Matematika 1 - 3.7 Racionalni algebarski izrazi. Skraćivanje, množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Racionalni algebarski izrazi

Razlomak čiji su brojnik i nazivnik algebarski izrazi nazivamo racionalni algebarski izraz ili algebarski razlomak.

Vrijednost racionalnoga algebarskog izraza možemo računati na isti način kao i vrijednost algebarskog izraza: uvrštavanjem brojeva umjesto varijabli i izvođenjem računskih radnji s brojevnim razlomcima. Broj koji tako dobivamo vrijednost je racionalnoga algebarskog izraza.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Najjednostavniji racionalni algebarski izraz ima oblik $\frac{1}{x} .$ Uparite broj $x$ koji se uvrštava s odgovarajućom vrijednosti izraza $\frac{1}{x} .$ Razmislite koje vrijednosti broja $x$ možemo uvrstiti te u kojem su odnosu vrijednosti brojnika i nazivnika.

$- 40$	$0.4$
$2.5$	$- 10$
$1$	$1$
$- 0.1$	$0.01$
$- 2$	$- 0.025$
$100$	$- 0.5$

null

U racionalni algebarski izraz $\frac{1}{x}$ ne možemo uvrstiti vrijednost . Uvrštavamo li vrijednost veće apsolutne vrijednosti, vrijednost racionalnoga algebarskog izraza bit će po apsolutnoj vrijednosti . Uvrštavamo li vrijednost manje apsolutne vrijednosti, vrijednost racionalnoga algebarskog izraza bit će po apsolutnoj vrijednosti .

null

null

Zadatak 2.

Uvrstite zadane vrijednosti u racionalni algebarski izraz. Dobivene vrijednosti upišite na odgovarajuća mjesta. Za svaki točan odgovor, otkrit će vam se jedno polje skrivene slike.

Zadatak 3.

Možemo li u zadani racionalni algebarski izraz uvrstiti bilo koji realni broj?

U racionalni algebarski izraz $\frac{ x - 1}{x - 2}$

možemo uvrstiti broj $0$

možemo uvrstiti broj $1$

možemo uvrstiti broj $2$
Nulom ne dijelimo.

možemo uvrstiti broj $3 .$

null

null
U racionalni algebarski izraz $\frac{2 x - 5}{2 x - 10}$ možemo uvrstiti sve realne brojeve osim broja $5 .$

Da

Ne

null

null
U racionalni algebarski izraz $\frac{3 x - 15}{5 x + 15}$ možemo uvrstiti sve realne brojeve osim broja .

null

null

Zatvori

U racionalni algebarski izraz možemo uvrstiti sve realne brojeve osim onih za koje je vrijednost nazivnika jednaka $0 .$

Kažemo da je racionalni algebarski izraz definiran za sve realne brojeve osim onih za koje je vrijednost nazivnika jednaka $0 .$

U zadatcima s racionalnim algebarskim izrazima podrazumijeva se da jednakosti vrijede za sve vrijednosti varijabli za koje su izrazi definirani.

Primjer 1.

Cijena je fotoprintera $6 799 kn,$ a trošak je izrade jedne fotografije $2 kn .$

Koliki je ukupni trošak po izrađenoj fotografiji ako je izrađeno:

$2 500$ fotografija?

$n$ fotografija?

Koliko fotografija treba izraditi da ukupni trošak po izrađenoj fotografiji bude manji od $4 kn ?$

Ukupni je trošak izrade $2 500$ fotografija $6 799 + 2 \cdot 2 500 = 11 799 .$ Cijenu po izrađenoj fotografiji dobit ćemo tako da ukupni trošak podijelimo s brojem izrađenih fotografija:
$\frac{11 799}{2 500} = 4.7196 \approx 4.72 kn .$
$\frac{6 799 + 2 n}{n}$
Treba izraditi barem $3 400$ fotografija.

Zadatak 4.

Mioglobin je molekula koja nosi kisik u ljudskom tijelu, a nalazi se u mišićnim stanicama. Postotak mioglobina zasićena kisikom na danom tlaku od $p Torr$ računa se formulom $\frac{p}{1 + p} .$ Tlak je u aktivnom mišiću $20 Torr$ (tor je stara mjerna jedinica tlaka; $1 Torr$ iznosi $1 mm$ stupca žive, odnosno $750 Torr$ odgovara 1 atmosferi). Koji je postotak mioglobina zasićena kisikom u aktivnomu mišiću?

$95 %$

Skraćivanje algebarskih razlomaka

U osnovnoj ste školi naučili skraćivati brojevne razlomke.

Skratimo razlomak $\frac{60}{126} .$ Možemo uočiti da su brojnik i nazivnik parni, skratiti s $2,$ a zatim provjeravati možemo li kratiti s još nekim brojem. Drugi je način da rastavimo brojnik i nazivnik na proste faktore i zatim kratimo. Postupimo tako.

$60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

$126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$

$\frac{60}{126} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} .$

Kako kratiti algebarske razlomke?

Zadatak 5.

Možemo li skratiti algebarski razlomak $\frac{a + 3}{39} ?$

Za $a = 1$ brojnik razlomka je , a nazivnik je pa se brojevni razlomak skratiti.

null

null
Za $a = 2$ brojnik razlomka je , a nazivnik je pa se brojevni razlomak skratiti.

null

null

Vidjeli smo da se za neke vrijednosti varijable $a$ dobiveni brojevni razlomak ne može skratiti. Zaključujemo da se algebarski razlomak $\frac{a + 3}{39}$ ne može skratiti.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Mogu li se skratiti algebarski razlomci:

$\frac{3 a + 3}{39}$
$\frac{5 a + 5}{13 a + 13} ?$

Brojnik se sastoji od dvaju članova. Oba su člana djeljiva s tri, što znači da je brojnik djeljiv s tri. I nazivnik je djeljiv s tri. Uvrstimo li umjesto $a$ bilo koji realni broj u brojniku i nazivniku, pojavit će se broj $3$ koji se može skratiti. To znači da se svi brojevni razlomci mogu skratiti pa se i algebarski razlomak može skratiti.

$\frac{3 a + 3}{39} = \frac{3 (a + 1)}{3 \cdot 13} = \frac{a + 1}{13}$
Brojnik i nazivnik mogu se rastaviti na faktore: $\frac{5 (a + 1)}{13 (a + 1)} .$

Vidimo da brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor. To je izraz $a + 1 .$ Uvrstimo li umjesto $a$ bilo koji realni broj različit od $- 1,$ u brojniku i nazivniku pojavit će se isti broj koji se može skratiti. Svi se brojevni razlomci mogu skratiti, što znači da i algebarski razlomak možemo skratiti.

$\frac{5 a + 5}{13 a + 13} = \frac{5 (a + 1)}{13 (a + 1)} = \frac{5}{13}$

Zadatak 7.

Promotrite zadane algebarske razlomke. Razvrstajte ih u dvije skupine: one koji se mogu skratiti i one koji se ne mogu skratiti. Skratite razlomke koji se mogu skratiti. Provjerite rješenja.

\frac{3 a b}{6 a b - 2 b}

\frac{5}{5 x \cdot 6}

\frac{5 x + 1}{5 x - 1}

\frac{2 c^{2} + 3 c}{6 c}

\frac{5}{5 x + 6}

\frac{3 a b}{6 a b - 2}

\frac{5 x + 10}{5 x - 10}

\frac{2 c^{2} + 3}{6 c}

Algebarski razlomci koji se ne mogu skratiti

Algebarski razlomci koji se mogu skratiti

Pomoć:

Ne možete kratiti pribrojnike.

Možete li brojnik ili nazivnik razlomka rastaviti na faktore? Postoji li zajednički faktor brojnika i nazivnika? Zajednički faktor brojnika i nazivnika možemo kratiti.

Postupak:

$\frac{5}{5 x \cdot 6} = \frac{1}{x \cdot 6} = \frac{1}{6 x}$

$\frac{5 x + 10}{5 x - 10} = \frac{5 (x + 2)}{5 (x - 2)} = \frac{x + 2}{x - 2}$

$\frac{2 c^{2} + 3 c}{6 c} = \frac{c (2 c + 3)}{6 c} = \frac{2 c + 3}{6}$

$\frac{3 a b}{6 a b - 2 b} = \frac{3 a b}{b (6 a - 2)} = \frac{3 a}{6 a - 2}$

Zatvori

Zaključimo:

Algebarski razlomak možemo kratiti ako su brojnik i nazivnik zapisani u obliku umnoška i ako postoji zajednički faktor brojnika i nazivnika. Zajednički faktor može biti broj ili algebarski izraz.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Skratite algebarske razlomke.

$\frac{2 a^{3} b + 4 a^{2} b^{2}}{3 a^{2} + 6 a b}$
$\frac{9 x^{2} - y^{2}}{9 x^{3} + 6 x^{2} y + x y^{2}}$
$\frac{a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8}{a^{3} + 8}$

Brojnik i nazivnik nisu zapisani u obliku umnoška. Zato najprije treba brojnik i nazivnik rastaviti na faktore:

$\frac{2 a^{3} b + 4 a^{2} b^{2}}{3 a^{2} + 6 a b} = \frac{2 a^{2} b (a + 2 b)}{3 a (a + 2 b)} .$

Zatim kratimo zajedničke faktore brojnika i nazivnika:

$\frac{2 a^{2} b (a + 2 b)}{3 a (a + 2 b)} = \frac{2 a b}{3} .$
Brojnik i nazivnik rastavljamo na faktore. U brojniku nema zajedničkog faktora, u nazivniku možemo izlučiti $x :$

$\frac{9 x^{2} - y^{2}}{9 x^{3} + 6 x^{2} y + x y^{2}} = \frac{9 x^{2} - y^{2}}{x (9 x^{2} + 6 x y + y^{2})} .$

U brojniku je razlika kvadrata, u nazivniku kvadrat zbroja:

$\frac{9 x^{2} - y^{2}}{x (9 x^{2} + 6 x y + y^{2})} = \frac{(3 x - y) (3 x + y)}{x {(3 x + y)}^{2}} .$

Kratimo zajednički faktor $3 x + y :$

$\frac{(3 x - y) (3 x + y)}{x {(3 x + y)}^{2}} = \frac{3 x - y}{x (3 x + y)} .$
U brojniku je kub zbroja, u nazivniku zbroj kubova:

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8}{a^{3} + 8} = \frac{{(a + 2)}^{3}}{(a + 2) (a^{2} - 2 a + 4)} = \frac{{(a + 2)}^{2}}{(a^{2} - 2 a + 4)} .$

Zadatak 9.

Skratite algebarski razlomak $\frac{27 x^{3} - y^{3}}{y^{2} - 9 x^{2}} .$ Rješenje možete pogledati u videozapisu.

Zatvori

Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Algebarske razlomke množimo i dijelimo kao i brojevne. Pritom prije množenja i dijeljenja kratimo ako je moguće.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Pomnožite algebarske razlomke:

\frac{2 a^{2} b}{c^{2}} \cdot \frac{6 b c^{5}}{3 a^{3}} = \frac{A b^{y} c^{z}}{a^{x}} .

A =

x =

y =

z =

null

Zadatak 11.

Pomnožite algebarske razlomke

$\frac{16 x^{3} - 25 x y^{2}}{8 x y - 10 y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}} .$

$\begin{array}{l} \frac{16 x^{3} - 25 x y^{2}}{8 x y - 10 y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}} = \\ \frac{x (16 x^{2} - 25 y^{2})}{2 y (4 x - 5 y)} \cdot \frac{y^{2}}{{(4 x + 5 y)}^{2}} = \\ \frac{x (4 x - 5 y) (4 x + 5 y)}{2 y (4 x - 5 y)} \cdot \frac{y^{2}}{{(4 x + 5 y)}^{2}} = \\ \frac{x y}{2 (4 x + 5 y)} \end{array}$

Zadatak 12.

Podijelite algebarske razlomke: $\frac{16 a^{4} + 54 a b^{3}}{9 b^{2}} : \frac{32 a^{5} - 72 a^{3} b^{2}}{3 b} .$

$\begin{array}{l} \frac{16 a^{4} + 54 a b^{3}}{9 b^{2}} : \frac{32 a^{5} - 72 a^{3} b^{2}}{3 b} = \\ \frac{2 a (8 a^{3} + 27 b^{3})}{9 b^{2}} \cdot \frac{3 b}{8 a^{3} (4 a^{2} - 9 b^{2})} = \\ \frac{2 a (2 a + 3 b) (4 a^{2} - 6 a b + 9 b^{2})}{9 b^{2}} \cdot \frac{3 b}{8 a^{3} (2 a - 3 b) (2 a + 3 b)} = \\ \frac{4 a^{2} - 6 a b + 9 b^{2}}{12 a^{2} b (2 a - 3 b)} \end{array}$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Pogledajte još jedanput videozapis iz uvodnog primjera. Zamjećujete li kojem se dijelu kruga približava obojeni dio? Nastavimo nizati razlomke prema istom pravilu. Zapišite razlomak u $n$ -tom koraku. Ako je $n$ veliki broj, čemu je približno jednak taj razlomak? Objasnite.

Obojeno je približno pola kruga. Razlomak u $n$ -tom koraku je $\frac{n + 1}{2 n + 1} .$ Ako je $n$ veliki broj, taj je razlomak približno jednak $\frac{1}{2},$ što možemo objasniti ovako:

$\frac{n + 1}{2 n + 1} = \frac{n (1 + \frac{1}{n})}{n (2 + \frac{1}{n})} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} .$

Ako je $n$ jako veliki broj, $\frac{1}{n}$ je gotovo $0$ pa ga možemo zanemariti i dobivamo:

$\frac{n + 1}{2 n + 1} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} \approx \frac{1}{2} .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Promotrite zadani niz razlomaka. Pronađite broj kojem su približno jednaki „daleki” članovi niza. Objasnite.

$\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{8}, \frac{4}{11}, \frac{5}{14} . . .$
$\frac{3}{5}, \frac{4}{9}, \frac{5}{13}, \frac{6}{17}, \frac{7}{21} . . .$

$\frac{n}{3 n - 1} = \frac{n}{n (3 - \frac{1}{n})} = \frac{1}{3 - \frac{1}{n}} \approx \frac{1}{3}$
$\frac{n + 2}{4 n + 1} = \frac{n (1 + \frac{2}{n})}{n (4 + \frac{1}{n})} = \frac{1 + \frac{2}{n}}{4 + \frac{1}{n}} \approx \frac{1}{4}$

Broj od kojeg se „daleki” članovi niza „malo” razlikuju važan je pojam u matematici i naziva se limes niza. Preciznu definiciju limesa niza i dokaze povezane s limesom niza učit ćete u četvrtom razredu.

Zadatak 14.

Zadajte niz razlomaka tako da „ daleki ” članovi niza budu približno jednaki broju $\frac{1}{5} .$

Zatvori

3.7 Racionalni algebarski izrazi. Skraćivanje, množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Na početku...

Racionalni algebarski izrazi

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Skraćivanje algebarskih razlomaka

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Algebarski razlomci koji se ne mogu skratiti

Algebarski razlomci koji se mogu skratiti

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Zadatak 14.

...i na kraju

3.8 Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka