti $TVA$ i $TVB$ sukladni, svi su odgovarajući elementi sukladni. Potrebno je pronaći ona tri odgovarajuća elementa čiju sukladnost možete argumentirati. Koristite definiciju simetrale kuta.

Rješenje

---

Vrijedi i obratno:

Ako je neka točka jednako udaljena od krakova kuta, onda ona pripada simetrali tog kuta.

Zadatak 5.

Neka je zadan kut i točka $T$ jednako udaljena od krakova kuta. Dokažite da točka $T$ pripada simetrali kuta.

Rješenje

---

Jednakokračni trokut

U osnovnoj školi govorili ste o vrstama trokuta. Ponovimo. Trokut s obzirom na stranice može biti jednakostranični, jednakokračni ili raznostranični. S obzirom na kutove može biti šiljastokutni, pravokutni ili tupokutni.

Promotrimo jednakokračni trokut. Kako bismo ga definirali?

Dokažimo još neka svojstva jednakokračnog trokuta.

Dva su kuta jednakokračnog trokuta jednakih mjera.

Primjer 2.

Dokažimo tvrdnju.

Neka je $△ABC$ jednakokračan s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}.$ Nacrtajmo okomicu točkom $A$ na osnovicu $\overline{BC}.$ Označimo sjecište okomice i osnovice s $D.$ Okomica je podijelila trokut $ABC$ na dva trokuta: $ADB$ i $ADC.$

Dokažimo da su sukladni.

1. Stranica ​ $\overline{AD}$je zajednička.
2. $\overline{AB}\cong \overline{AC}$ jer je trokut jednakokračan.
3. $\angle ADB\cong \angle ADC$ jer su oba prava.

Po S-S-K $>$ poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je $△ABD\cong △ACD.$ U sukladnim su trokutima svi odgovarajući elementi sukladni. Zaključujemo da je $\angle ABD\cong \angle ACD$ pa su jednakih mjera.

Kutak za znatiželjne

U prvoj knjizi Euklidovih Elemenata propozicija $5$ glasi:

Kod jednakokračnih su trokuta kutovi uz osnovicu jednaki, a ako se produže jednake stranice, i kutovi pod osnovicom su jednaki.​

Dokaz propozicije $5$ naziva se Pons asinorum (“magareći most”). Smatralo se da učenik koji savlada taj dokaz može prijeći "most" i započeti s ozbiljnijim dokazima i zadatcima. Dokaz je na prvi pogled nepotrebno složen, možemo pomisliti da postoje jednostavniji dokazi. Ali Euklid je pisao Elemente tako da svaku novu propoziciju dokazuje samo pomoću definicija, aksioma i prethodno dokazanih propozicija. Kako je ova propozicija tek peta u prvoj knjizi, nema mnogo činjenica na koje se Euklid pri dokazu mogao pozivati. Zato je dokaz nešto složeniji.

Na slici je stranica iz izdanja Elemenata u kojem su simboli zamijenjeni slikama. Dokaz nije na ovoj stranici dovršen. Dovršite dokaz i zapišite ga pomoću simbola. 

Paralelogram

Po kojem je svojstvu paralelogram dobio ime?

Kako biste definirali paralelogram?

Dokažimo još neka svojstva paralelograma.

Zaključimo:

Četverokut je paralelogram ako i samo ako su njegove nasuprotne stranice jednakih duljina.

Četverokut je paralelogram ako i samo ako se njegove dijagonale raspolavljaju.

Srednjica trokuta

Praktična vježba

Nacrtajte trokut. Odredite polovišta dviju stranica trokuta. Dužina čije su krajnje točke polovišta stranica naziva se srednjica trokuta. Izmjerite duljinu srednjice i duljinu treće stranice trokuta. Uočavate li neku pravilnost? Provjerite svoje zaključke u interakciji. Mijenjajte položaj vrhova. Vrijede li za nove trokute isti zaključci?

Srednjica trokuta je s trećom stranicom trokuta.

null

null

Srednjica je od treće stranice trokuta

dva puta duža

tri puta duža

tri puta kraća

dva puta kraća.

null

null

Zaključimo:

Srednjica trokuta usporedna je s preostalom stranicom trokuta i od nje je dvostruko kraća.

Kutak za znatiželjne

1. Dokažite poučak o srednjici trokuta. Neka je trokut $ABC$ sa srednjicom $\overline{P_1{P}_2}$ kao na slici 1. Produžite srednjicu preko točke $P_2$ za njezinu duljinu kao na slici 2.
2. Dokažite da je četverokut $BDC{P}_1$ paralelogram.
3. Dokažite da je četverokut $ABD{P}_1$ paralelogram.
4. Možete li zaključiti da je srednjica usporedna s trećom stranicom i od nje dvostruko kraća?

Sukladni trokuti, duljine stranica, mjere kutova

Zadatak 11.

Primijenite sukladnost trokuta pa odredite nepoznate duljine stranica i mjere kutova.

1. 

   $x=$ $y=$​  .

   

   null

   null

2. Uz oznake kao na slici $\left|VA\right|=\left|VB\right|$ i $\left|CA\right|=\left|DB\right|.$ Trokuti $VAD$ i $VBC$ sukladni su, što možemo zaključiti po poučku

   

   S-S-S
   

   S-K-S

   K-S-K

   S-S-K $>$

   

    
   

   null
3. 

   Uz oznake kao na slici $\left|VA\right|=\left|VB\right|$ i $\left|CA\right|=\left|DB\right|.$ $x=$ $y=$  ​ $z=$  ​ $t=$   .

   

   null