Matematika 1 - 3.5 Razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova

Primijenimo formulu

Ovisno o kontekstu zadatka formulu ćemo primjenjivati na dva načina:

Ako je zadana razlika kvadrata koju treba zapisati u obliku umnoška, u zadatku prepoznajemo izraz $a^{2} - b^{2}$ te ga zapisujemo u obliku $(a - b) (a + b) .$
Ako je zadan umnožak dviju zagrada koji treba zapisati u obliku zbroja ili razlike nekoliko članova, u zadatku prepoznajemo izraz oblika $(a - b) (a + b)$ te ga zapisujemo u obliku $a^{2} - b^{2} .$

Zadatak 2.

Mogu li se zadani izrazi zapisati u obliku razlike kvadrata?

$36 c^{2} - d^{2}$

Da

Ne
Izraz je zapisan u obliku razlike kvadrata: $(6 c)^{2} - (d)^{2} .$

null

null
$0.16 s^{2} + t^{2}$

Da
Izraz je zapisan u obliku zbroja kvadrata.

Ne

null

null
$x^{6} - y^{6}$

Da

Ne
Izraz je zapisan u obliku razlike kvadrata: $(x^{3})^{2} - (y^{3})^{2} .$

null

null
$16 a + 25 b$

Da

Ne

null

null

Zadatak 3.

Zapišite u obliku umnoška.

$9 x^{2} - 16 z^{2} =$

$= ($

$- 4 z) (3 x +$

$)$

$3 x$

$4 z$

$(3 x)^{2} - (4 z)^{2}$

null

null
$0.01 p^{6} - 0.25 q^{4} = ($

$)^{2} - ($

$)^{2} =$

$(0.1 p^{3} - 0.5 q^{2}) (0.1 p^{3} + 0.5 q^{2})$

$0.1 p^{3}$

$0.5 q^{2}$

null
$\frac{9}{25} a^{2} b^{4} - \frac{4}{49} c^{8} = ($

$)^{2} - ($

$)^{2} =$

$(\frac{3}{5} a b^{2} - \frac{2}{7} c^{4}) (\frac{3}{5} a b^{2} + \frac{2}{7} c^{4})$

$\frac{3}{5} a b^{2}$

$\frac{2}{7} c^{4}$

null

Zadatak 4.

Uvježbajte primjenu formule za razliku kvadrata. Zadane izraze prikažite u obliku umnoška. Za unos razlomka koristite se znakom za dijeljenje, na primjer $\frac{3}{5} = 3 / 5 .$

Zatvori

Primjer 2.

Formulu za razliku kvadrata možemo primjenjivati i za množenje. Zapišite izraz bez zagrada.

$(\frac{8}{3} s - \frac{2}{3} t) (\frac{8}{3} s + \frac{2}{3} t)$

$(\frac{8}{3} s - \frac{2}{3} t) (\frac{8}{3} s + \frac{2}{3} t) = (\frac{8}{3} s)^{2} - (\frac{2}{3} t)^{2} = \frac{64}{9} s^{2} - \frac{4}{9} t^{2}$

Zadatak 5.

Povežite izraze tako da među njima vrijedi jednakost.

$(4 p + 3 t^{2}) (3 t^{2} - 4 p)$	$16 p^{2} - 9 t^{4}$
$(4 p + 3 t) (3 t - 4 p)$	$16 p^{2} - 9 t^{2}$
$(4 p + 3 t^{2}) (4 p - 3 t^{2})$	$9 t^{4} - 16 p^{2}$
$(4 p - 3 t) (4 p + 3 t)$	$9 t^{2} - 16 p^{2}$

null

Zadatak 6.

Uvježbajte primjenu formule za razliku kvadrata. Zadane izraze prikažite bez zagrada. Za unos razlomka koristite se znakom za dijeljenje, na primjer $\frac{3}{5} = 3 / 5 .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Ustanite. Zamislite neki prirodni broj. Od kvadrata toga broja oduzmite kvadrat njegova prethodnika. Ako je rezultat neparan broj, podignite ruke, a ako je paran, ostanite stajati mirno. Koliki je postotak učenika u razredu podignuo ruke? Ponovite još nekoliko puta. Što biste mogli pretpostaviti? Zapišite pravilnost koju ste uočili. Objasnite.

Na slici je čovječuljak koji podiže ruke.

Razlika kvadrata prirodnoga broja većeg od $1$ i njegova prethodnika neparan je broj.

Označimo prirodni broj s $n .$ Njegov je prethodnik $n - 1 .$ Razlika kvadrata tih brojeva je $n^{2} - (n - 1)^{2},$ što možemo zapisati u obliku umnoška

$n^{2} - (n - 1)^{2} = (n - (n - 1)) (n + n - 1) = (n - n + 1) (2 n - 1) = 1 \cdot (2 n - 1) = 2 n - 1,$ a to je neparan broj.

Primjer 3.

Pogledajmo ponovno množenja iz uvodnog primjera.

Faktori u umnošku $197 \cdot 203$ su $197$ i $203 .$ Možemo li te brojeve zapisati kao zbroj i razliku nekih dvaju brojeva? Uočite da je broj $197$ za tri manji od $200,$ a broj $203$ je za tri veći od $200 .$ Možemo pisati:

$197 \cdot 203 = (200 - 3) (200 + 3) = 200^{2} - 3^{2} = 40 000 - 9 = 39 991 .$

Izračunajte na sličan način umnoške $43 \cdot 57,$ $84 \cdot 76,$ $275 \cdot 325.$

$43 \cdot 57 = (50 - 7) (50 + 7) = 50^{2} - 7^{2} = 2 500 - 49 = 2 451,$

$84 \cdot 76 = (80 + 4) (80 - 4) = 6 400 - 16 = 6 384,$

$275 \cdot 325 = (300 - 25) (300 + 25) = 90 000 - 625 = 89 375$

Velika i mala kocka

Promotrite pozorno animaciju.

Zadatak 7.

Promotrimo u animaciji tijelo koje nastaje kad iz velike kocke izvadimo malu.

Korak 1.

Zapišite u bilježnicu s pomoću duljina stranica $a$ i $b$ obujam tijela.

Korak 2.

Zapišite s pomoću duljina stranica $a$ i $b$ obujam triju kvadara od kojih se sastoji tijelo.

Korak 3.

Usporedite obujam iz drugoga i trećeg koraka. Zapišite formulu koju ste dobili. Kako biste nazvali dobivenu formulu?

Korak 1. $a^{3} - b^{3}$

Korak 2. $a^{2} (a - b),$ $b^{2} (a - b),$ $a b (a - b)$

Korak 3. $a^{3} - b^{3} = a^{2} (a - b) + a b (a - b) + b^{2} (a - b)$

Desnu stranu možemo jednostavnije zapisati kao $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$ Uvjerite se množenjem. Dobili smo formulu $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$

Razlika kubova

Izraz $a^{3} - b^{3}$ nazivamo razlika kubova. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$

Zadatak 8.

Formulu $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dokažite algebarski.

$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - b a^{2} - b a b - b^{3} = a^{3} - b^{3}$

Zbroj kubova

Otkrili smo formule za razliku kvadrata i kubova. U sljedećoj interakciji odaberite u padajućim izbornicima dijelove formule za zbroj kubova tako da dobijete istu vrijednost kao i za $a^{3} + b^{3} .$ Promijenite vrijednosti brojeva $a$ i $b .$ Vrijedi li jednakost za sve promatrane vrijednosti brojeva $a$ i $b ?$ Zapišite formulu za zbroj kubova. Opravdajte formulu algebarski.

U matematici se katkad susrećemo sa sličnim formulama koje se razlikuju samo u nekom predznaku. Obično se tada dokaže jedna od njih, a druga se onda lako dobije s pomoću prve uvrštavanjem suprotnoga broja.

Izvedimo na taj način formulu za faktorizaciju zbroja kubova.

Dokazali smo formulu za faktorizaciju razlike kubova

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ koja vrijedi za svaka dva realna broja $a$ i $b .$

Uvrstimo umjesto $b$ suprotni broj $- b :$

$a^{3} - {(- b)}^{3} = (a - (- b)) (a^{2} + a (- b) + {(- b)}^{2})$

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) .$

Izraz $a^{3} + b^{3}$ nazivamo zbroj kubova. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi:

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Polazeći od formule za razliku kvadrata, pokušajte dobiti formulu za zbroj kvadrata. U čemu je problem?

Uvrštavanjem $- b$ u formulu za razliku kvadrata dobivamo:

$a^{2} - {(- b)}^{2} = (a - (- b)) (a + (- b))$

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Dobili smo ponovno formulu za razliku kvadrata, a ne za zbroj kvadrata.

Zadatak 10.

Dovucite zadane elemente na odgovarajuće mjesto.

27 x^{6} - y^{3}

(t - 2 q) (t^{2} + 2 t q + 4 q^{2})

64 v^{6} + p^{9}

16 x^{2} - 1

(6 p - 5) (6 p + 5)

1 - 8 c^{3}

8 s^{3} + 1

a^{2} b^{4} - 25

(l + 1) (l^{2} - l + 1)

Razlika kvadrata

Razlika kubova

Zbroj kubova

null

Zatvori

Primjer 4.

Zapišimo u obliku umnoška:

$125 + 8 d^{3}$

$1 - 27 t^{6} .$

U izrazu su dva člana povezana znakom plus. To bi mogao biti zbroj kubova. Zapišimo članove u obliku kuba: $125 = 5^{3},$ $8 d^{3} = {(2 d)}^{3}$ pa je zadani izraz zaista zbroj kubova. Primijenimo formulu za zbroj kubova:

$\begin{array}{l} 125 + 8 d^{3} = {(5)}^{3} + {(2 d)}^{3} = (5 + 2 d) (5^{2} - 5 \cdot 2 d + {(2 d)}^{2}) = (5 + 2 d) (25 - 10 d + 4 d^{2}) \end{array} .$
U izrazu su dva člana povezana znakom minus. To bi mogla biti razlika kvadrata ili razlika kubova. Prvi je član broj $1,$ koji možemo zapisati kao $1^{2}$ ili kao $1^{3} .$ Drugi član možemo zapisati u obliku kuba ${(3 t^{2})}^{3} .$ Zadani ćemo izraz rastaviti kao razliku kubova:

$\begin{array}{l} 1 - 27 t^{6} = 1^{3} - {(3 t^{2})}^{3} = (1 - 3 t^{2}) (1 + 1 \cdot 3 t^{2} + {(3 t^{2})}^{2}) = (1 - 3 t^{2}) (1 + 3 t^{2} + 9 t^{4}) \end{array} .$

Zadatak 11.

Odaberite izraze tako da vrijedi znak jednakosti. Više rješenja može biti točno.

$p^{6} - 1 =$

$(p^{2} - 1) (p^{4} + p^{2} + 1)$

$(p^{3} - 1) (p^{3} - 1)$

$(p^{2} + 1) (p^{4} - p^{2} + 1)$

$(p^{3} - 1) (p^{3} + 1)$

Pomoć:

Izraz se sastoji od dva člana povezana znakom minus. Oba člana možemo zapisati kao kvadrate i kao kubove. Možemo primijeniti formulu za razliku kvadrata i za razliku kubova.

null
$p^{6} + 1 =$

$(p^{3} - 1) (p^{3} + 1)$

$(p^{2} - 1) (p^{4} + p^{2} + 1)$

$(p^{3} + 1) (p^{3} + 1)$

$(p^{2} + 1) (p^{4} - p^{2} + 1)$

Pomoć:

Izraz se sastoji od dva člana povezana znakom plus. Ako članove možemo zapisati u obliku kubova onda je zadani izraz zbroj kubova.

null

Zbroj kvadrata

Primjer 5.

Otkrili smo formule za razliku kvadrata i kubova te za zbroj kubova. Što možemo reći o zbroju kvadrata? Može li se zbroj kvadrata zapisati u obliku umnoška? Odgovorite na pitanja.

$a^{2} + b^{2}$ jednako je ${(a + b)}^{2}$

Da
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Ne

null
$a^{2} + b^{2}$ jednako je $(a - b) (a + b)$

Da
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Ne

null

null
$a^{2} + b^{2}$ jednako je - a + b a + b

Da
$(- a + b) (a + b) = - a^{2} + b^{2}$

Ne

null

Primjer 6.

Možemo li faktorizirati izraz $a^{2} + b^{2} ?$ Ne, zbroj se kvadrata ne može napisati u obliku umnoška algebarskih izraza bez upotrebe korijena.

Znači li ta tvrdnja da se ni jedan izraz u kojem se pojavljuje zbroj nekih dvaju kvadrata ne može faktorizirati? Pomnožite: $(t^{2} + 2 t + 2) (t^{2} - 2 t + 2) .$ Opišite rezultat.

$(t^{2} + 2 t + 2) (t^{2} - 2 t + 2) = t^{4} + 4 = {(t^{2})}^{2} + 2^{2}$ pa vidimo da se zbroj kvadrata izraza $t^{2}$ i $2$ može zapisati u obliku umnoška dviju zagrada.

Zaključimo:

Izraz $a^{2} + b^{2}$ ne može se faktorizirati. Neki izrazi u kojima je zbroj kvadrata mogu se faktorizirati.

Posebni slučaj zbroja kvadrata

Kutak za znatiželjne

U 6. primjeru, množenjem izraza u zagradama, pokazali smo da vrijedi $t^{4} + 4 = (t^{2} + 2 t + 2) (t^{2} - 2 t + 2) .$ Ali kako pronaći izraz čiji će umnožak biti jednak zadanom zbroju kvadrata? I kada je moguće pronaći takve izraze?

Kako ste množili izraze u zagradama? Postoji li neki brži način?

Izraze možemo pomnožiti primjenjujući formulu za razliku kvadrata.

$(t^{2} + 2 t + 2) (t^{2} - 2 t + 2) = ((t^{2} + 2) + 2 t) ((t^{2} + 2) - 2 t) =$

${(t^{2} + 2)}^{2} - {(2 t)}^{2} = t^{4} + 4 t^{2} + 4 - 4 t^{2} = t^{4} + 4$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Prikažite u obliku umnoška izraz $81 + 4 x^{4} .$ Opišite postupak.

$\begin{array}{l} 81 + 4 x^{4} = \\ {(9)}^{2} + {(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot 9 \cdot 2 x^{2} - 36 x^{2} = \\ {(9 + 2 x^{2})}^{2} - {(6 x)}^{2} = \\ (9 + 2 x^{2} + 6 x) (9 + 2 x^{2} - 6 x) \end{array}$

Zadani smo zbroj kvadrata dopunili do kvadrata binoma. Tako smo dobili razliku kvadrata koju smo zapisali u obliku umnoška.

Zadatak 13.

Promotrite izraze $t^{4} + 4$ i $81 + 4 x^{4} .$ Što im je zajedničko? Napišite u bilježnicu još neki izraz koji na isti način možete zapisati u obliku umnoška. Zapišite opći oblik izraza pa ga prikažite u obliku umnoška.

Opći oblik koji se može faktorizirati je $a^{4} + 4 b^{4} .$ Vrijedi:

$\begin{array}{l} a^{4} + 4 b^{4} = a^{4} + 4 b^{4} + 4 a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b^{2} = \\ {(a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - {(2 a b)}^{2} = \\ (a^{2} + 2 b^{2} + 2 a b) (a^{2} + 2 b^{2} - 2 a b) \end{array}$

Zatvori

Identitet $a^{4} + 4 b^{4} = (a^{2} + 2 b^{2} + 2 a b) (a^{2} + 2 b^{2} - 2 a b)$ naziva se identitet Sophie Germain. Ime je dobio po francuskoj matematičarki Marie-Sophie Germain koja ga je upotrebljavala u svojim radovima.

Zanimljivost

Na slici je francuska matematičarka Marie Sophie Germain.

Marie-Sophie Germain rođena je u Parizu 1776. godine. Matematiku je počela učiti u dobi od 13 godina iz očevih knjiga unatoč protivljenju svojih roditelja koji su smatrali da je to neprikladno za ženu. U dobi od 18 godina odlučila je studirati matematiku na Ecole Polytechnique u Parizu, ali ženama je to bilo zabranjeno. Ipak, uspjela je nabaviti zabilješke s mnogih predavanja iz kojih je učila sama. Na kraju je semestra pod pseudonimom predala svoje bilješke Lagrangeu, koji se oduševio njezinim radom. Iznenadio se kad je shvatio da je riječ o ženi, ali je uočio njezin talent za matematiku i postao joj je mentor. Nastavila se baviti matematikom, osobito teorijom brojeva te je dokazala teorem koji i danas nosi njezino ime, a koji je bio važan korak u dokazivanju velikoga Fermatova teorema. Teorem je dokazala za proste brojeve $p$ sa svojstvom da je i broj $2 p + 1$ prost. Brojeve s tim svojstvom danas nazivamo prostim brojevima Sophie Germain. Više o njezinu životu i radu možete pročitati na poveznici.

Zadatak 14.

Identitet Sophie Germain može se upotrijebiti u zadatcima iz teorije brojeva. Riješite zadatke.

Dokažite da broj $2017^{4} + 4^{2017}$ nije prost .
Je li broj $n^{4} + 4^{n}, n \in N$ prost ili složen? Dokažite.

$2017^{4} + 4^{2017} = 2017^{4} + 4 \cdot 4^{2016} =$

$\begin{array}{l} (2017^{2} + 2 \cdot 4^{1008} + 2 \cdot 2017 \cdot 4^{504}) (2017^{2} + 2 \cdot 4^{1008} - 2 \cdot 2017 \cdot 4^{504}) \end{array}$

Broj $2017^{4} + 4^{2017}$ prikazali smo u obliku umnoška cijelih brojeva. Treba još vidjeti da su oba faktora različita od $1 .$ Za prvi je faktor to očito. U drugom je $4^{1008}$ od $2017 \cdot 4^{504}$ (dokažite) pa je cijeli faktor sigurno veći od $1 .$ Zaključujemo da je broj $2017^{4} + 4^{2017}$ složen.
Za $n = 1$ dobivamo $5,$ što je prost broj.

Neka je $n > 1 .$

Ako je $n$ paran, broj je $n^{4} + 4^{n}$ paran pa je složen.

Pretpostavimo da je $n$ neparan. Tada je $n = 2 k + 1$ pa je $4^{n} = 4 \cdot 4^{n - 1} = 4 \cdot 4^{2 k} = 4 \cdot {(2^{k})}^{4} .$

Primijenimo identitet Sophie Germain:

$\begin{array}{l} n^{4} + 4^{n} = n^{4} + 4 \cdot {(2^{k})}^{4} = (n^{2} + 2 \cdot 2^{2 k} + 2 n \cdot 2^{k}) (n^{2} + 2 \cdot 2^{2 k} - 2 n \cdot 2^{k}) \end{array} .$

Broj je složen jer su obje zagrade veće od $1$ (dokažite).

3.5 Razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova

Izrežimo formulu

Praktična vježba

Razlika kvadrata

Zadatak 1.

Primijenimo formulu

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

Velika i mala kocka

Zadatak 7.

Razlika kubova

Zadatak 8.

Zbroj kubova

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Razlika kvadrata

Razlika kubova

Zbroj kubova

Zadatak 11.

Zbroj kvadrata

Posebni slučaj zbroja kvadrata

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zanimljivost

Zadatak 14.

...i na kraju

Točno

Netočno

3.6 Faktorizacija