Matematika 1 - 3.4 Kvadrat i kub binoma

Na početku...

Koliko je

(2 + 5)^{2} ?

To je jednostavno izračunati, rezultat je

7^{2} = 49.

A koliko točno, bez zaokruživanja, iznosi

(\sqrt{3} + 1)^{2} ?

Očito možemo računati na ovaj način

(\sqrt{3} + 1) \cdot (\sqrt{3} + 1) = 3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} + 1 = 4 + 2 \sqrt{3} .

Moramo li uvijek tako računati, na duži način, ili postoji neki brži, jednostavniji način?

Kvadrat zbroja

Izračunajte $(a + b)^{2} .$

Na isti način kao prije računamo:

$(a + b)^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$

Zbog čega smo mogli zbrojiti $a b$ i $b a ?$ Koje smo još svojstvo primijenili?

Zbog svojstva komutativnosti množenja realnih brojeva.

Primijenili smo i distributivnost množenja prema zbrajanju.

Izraz $(a + b)^{2}$ nazivamo kvadrat zbroja. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$

Možete li riječima opisati čemu je jednak kvadrat zbroja?

Kvadrat zbroja čitamo: prvi plus drugi na kvadrat jednako je prvi na kvadrat plus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat.

Na slici je pravokutnik sa stranicama duljina 3 i x.

Već smo uočili da umnožak dvaju realnih brojeva možemo geometrijski interpretirati kao površinu pravokutnika. Na primjer, $3 x$ predstavlja površinu pravokutnika duljina stranica $3$ i $x .$

Kako geometrijski predočiti kvadrat zbroja?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Popločite prazan kvadrat danim kvadratima i pravokutnicima.

Za rotiranje pravokutnika kliknite na njega.

Kolika je duljina stranice popločenoga kvadrata? Zapišite njegovu površinu i dijelove kojima je popločen.

Koju ste formulu dobili?

Zadatak 2.

Popunite prazna mjesta.

$(a + 3)^{2} = a^{2} +$ $\cdot$ $\cdot a +$

null

null
$(2 a + b)^{2} =$ $a^{2} + 2 \cdot$ $\cdot$ $+ b^{2}$

null

null
$(3 x + 2 y)^{2} =$ $x^{2} +$ $x y +$ $y^{2}$

null

null
$(7 + x y)^{2} =$ $+$ $x y + x^{2} y^{2}$

null

null

Zatvori

Kvadrat razlike

Praktična vježba

Na slici su: kvadrat duljine stranice a, kvadrat duljine stranice b i dva pravokutnika dimenzija a puta b. — Slika 1.

Korak 1.

Izrežite iz papira kvadrate i pravokutnike kao na slici 1.

Korak 2.

Složite dijelove tako da dobijete kvadrat površine $(a - b)^{2} .$

Napomena

Dijelovi se mogu i preklapati.

Korak 3.

Usporedite površine i zapišite u bilježnicu kako ste dobili kvadrat površine $(a - b)^{2} .$

Na slikama je prikazano preslagivanje kvadrata i pravokutnika u kvadrat razlike.

Od kvadrata $a^{2}$ oduzmemo pravokutnik $a b .$ Kako bismo mogli još jedanput oduzeti isti pravokutnik, prvo dodamo kvadrat $b^{2}$ te oduzmemo pravokutnik $a b .$ Dobili smo kvadrat duljine stranice $a - b .$

Zadatak 3.

Izračunajte $(a - b)^{2} .$

${(a - b)}^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - b a + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Kako biste nazvali formulu koju ste dobili?

Izraz $(a - b)^{2}$ nazivamo kvadrat razlike. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} .$

Izrazi kvadrat zbroja i kvadrat razlike još se jednostavno nazivaju kvadrat binoma jer kvadriramo dvočlane izraze, tj. binome.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Popunite prazna mjesta.

${(a - 2 b)}^{2} = a^{2} -$ $\cdot a b +$ $b^{2}$

null
${(4 x - \frac{1}{3})}^{2} =$ $x^{2} - \frac{8}{3} \cdot$ $+ \frac{1}{9} y^{2}$

null
$(10 - 9 x)^{2} =$ $-$ $\cdot x +$ $x^{2}$

null
${(0.1 a - 4 b)}^{2} = 0.01 a^{2} -$ $\cdot a b +$ $b^{2}$

null

null

Zadatak 5.

Izračunajte.

${(11 + 0.1 x)}^{2}$
${(- a + 3 b)}^{2}$
${(- \frac{4}{5} x - 2 \frac{1}{3} y)}^{2}$
${(a^{2} - 4.3 b)}^{2}$

$121 + 2.2 x + 0.01 x^{2}$
$a^{2} - 6 a b + 9 b^{2}$
$\frac{16}{25} x^{2} + 3 \frac{11}{15} x y + 5 \frac{4}{9} y^{2}$
$a^{4} - 8.6 a^{2} b + 18.49 b^{2}$

Zadatak 6.

Izračunajte bez olovke i papira i bez džepnog računala.

$101^{2}$
$1 002^{2}$
$99^{2}$
$998^{2}$

$101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 200 + 1 = 10 201$
$1 002^{2} = (1 000 + 2)^{2} = 1 000^{2} + 4 000 + 4 = 1 004 004$
$99^{2} = (100 - 1)^{2} = 100^{2} - 200 + 1 = 9 801$
$998^{2} = (1 000 - 2)^{2} = 1 000^{2} - 4 000 + 4 = 996 004$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Uočite pravilnosti u sljedećim zbrojevima kvadrata binoma i pojednostavnite izraze.

$(x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} + . . . + (x + 19)^{2} + (x + 20)^{2}$
$(x - 15)^{2} + (x - 14)^{2} + . . . + x^{2} + . . . + (x + 14)^{2} + (x + 15)^{2}$

$20 x^{2} + 420 x + 2 870$
$31 x^{2} + 2 480$

Faktorizacija trinoma

Naučili smo kvadrat binoma raspisati na tročlani izraz. Možete li provesti obrnuti postupak, prepoznati i zapisati tročlani izraz kao potpun kvadrat?

Primjer 1.

Možemo li izraz $x^{2} + 6 x + 9$ zapisati kao potpun kvadrat?

U izrazu se pojavljuju dva kvadrata $x^{2}$ i $3^{2},$ što znači da bi prvi član binoma mogao biti $x,$ a drugi bi član mogao biti broj $3 .$ Još trebamo provjeriti je li srednji član jednak dvostrukom umnošku prvoga i drugoga člana, odnosno je li $2 \cdot x \cdot 3$ jednako $6 x .$ Budući da to vrijedi, možemo zapisati $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2} .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zapišite kao potpuni kvadrat.

Za unos razlomka koristite se znakom za dijeljenje, na primjer $\frac{3}{5} = 3 / 5 .$

Zadatak 8.

Zapišite sljedeće izraze kao potpuni kvadrat.

$a^{2} + 12 a b + 36 b^{2} =$
$25 x^{2} - 10 x + 1 =$
$4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2} =$
$\frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{3} a b + \frac{1}{9} b^{2} =$

$(a + 6 b)^{2}$
$(5 x - 1)^{2}$
$(2 x + 5 y)^{2}$
$(\frac{1}{2} a - \frac{1}{3} b)^{2}$

Zadatak 9.

Riješite zadatke.

$9 a^{2} -$

$+ b^{2} = ($

$\cdot a -$

$)^{2}$

$6 a b$

$b$

$3$

null

null
$25 a^{2} +$

$+ 49 b^{2} = ($

$\cdot a +$

$)^{2}$

$7 b$

$5$

$70 a b$

null

null
$0.04 a^{2} +$

$+ 9 = ($

$\cdot a +$

$)^{2}$

$0.2$

$1.2 a$

$3$

null

null
$0.36 a^{2} -$

$+ 25 b^{2} = ($

$\cdot a -$

$)^{2}$

$6 a b$

$0.6$

$5 b$

null

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kvadrat trinoma

Od kojih se dijelova sastoji kvadrat duljine stranica $a + b + c ?$

Upišite izraze za površinu dijelova kvadrata.

Zapišite ukupnu površinu na oba načina.

Izračunajte ${(a + b + c)}^{2} .$ Kako biste nazvali taj izraz?

${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$

Taj ćemo izraz nazvati kvadrat trinoma jer kvadriramo tročlani izraz, odnosno trinom.

Zadatak 10.

Izračunajte.

${(a + b - c)}^{2}$
${(a - b - c)}^{2}$
${(2 x + y + 3 z)}^{2}$
${(x - 5 y + 6 z)}^{2}$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 a c - 2 b c$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c + 2 b c$
$4 x^{2} + y^{2} + 9 z^{2} + 4 x y + 12 x z + 6 y x$
$x^{2} + 25 y^{2} + 36 z^{2} - 10 x y + 12 x z - 60 y z$

Kub zbroja

Uočili smo da $x^{2}$ geometrijski predstavlja površinu kvadrata duljine stranice $x .$

Slično, broj $x^{3}$ predstavlja obujam kocke duljine brida $x .$

Sljedeća animacija prikazuje geometrijsku interpretaciju kuba zbroja dvaju realnih brojeva.

Pogledajmo kako ćemo i od kojih dijelova složiti kocku duljine brida $a + b .$

Provjerimo računski.

$\begin{array}{l} (a + b)^{3} = \\ (a + b)^{2} \cdot (a + b) = \\ (a^{2} + 2 a b + b^{2}) \cdot (a + b) = \\ a^{3} + a^{2} b + 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{2} a + b^{3} = \\ a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \end{array}$

Izraz $(a + b)^{3}$ nazivamo kub zbroja. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} .$

Primjer 2.

Izračunajmo $(2 + 3 x)^{3} .$

$\begin{array}{l} (2 + 3 x)^{3} = \\ 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} \cdot 3 x + 3 \cdot 2 \cdot (3 x)^{2} + {(3 x)}^{3} = \\ 8 + 3 \cdot 4 \cdot 3 x + 6 \cdot 9 x^{2} + 27 x^{3} = \\ 8 + 36 x + 54 x^{2} + 27 x^{3} \end{array}$

Zadatak 11.

Izračunajte.

$(a + 2 b)^{3}$
$(5 a b + c)^{3}$
${(\frac{1}{2} x + y^{2})}^{3}$
${(0.1 x + 10)}^{3}$

$a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$
$125 a^{3} b^{3} + 75 a^{2} b^{2} c + 15 a b c^{2} + c^{3}$
$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x y^{4} + y^{6}$
$0.001 x^{3} + 0.3 x^{2} + 30 x + 1 000$

Kub razlike

Izračunajte ${(a - b)}^{3} .$

${(a - b)}^{3} = {(a - b)}^{2} \cdot (a - b) = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \cdot (a - b) = a^{3} - a^{2} b - 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{2} a - b^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Izraz $(a - b)^{3}$ nazivamo kub razlike. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Izračunajte.

${(2 x - y)}^{3}$
${(x - \frac{1}{4})}^{3}$
${(5 a - 0.4 b)}^{3}$
${(x^{2} y^{3} - 3 x y^{2})}^{3}$

$8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$
$x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{16} x - \frac{1}{64}$
$125 a^{3} - 30 a^{2} b + 2.4 a b^{2} - 0.064 b^{3}$
$x^{6} y^{9} - 9 x^{5} y^{8} + 27 x^{4} y^{7} - 27 x^{3} y^{6}$

Zadatak 13.

Bez olovke i papira i bez džepnog računala izračunajte.

$11^{3}$
$101^{3}$
$18^{3}$
$98^{3}$

$11^{3} = (10 + 1)^{3} = 1 000 + 300 + 30 + 1 = 1 331$
$101^{3} = (100 + 1)^{3} = 1 000 000 + 30 000 + 300 + 1 = 1 030 301$
$18^{3} = (20 - 2)^{3} = 8 000 - 2 400 + 240 - 8 = 5 832$
$98^{3} = (100 - 2)^{3} = 1 000 000 - 60 000 + 1 200 - 8 = 941 192$

Zadatak 14.

Ako za realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi: $x + y = 4$ i $x y = 1,$ koliko je

$x^{2} + y^{2}$
$x^{3} + y^{3} ?$

Iz formule za kvadrat zbroja izrazimo

$x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y$

pa računamo

$x^{2} + y^{2} = 4^{2} - 2 \cdot 1 = 14 .$
Iz formule za kub zbroja

${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)$

možemo izraziti

$x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y)$

pa slijedi

$x^{3} + y^{3} = 4^{3} - 3 \cdot 1 \cdot 4 = 52 .$

Zatvori

...i na kraju

Povežite nazive i izraze.

kvadrat razlike

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

a^{2} - 2 a b + b^{2}

a^{2} + 2 a b + b^{2}

${(a + b)}^{2}$

${(a - b)}^{2}$

${(a + b)}^{3}$

${(a - b)}^{3}$

null

${(2 a + 5 b)}^{2} - 4 b (a - 10 b) =$	$4 a^{2} + 16 a b + 65 b^{2}$
${(4 a - b)}^{3} + b^{2} (b - 12 a) =$	$10 a^{2} + 10 b^{2}$
${(a - 3 b)}^{2} + {(b + 3 a)}^{2} =$	$48 a^{2} b + 16 b^{3}$
$8 {(a + b)}^{3} - {(2 a - 2 b)}^{3} =$	$64 a^{3} - 48 a^{2} b$
$10 a b - {(5 a + b)}^{2} =$	$- 25 a^{2} - b^{2}$

3.4 Kvadrat i kub binoma

Na početku...