x
Učitavanje

8.1 Sukladnost

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su blizanci koji izgledaju jednako ali nisu isti.

Sukladni likovi

Na slici je rozeta.

Za likove koji izgledaju potpuno jednako i s obzirom na veličinu i s obzirom na oblik reći ćemo da su sukladni. Sukladni likovi izgledaju jednako, ali se nalaze na različitim mjestima u ravnini. Možemo ih pomicati i okretati sve dok se potpuno ne poklope.

Praktična vježba

Podijelite se u grupe. Uzmite list papira i preklopite ga po sredini. Izrežite neki lik. Dobit ćete dva lika koji su potpuno jednaki s obzirom na veličinu i oblik - dva sukladna lika. Pomiješajte likove svih učenika u grupi. Zamijenite mjesta s učenicima druge grupe. Pronađite sukladne likove te grupe pa ih preklopite jedan preko drugoga.

Dva su geometrijska lika sukladna ako ih možemo dovesti u položaj u kojem se potpuno podudaraju.

Kako ćemo likove dovesti u položaj u kojem se potpuno podudaraju? Jednog od njih treba pomaknuti u ravnini dok se ne poklopi s drugim. Pri pomicanju u ravnini likovi moraju zadržati svoj oblik i veličinu. To znači da se udaljenosti među točkama lika koji pomičemo ne smiju mijenjati pri pomicanju, kažemo da se udaljenosti čuvaju. Možemo li matematičkim pojmovima opisati takvo pomicanje likova u ravnini?  Preslikavanja ravnine koja čuvaju udaljenosti zovemo izometrije. U osnovnoj ste školi učili o translaciji, osnoj i centralnoj simetriji i rotaciji. Sva su ova preslikavanja izometrije.
Možemo reći da su dva geometrijska lika sukladna ako postoji izometrija koja jedan lik preslikava u drugi.

Zadatak 1.

Jesu li likovi na slici sukladni? Označite točan odgovor.

  1. Na slici su dva mnogokuta.

    null
    null
  2. Na slici su dva mnogokuta.

    null
    null

  3. Na slici su dva mnogokuta.

    null
    null

  4. Na slici su dva mnogokuta.

    null
    null
  5. Na slici su dva mnogokuta.

    null
    null

Sukladnost dužina i kutova

Primjer 1.

Na slici su dužine i njihove duljine.

Promotrite dužine na slici i uočite one koje su sukladne. Što možete reći o njihovim duljinama? Dopunite rečenicu.

Ako su dužine  njihove su duljine  .

null
null

Primjer 2.

zad

Promotrite kutove na slici i uočite one koji su sukladni. Što možete reći o njihovim mjerama? Dopunite rečenicu.

Sukladni imaju jednake .

null
null

Zaključimo.

Na slici su sukladne dužine.

Dužine A B ¯ i C D ¯ sukladne su ako i samo ako su im duljine jednake. Pišemo A B ¯ C D ¯ i čitamo: dužine A B ¯ i C D ¯ sukladne su.

Na slici su dva sukladna kuta.

Kutovi su sukladni ako i samo ako su im mjere jednake. Pišemo a P b c Q d  i čitamo: kutovi a P b i c Q d sukladni su.

Sukladnost trokuta

Na slici je kupola sastavljena od trokuta.

Primjer 3.

Promotrite sukladne trokute u interakciji. Što možete zaključiti o njihovim stranicama i  kutovima? Promijenite položaj vrhova A , B , C . Vrijede li i za nove trokute isti zaključci?

Povećaj ili smanji interakciju
zad

Trokuti A B C i D E F sukladni su ako i samo ako su im sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi. Pišemo A B C D E F i čitamo: trokuti A B C i D E F sukladni su.

Poučci o sukladnosti trokuta

Rekli smo da su trokuti sukladni ako su im sve odgovarajuće stranice i svi odgovarajući kutovi sukladni. Ukupno je to šest elemenata. Moramo li provjeravati svih šest elemenata? Poučci o sukladnosti govore o tome koje je elemente dovoljno provjeriti.

N slici su dva trokuta kojima su sukladne dvije stranice i kut među njima.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut među njima. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sukladnosti trokuta.

Promotrite u animaciji konstrukciju trokuta kojemu su zadane dvije stranice i kut među njima.

Zadatak 2.

Promotrite trokute na slici. Jesu li ispunjeni uvjeti S-K-S poučka o sukladnosti trokuta? Jesu li trokuti sukladni? Označite točan odgovor.

Na slici su dva trokuta. Oba trokuta imaju stranice duljina 10 cm i 13 cm, a kut među njima je 26 stupnjeva.

null
null
Na slici su dva trokuta kojima su sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu. Ovaj poučak nazivamo K-S-K poučak o sukladnosti trokuta.

Promotrite u animaciji konstrukciju trokuta kojemu je zadana stranica i dva kuta uz tu stranicu. 

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 3.

Na slici su trokuti ABC i EFD. Duljina stranice BC je 12 cm, kut pri vrhu B je 65 stupnjeva, a pri vrhu C je 23 stupnja. Duljina stranice FD je 12 cm.
Trokuti na slici sukladni su. Mjera kuta F E D jest °
null
null
Na slici su dva trokuta kojima su sukladne sve tri stranice.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne sve tri stranice. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sukladnosti trokuta.

Zadatak 4.

Poredajte korake konstrukcije trokuta kojem su zadane duljine svih triju stranica.

 

  • Na slici su dužine a, b, c, polupravac s početkom u točki A i kružnica polumjera c sa središtem u točki A. Sjecište kružnice i polupravca je točka B.
     

  • Na slici su dužine a, b i c i polupravac s početkom u točki A.

     ​





  • Na slici su dužine a, b, c, polupravac s početkom u točki A, točka B takva da je duljina dužine AB jednaka c. Nacrtane su dvije kružnice: sa središtem u A polumjera b i sa središtem u B polumjera a. Te se dvije kružnice sijeku u točki C.

     ​


  • Nacrtan je trokut ABC.

     ​



null
null

Zadatak 5.

Na slici su dva trokuta. Jedan ima stranice duljina 6 cm, 13 cm i 18 cm. U trokutu ABC najdulja je stranica BC, a najkraća AB.
  Trokuti na slici sukladni su. Duljina stranice A C ¯ iznosi cm .
null
null
Na slici su dva trokuta kojima su sukladne dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici. Ovaj poučak nazivamo S-S-K poučak o sukladnosti trokuta.

Zadatak 6.

Promotrite u animaciji konstrukciju trokuta kojemu su zadane dvije stranice i kut nasuprot jedne od njih.

Povećaj ili smanji interakciju

Promijenite veličinu zadanog kuta i duljine zadanih stranica. Koliko rješenja može biti? Jesu li rješenja sukladni trokuti? Zašto?

Na slici je ilustacija slučaja u kojem nema rješenja.

Ovisno o duljinama zadanih stranica postoji nekoliko mogućnosti:

a. nema rješenja: stranica nasuprot zadanom kutu mala je pa kružnica čiji je polumjer duljina te stranice ne siječe drugi krak kuta.

Na slici je ilustracija slučaja u kojem postoji jedno rješenje.

b. jedno rješenje: stranica nasuprot zadanom kutu duža je od stranice uz kut pa kružnica siječe drugi krak kuta u jednoj točki. U ovom su slučaju zadovoljeni uvjeti iz S-S-K > poučka o sukladnosti trokuta.

c. dva rješenja: stranica nasuprot zadanom kutu kraća je od stranice uz kut pa kružnica siječe drugi krak kuta u dvjema točkama. U ovom slučaju nisu zadovoljeni uvjeti iz S-S-K > poučka o sukladnosti trokuta. Rješenja su dva nesukladna trokuta.


Zanimljivost

Na slici je Euklid.
Euklid

Grčki matematičar Euklid živio je od približno 330. do 275. godine pr. Kr. u Aleksandriji. Njegovo najvažnije djelo Elementi sastoji se od 13 knjiga u kojima je sistematizirano dotadašnje znanje o geometriji. U izlaganju se polazi od definicija i aksioma te pomoću njih dokazuju nove tvrdnje - propozicije. Euklidovi su Elementi  sve do 18. stoljeća bili osnovni udžbenik geometrije, a i danas se po broju izdanja nalaze na drugom mjestu, odmah iza Biblije. 

Kutak za znatiželjne

Na slici je skica dokaza poučka.

Propozicija 4 u Euklidovim elementima:

Ako dva trokuta imaju dvije strane jednake dvjema stranama i imaju kutove koji sadrže jednake ravne linije, tada također imaju osnovicu jednaku osnovici, trokut je jednak trokutu, a preostali kutovi jednaki su preostalim kutovima, naime oni koji su suprotni jednakim stranama.

O kojem poučku o sukladnosti govori propozicija 4 ? Primijetite da Euklid ne koristi riječ sukladnost, nego kaže da su trokuti jednaki.

Pogledajmo dokaz u kojem ćemo koristiti današnje oznake i terminologiju.

Neka su dani trokuti A B C i D E F tako da vrijedi A B = D E , A C = D F , B A C E D F . Položimo vrh A na vrh D tako da se poklope zrake A B i D E  . Budući da su jednaki kutovi pri vrhu A i vrhu D , pri tome će se poklopiti i zrake A C i D F . Poklopit će se točke B i E jer su dužine A B ¯ i D E ¯ jednakih duljina. Također su jednakih duljina dužine A C ¯ i D F ¯ pa će se poklopiti i točke C i F . To znači da će se poklopiti dužine B C ¯ i E F ¯ , a onda i kutovi pri vrhovima B i E , kao i kutovi pri vrhovima C i F .

Zaključujemo da su u trokutima A B C i D E F svi odgovarajući elementi sukladni pa su i trokuti sukladni.

Pokušajte sami dokazati ostale poučke o sukladnosti trokuta.

...i na kraju

Na slici su fasade kuća na kojima se uočavaju sukladni likovi.

Promotrite fasade kuća na slici. Uočavate li sukladne likove? Opišite koji su likovi sukladni i zašto. Pronađite fotografije na kojima se pojavljuju sukladni likovi. Napravite plakat na kojem ćete prikazati svoju fotografiju, opisati sukladne likove i obrazložiti zašto su sukladni.

Idemo na sljedeću jedinicu

8.2 Primjena sukladnosti