x
Učitavanje

9.1 Trigonometrijski omjeri u pravokutnom trokutu

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je pravokutni trokut čija je kateta duljine 1 cm, a hipotenuza 3 cm.

U pravokutnom trokutu duljina je hipotenuze 3 cm , a duljina jedne katete 1 cm . Možete li izračunati duljinu druge katete? Možete li taj trokut konstruirati? A izračunati mjere kutova u trokutu? U ovoj ćemo jedinici povezati duljine stranica i kutove u pravokutnom trokutu.

Sličnost pravokutnih trokuta

Promotrimo pravokutni trokut.

Pravokutni trokut s oznakama stranica (a, b, c) i kutova (alfa i beta)

Zadatak 1.

Odgovorite na pitanja o pravokutnom trokutu.

  1. Najdulju stranicu pravokutnog trokuta nazivamo . Ostale su stranice .
    null
    null
  2. Za stranice pravokutnog trokuta vrijedi  poučak: Površina kvadrata nad  pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata nad  tog trokuta.
    null
    null
  3. Za šiljaste kutove pravokutnog trokuta vrijedi: α + β =   °.
    null
    null
  4. Kutove čiji je zbroj 90 ° nazivamo:

    null
    null
  5. S pomoću kojih formula možemo izračunati površinu pravokutnog trokuta (uz oznake kao na slici)?

    null
    null

Uspoređivali smo trokute i govorili o sukladnim i sličnim trokutima. Za dva trokuta kojima su sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi kažemo da su sukladni. Kada su dva trokuta slična?

Zadatak 2.

Ponovimo definiciju sličnih trokuta i poučke o sličnim trokutima.

  1.   Dva su trokuta slična, A B ∼  A ' B ' C ' , ako su im odgovarajući kutovi
     
    i odgovarajuće stranice
     
    a a b b c c k . Broj k > 0 nazivamo
     
    sličnosti trokuta A B C i A ' B ' C ' .

    koeficijent
    proporcionalne
    sukladni

    null
  2. Za provjeru sličnosti dvaju trokuta često se koristimo poučcima o sličnosti. Koliko ima poučaka o sličnosti?  

     

    null
  3. Povežite tekst poučaka o sličnosti trokuta. Dva su trokuta slična ako su im:

    proporcionalne odgovarajuće
     kutovi.
    dvije odgovarajuće stranice proporcionalne i
     stranice.
    sukladni odgovarajući
    kutovi među njima sukladni.

     

  4. Kada su dva proizvoljna pravokutna trokuta slična? Više je točnih odgovora.

    null

Primjer 1.

Neka su trokuti A B C i A ' B ' C slični. Tada su odgovarajuće stranice proporcionalne: a a ' = b b ' = c c ' . Usporedimo omjere duljina stranica trokuta A B C i omjere duljina stranica sličnog trokuta A ' B ' C ' . Pogledajte sljedeću animaciju.

 
Povećaj ili smanji interakciju
U sljedećoj animaciji promijenite položaj točke A pa pokrenite animaciju. Što se mijenja, a što ostaje nepromijenjeno? Promijenite položaj točke A još nekoliko puta.

fSN

https://ggbm.at/ZGemtfSN

https://ggbm.at/ZGemtfSN

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 3.

Što ste zaključili? Odgovorite na pitanja.

  1. Svi pravokutni trokuti sa sukladnim su kutovima:

    null
    null
  2. Omjeri duljina kateta sličnih pravokutnih trokuta se:

    null

     

  3. Ako promijenimo veličinu pravokutnog trokuta (kutovi ostaju isti), omjer duljina katete i hipotenuze se:

    null
  4. Omjeri duljina stranica su se promijenili kad smo mijenjali kut.

    null
    null

Možemo li pokazati da se omjeri duljina stranica u sličnim trokutima ne mijenjaju? Ako su trokuti slični, onda je a a ' = b b ' , iz čega slijedi a b = a ' b ' . Analogno se može pokazati i za ostale omjere duljina stranica.

Trigonometrijski omjeri

Trigonometrija (grč. trigonon = trokut i metron = mjera) dio je geometrije koji proučava odnose između stranica i kutova trokuta. Mi ćemo se baviti trigonometrijom pravokutnog trokuta.

Zanimljivost

Leonhard Euler (1707. – 1783.)
Leonhard Euler (1707. – 1783.)

Povijesne crtice

  • Početci trigonometrije javljaju se već kod starih Babilonaca i Egipćana, u vezi s promatranjima i istraživanjima gibanja zvijezda po nebeskom svodu.
  • U Europu su Arapi donijeli znanje o trigonometriji.

Neki od poznatih matematičara zaslužni za razvoj trigonometrije jesu: François Viète (16. st.), Napier i Bürgi (17. st.), Ruđer Bošković (1711. – 1787.) te posebno Leonhard Euler (1707. – 1783.), koji je u trigonometriju uveo današnje oznake.

„Eulerov rad je svestran i raznovrstan. Bavio se gotovo svim što se ticalo matematike u njegovo vrijeme.”

N. I. Vavilov, ruski botaničar i genetičar

Uvedimo nazive za katete s obzirom na šiljasti kut koji promatramo u trokutu (kao na slici).

Nazivi stranica pravokutnog trokuta u odnosu na kut alfa.

Zadatak 4.

Na slici je pravokutni trokut sa stranicama r, s i t.

Povežite oznake i nazive stranica s obzirom na kut  φ trokuta na slici.

r  
s  
t   
null
null

Zadatak 5.

Odaberite nazive stranica s obzirom na kut φ na slici.

Na slici je pravokutni trokut.
 

null
null
Na slici je pravokutni trokut.
 

null
null
Na slici je pravokutni trokut.

null

 

Omjeri duljina stranica pravokutnog trokuta, kako smo vidjeli, ne ovise o veličini samih stranica, nego isključivo o veličini šiljastog kuta trokuta. Definirajmo trigonometrijske omjere u ovisnosti o kutu α .

Sinus šiljastog kuta α u pravokutnom trokutu omjer je duljina kutu α nasuprotne katete i hipotenuze, oznaka je sin α .

Kosinus šiljastog kuta α u pravokutnom trokutu omjer je duljina kutu α priležeće katete i hipotenuze, oznaka je cos α .

Tangens šiljastog kuta α u pravokutnom trokutu omjer je duljina kutu α nasuprotne i priležeće katete, oznaka je tg α .

Kotangens šiljastog kuta α u pravokutnom trokutu omjer je duljina kutu α priležeće i nasuprotne katete, oznaka je ctg α .

SINUS KUTA α : sin α = nasuprotna   kateta   kuta   α hipotenuza
KOSINUS KUTA α : cos α = priležeća kateta   kuta   α hipotenuza
TANGENS KUTA α : tg α = nasuprotna kateta   kuta   α priležeća kateta   kuta   α  
KOTANGENS KUTA α : ctg α = priležeća kateta   kuta   α nasuprotna kateta   kuta   α

Zanimljivost

Poznati sirijski astronom al-Battani  (oko 850. 929.) promatrao je šest trigonometrijskih omjera: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans.

Sekans, sec α = 1 cos α i kosekans, cosec α = 1 sin α (koristi se i kratica csc α ) polako ulaze u povijest, a sve se rjeđe koristi i kotangens.

Primjer 2.

Skica pravokutnog trokuta s označenim zadanim elementima iz primjera

Odredimo trigonometrijske omjere kuta α  pravokutnog trokuta A B C ako je duljina nasuprotne katete jednaka 6 , a priležeće 8 jedinica.

Pri rješavanju takvih zadataka najprije zapišimo što je zadano i što se traži te napravimo skicu.

Iskoristimo Pitagorin poučak za računanje duljine hipotenuze:

a = 6 b = 8 c = a 2 + b 2 = 10.

Nasuprotna kateta kuta α je stranica a , priležeća je b , pa prema definiciji vrijedi:

  • sin α = a c = 6 10 = 3 5 ,
  • cos α = b c = 8 10 = 4 5 ,
  • tg α = a b = 6 8 = 3 4 ,
  • ctg α = b a = 8 6 = 4 3 .

Odredimo trigonometrijske omjere za komplementarni kut β . Nasuprotna kateta kuta β je stranica b , priležeća je a , pa prema definiciji vrijedi:

  • sin β = b c = 8 10 = 4 5 ,
  • cos β = a c = 6 10 = 3 5 ,
  • tg β = b a = 8 6 = 4 3 ,
  • ctg β = a b = 6 8 = 3 4 .

Zadatak 6.

Duljina jedne katete pravokutnog trokuta iznosi  9 , a hipotenuze 41 . Odredite trigonometrijske omjere šiljastih kutova toga trokuta.

Ako označimo trokut kao u primjeru, drugu katetu računamo s pomoću Pitagorina poučka, a trigonometrijske omjere prema definiciji.

a = 9 c = 41 b = c 2 - a 2 = 40  

sin α = a c = 9 41 , cos α = b c = 40 41 , tg α = a b = 9 40 , ctg α = b a = 40 9

sin β = b c = 40 41 , cos β = a c = 9 41 , tg β = b a = 40 9 , ctg β = a b = 9 40


Zadatak 7.

 Povežite nazive stranica u trokutu s odgovarajućim trigonometrijskim omjerom.

nasuprotna i priležeća kateta
 nasuprotna kateta i hipotenuza
priležeća kateta i hipotenuza
null
null

Zadatak 8.

Provjerite koliko ste usvojili vezu između kutova i stranica pravokutnog trokuta.

  1. S obzirom na trigonometrijski omjer sin φ  m p , označite stranice zadanog trokuta povlačenjem pripadajućih oznaka na sredinu stranice.

    Pravokutni trokut

    m

    n

    p

     

     

  2. Pridružite ispravan naziv stranicama trokuta x , y i z u odnosu prema kutu  α ako vrijedi ​ tg α  x y .

    x
    y
    z
  3. U trokutu sa stranicama p ,   q i r i kutovima α i β vrijedi sin α  p r . Tada je cos β  =

  4. Ako su katete pravokutnog trokuta ​ p = 12 i q = 35 , povežite trigonometrijske omjere za kut ​ α nasuprot stranici p .

    tg α   ​
    12 37   ​
    ctg α   
    12 35   ​
    cos α  
    35 37   ​
    sin α  
    35 12   ​

Zadatak 9.

Zadan je pravokutni trokut s katetama 2 i 4 . Ako mu se dvije stranice produže kao na slici, dobije se novi trokut s katetama 3  i x . Razmislite i odgovorite na pitanja.

Dva slična pravokutna trokuta iz zadatka.

  1. Jesu li trokuti slični?

    null
    null
  2. Za kut φ , nasuprotna je kateta većeg trokuta:

    null
  3. Omjer stranica većeg trokuta, x 3 , jednak je:

    null
  4. Isto tako vrijedi i tg φ =

    Pomoć:

    U manjem trokutu je isti kut i vrijedi ​ tg φ = nasuprotna kateta priležeća kateta .

    null
  5. Koristeći jednakost tangensa, izračunajte x . x =
    Kvadrat hipotenuze manjeg trokuta je  , a kvadrat hipotenuze većeg trokuta je .
    null

Trigonometrijskim omjerima do pravokutnog trokuta

Primjer 3.

Skica pravokutnog trokuta s označenim uvjetima iz primjera.

​Duljina je jedne katete pravokutnog trokuta  24 , a sinus šiljastog kuta uz tu katetu jednak je ​ 5 13 . Odredimo duljinu druge katete i hipotenuze.

Promotrimo trokut sličan traženom sa stranicama duljine 5 i 13 . Sinus je omjer nasuprotne katete i hipotenuze pa je stranica duljine 5 nasuprotna kateta, a stranica duljine 13 hipotenuza. Odredimo priležeću katetu:

B ' C 13 5 12 .

Iz jednakosti trigonometrijskih omjera i oznake kao na slici dobit ćemo duljine ostalih stranica traženog trokuta.

cos α = 12 13 = 24 A C A C = 13 · 24 12 = 26

tg α = 5 12 = A B 24 A B = 5 · 24 12 = 10

Duljina je druge katete 10 , a hipotenuze 26 .

Jesmo li mogli na neki drugi način dobiti rješenje? Kako?

Zadatak 10.

Znamo li konstruirati trokut iz prethodnog primjera?

Prisjetimo se konstrukcije trokuta. Koliko je najmanje elemenata trokuta potrebno znati za konstrukciju trokuta? Čime je trokut jednoznačno određen? Ako znamo izračunati duljine stranica i veličine kutova, možemo li uvijek konstruirati taj trokut?

  1. Za trokute A B i A ' B ' C ' , kojima su sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi, kažemo da su i pišemo A B ≅  A ' B ' C ' . Raznim preslikavanjima u ravnini ti se trokuti mogu preklopiti.
    null
    null
  2. Za konstrukciju trokuta nije potebno šest elemenata (sve stranice i kutovi), dovoljno je poznavati  elementa.
    null
    null
  3. Povežite sljedeće tvrdnje u iskaz poučka o sukladnosti trokuta. Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u

    jednoj stranici i
    (KSK)
    kutu nasuprot većoj stranici
    svim trima
    (SSS)
    kutovima uz tu stranicu
    dvjema stranicama i
    (SSK)
    stranicama
    dvjema stranicama i
    (SKS)
    kutu među njima
    null
    null
  4. Kod pravokutnog je trokuta uz poznati pravi kut dovoljno poznavati još elementa da bismo ga mogli konstruirati.
    null
    null

Za konstrukciju pravokutnog trokuta iz primjera potrebna su nam još dva podatka. U prethodnom smo primjeru imali zadanu duljinu jedne katete ( 24 ), a drugi bi podatak trebao biti kut koji zapravo ne znamo. Znamo samo omjer koji proizlazi iz veličine kuta. Međutim, možemo konstruirati trokut sličan zadanom, čija je kateta nasuprot zadanom kutu duljine 5 , a hipotenuza duljine 13 . Zatim priležeću katetu produljimo do 24 te konstrukcijom paralela dobijemo traženi trokut.

Pogledajte animaciju napravljenu u GeoGebri, a zatim pokušajte sami.

Povećaj ili smanji interakciju

Katkad se u zadatcima traži samo konstrukcija kuta (prvi dio naše konstrukcije iz prethodnog primjera). Za konstrukciju trokuta, uz trigonometrijski omjer, potreban je još jedan element trokuta.

Kutak za znatiželjne

  1. Konstruirajte na papiru:

    1. kut za koji vrijedi ​ sin φ = 3 2

    2. pravokutni trokut A B C ako je tg α = 4 5 , v = 7 2 .

  2. Za koje realne brojeve x i y postoje trigonometrijske vrijednosti?

    1. sin α = 10 x x 2 + 25

    2. cos β = 1 2 - y

Grafički prikaz rješenja (skica i konstrukcija) 1. zadatka ( a i b)
    1. sin φ = a c = 3 2

      Prisjetite se konstrukcije korijena te konstruirajte stranicu a = B C , zatim konstruirajte iz vrha C okomicu na a i na kraju kružnicu sa središtem u vrhu B polumjera 2 . Vrh A traženog kuta sjecište je kružnice i okomice.

    2. tg α = a ' b ' = 4 5 , v = 7 2

      Konstruirate trokut A ' B ' C ' s katetama duljina 4 i 5 , konstruirajte visinu v ' iz vrha C ' , produljite v ' do 7 2 . Dobili ste točku na hipotenuzi, konstruirajte okomicu na visinu u toj točki. Dobili ste pravac na kojemu je stranica c . Nacrtajte traženi trokut.

  1. Sinus i kosinus definirani su kao omjer duljina katete i hipotenuze pa je nazivnik uvijek veći od brojnika. Zato je razlomak realan broj između nula i jedan pa se zadatak svodi na rješavanje nejednadžbi.

    1. 0 < 10 x x 2 + 25 < 1 x > 0 , x 5

    2. 0 < 1 2 - y < 1 y < 1


Zadatak 11.

Izračunajte opseg i površinu pravokutnog trokuta kojemu je duljina hipotenuze 82 , a ctg α = 9 40 .

Zadatak se može riješiti sustavom jednadžbi:

b : a = 9 : 40 b = 9 k , a = 40 k

c 2 = a 2 + b 2

82 2 = 40 k 2 + 9 k 2  

k = 2

o = a + b + c = 80 + 18 + 82 = 180

P = 720


Zadatak 12.

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta jest  34 , a tg α = 8 15 . Prikažite ostale trigonometrijske omjere kuta α . Izračunajte visinu na hipotenuzu. Kolika je površina tog trokuta?

sin α = 8 17 , cos α = 15 17 , ctg α = 15 8

Metodom površina lako dolazimo do visine trokuta. Izrazimo površinu na dva načina pa dobivene izraze izjednačimo.

a · b 2   = c · v 2   v = a · b = 480 34 14.12

P = 240


...i na kraju

Ponovite trigonometrijske omjere.

Povećaj ili smanji interakciju

Idemo na sljedeću jedinicu

9.2 Računanje trigonometrijskih omjera