9.3 Svojstva i veze trigonometrijskih omjera - dodatni sadržaj

Trigonometrijski omjeri komplementarnih kutova

Zadatak 1.

Ponovite definicije trigonometrijskih omjera.

$\mathrm{tg}\alpha =$	$\frac{nasuprotnakateta}{hipotenuza}$
$\cos \alpha =$	$\frac{nasuprotnakateta}{priležećakateta}$
$\mathrm{ctg}\alpha =$	$\frac{priležećakateta}{nasuprotnakateta}$
$\sin \alpha =$	$\frac{priležeća kateta}{hipotenuza}$

null

null

Odredili smo trigonometrijske omjere kutova od $30°$ i $60°.$

$\sin 30°=0.5$	$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.8660$
$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.8660$	$\cos 60°=0.5$
$\mathrm{tg}30°=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.5774$	$\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}\approx 1.7321$
$\mathrm{ctg}30°=\sqrt{3}\approx 1.7321$	$\mathrm{ctg}60°=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.5774$

Uočavate li u tablici veze trigonometrijskih omjera kutova od $30°$ i $60°?$ Kutovi od $30°$ i $60°$  jesu komplementarni. Istražimo u sljedećem primjeru kako su povezani trigonometrijski omjeri komplementarnih kutova.

Primjer 1.

S pomoću klizača mijenjajte duljine kateta te promatrajte kutove trokuta i vrijednosti sinusa i kosinusa za prikazane kutove.

Primjer 2.

U sljedećoj aktivnosti također mijenjajte duljine kateta, ali ovaj put pratite što se događa s vrijednostima tangensa i kotangensa prikazanih kutova.

Zadatak 2.

Povežite trigonometrijske omjere komplementarnih kutova $\alpha$ i $\beta$ pravokutnog trokuta.

$\cos \alpha =$	$\mathrm{tg}\beta$  ​
$\sin \alpha =$	$\sin \beta$
$\mathrm{tg}\alpha =$	$\cos \beta$
$\mathrm{ctg}\alpha =$	$\mathrm{ctg}\beta$

null

null

Zapišimo formule za trigonometrijske omjere komplementarnih kutova. Za komplementrarne kutove $\alpha$ i $\beta$ vrijedi $\alpha +\beta =90°$ pa umjesto $\beta$ možemo pisati $90°-\alpha .$

Trigonometrijski omjeri komplementarnih kutova:

$\sin \alpha =\cos \left(90°-\alpha \right)$

$\cos \alpha =\sin \left(90°-\alpha \right)$ 

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}\left(90°-\alpha \right)$ 

$\mathrm{ctg}\alpha =\mathrm{tg}\left(90°-\alpha \right).$

Primjer 3.

Pogledajmo ponovno tablicu s vrijednostima trigonometrijskih omjera. U istom su retku zapisani komplementarni kutovi. Sinus jednog od njih jednak je kosinusu drugog. Taj je broj zapisan u tablicama samo jedanput. Na primjer:

$0.51504=\sin 31°$

$0.51504=\cos 59°.$

Pročitajte u tablici vrijednosti trigonometijskih omjera za kut od $32°$ i za kut od $56°.$ Provjerite džepnim računalom.

Vrijednosti trigonometrijskih omjera

Zadatak 3.

Ponovno pogledajte gornje aktivnosti te odgovorite na postavljena pitanja.

1. Mogu li duljine stranica trokuta biti negativne?

   Da

   Ne

   

   null

   null

2.   Koja je najdulja stranica u pravokutnom trokutu?
   

   Kateta nasuprot većem šiljastom kutu.

   Kateta nasuprot manjem šiljastom kutu.

   Hipotenuza.

   Nema pravila.

   

   null

   null

3. Može li omjer nasuprotne katete i hiptenuze biti 0?

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. Mogu li vrijednosti sinusa i kosinusa šiljastih kutova biti negativne?
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

5. Mogu li vrijednosti sinusa i kosinusa biti veće od $1?$
   

   Da

   Provjerite još jedanput. Možda ipak ne?

   Ne

   

   null

   null

6. Mogu li vrijednosti tangensa i kotangensa šiljastih kutova biti manje od $0?$
   

   Da

   Pogledaj još jedanput interakciju. Postoji li negdje vrijednost s negativnim predzankom?

   Ne

   

   null

   null

7. Mogu li vrijednosti tangensa i kotangensa šiljastih kutova biti veće od $1?$  
   

   Da

   Ne

   Pokušajte odrediti $\mathrm{tg}60°.$ Iznosi $\sqrt{3}\approx 1.7321.$

   

   null

   null

Zaključimo.

S obzirom na to da smo sinus i kosinus šiljastih kutova definirali kao omjere kateta i hipotenuze, a hipotenuza je uvijek najdulja stranica u pravokutnom trokutu, taj je razlomak manji od $1$ ( $1$ bismo dobili kad bi kateta mogla biti jednako dugačka kao hipotenuza). Duljine stranica trokuta nikada ne mogu biti negativne, ni $0,$ pa je zato taj razlomak uvijek pozitivan.

Kod tangensa i kotangensa kutova omjeri kateta mogu biti i veći od $1,$ ali ponovno ne negativni ni nula.

Zadatak 4.

Za koje realne brojeve​ $a$  postoje šiljasti kut $\alpha$  takav da je $\sin \alpha =\frac{a+5}{8+2a}?$

Rješenje

---

Osnovni trigonometrijski identiteti

Primjer 4.

U sljedećoj aktivnosti mijenjajte duljine kateta i pratite vrijednosti sinusa i kosinusa kutova te vrijednost izraza ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha .$ Kakve vrijednosti poprima izraz ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ?$

Osnovni trigonometrijski identitet: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$

Dokažimo osnovni trigonometrijski identitet.

Krenimo od lijeve strane jednakosti, uvrstimo $\frac{a}{c}=\sin \alpha$ i $\frac{b}{c}=\cos \alpha$ i primijenimo Pitagorin poučak:

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1\end{array}.$

Primjer 5.

U sljedećoj aktivnosti mijenjajte duljine kateta i pratite vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, zatim omjere sinusa i kosinusa te kosinusa i sinusa. Uočavate li vezu između nekih podataka?

Zaključimo.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$​, $\mathrm{c}\mathrm{tg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha },$ $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha },$ $\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{ctg}\alpha =1$

Zadatak 5.

Dokažite prethodne tvrdnje.

Primjer 6.

Koristeći se osnovnim trigonometrijskim identitetima, dokažite:​ ${\left(1-\sin \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =2-2\sin \alpha .$

Krenimo od lijeve strane jednakosti, kvadrirajmo izraz u zagradi i primijenimo da je ${\sin }^2\alpha +\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\alpha =1:$

$\begin{array}{l}{\left(1-\sin \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =\\ =1-2\sin \alpha +{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\\ =1-2\sin \alpha +1=\\ =2-2\sin \alpha \end{array}$

$=2-2\sin \alpha ,$ što smo i trebali dokazati.

Zadatak 6.

Dokažite identitet:​ $\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }.$

Rješenje

---

Kotangens

Primjer 7.

Za određivanje vrijednosti kotangensa nema tipke na džepnom računalu. Zato ćemo se snalaziti i upotrijebiti vezu između tangensa i kotangensa $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }.$

PREFIKSNO: broj $40,$ tipka $\boxed{tg},$ tipka $\boxed{1/x}$ (​ $\boxed{x^{-1}}$)

POSTFIKSNO: tipka $\boxed{tg},$ broj $40,$ (tipka $\boxed{ANS}$), tipka $\boxed{1/x}$ ( $\boxed{x^{-1}}$)

$\mathrm{c}\mathrm{tg}40°=1.1918$

Postupak računanja kotengensa prikazan je u animaciji koja slijedi.

Primjer 8.

Za određivanje kuta kojemu je poznat kotangens opet se snalazimo i prelazimo na tangens upotrebom tipke $\boxed{1/x}$ ( $\boxed{x^{-1}}$) i nakon toga određujemo ${\mathrm{tg}}^{-1}.$

Na primjer, za $\mathrm{c}\mathrm{tg}\alpha =0.4$ $\boxed{1/x}$ daje $\mathrm{tg}\alpha =2.5$ i kut $\alpha =68°11\text{'}55".$

Postupak određivanja kuta kojemu je poznata vrijednosti kotangensa možete pogledati u sljedećoj aktivnosti.

Primijenimo osnovne trigonometrijske identitete

Primjer 9.

Neka je $\sin \alpha =0.1.$ Možemo li odrediti vrijednosti ostalih trigonometrijskih omjera kuta $\alpha ?$ Dva su načina na koja to možemo učiniti: određivanjem kuta $\alpha$ ili primjenom trigonometrijskih identiteta.

• ​Prvi način

  Iz zadane vrijednosti sinusa, $\sin \alpha =0.1,$ džepnim računalom odredimo kut $\alpha =5°44\text{'}21".$ Zatim, ponovno džepnim računalom, iz poznatog kuta odredimo ostale trigonometrijske omjere: $\cos \alpha =0.9950,$ $\mathrm{tg}\alpha =0.1005,$ $\mathrm{ctg}\alpha =9.9499.$

• Drugi način

  Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta dobivamo:

  $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{0.1}^2}=\sqrt{0.99}\approx 0.9950.$
  

  Tangens računamo kao omjer sinusa i kosinusa:

  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{0.1}{\sqrt{0.99}}\approx 0.1005$
  

  $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }\approx 9.9499.$

Zadatak 7.

 Odredite ostale trigonometrijske omjere (na oba načina) ako je $\cos \alpha =0.25.$

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Osnovnim trigonometrijskim identitetima povezali smo trigonometrijske omjere. Pri tome je veza sinusa i kosinusa sadržavala kvadrate, odnosno korijene. U primjeni su često prikladnije veze koje ne sadrže kvadriranje i korjenovanje. Potražimo takve veze.

Na slici je polukružnica sa središtem u $S$ polumjera 1. Što znamo o trokutu $ABC?$

1. Ako je $\angle CSD=\alpha ,$ odredite kutove $\angle CAS$ i $\angle DCB.$
2. Koristeći se slikom, dokažite identitete: $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$ i $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }.$

Rješenje

---

Zadatak 8.

Označite $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=t$ pa koristeći identitete $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$ i $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$ dokažite:

1. $\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$
2. $\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}.$

Rješenje

---