Matematika 1 - 4.9 Primjena nejednadžbi

Na početku...

Na slici su podaci o slijetanju ili polijetanju na aerodromu.

Dora je doputovala zrakoplovom u dubrovačku zračnu luku i namjerava taksijem doći do hotela. Kod sebe ima $140$ kuna. Cjenik usluge taksija je $8.50$ kuna za start i $5.80$ kuna za svaki kilometar vožnje. Koliko se najviše kilometara Dora može voziti taksijem? Ako je udaljenost od zračne luke do hotela $21.6$ kilometara, može li Dora uzeti taksi?

Što je poznato?

Znamo cjenik usluga taksija, $8.50$ kuna za start i $5.80$ kuna za svaki kilometar vožnje te da Dora ima $140$ kuna.

Što je nepoznato?

Koliko se kilometara Dora može voziti. Označimo tu veličinu s $x .$

Koliko stoji vožnja $x$ kilometara?

$U_{cijena} = \underset{start}{\underset{⏟}{8.5}} + \underset{\underset{po km}{cijena}}{\underset{⏟}{5.8}} \cdot x$

Koliko može iznositi ukupna cijena vožnje? Najviše $140$ kuna.

Postavimo nejednadžbu.

$8.5 + 5.5 \cdot x \leq 140$

Riješimo nejednadžbu.

$5.5 x \leq 140 - 8.5$

$5.5 x \leq 131.5$

$x \leq 23.91$

To rješenje znači da se Dora može taksijem voziti najviše $23 km .$ Budući da je $21.6 < 23,$ zaključujemo da se Dora može dovesti taksijem do hotela.

Kao i pri rješavanju jednadžbi i ovdje možemo prepoznati četiri koraka koja smo proveli: Pročitaj, Poveži, Riješi, Provjeri.

Zadatak 1.

Razvrstajte korake rješavanja zadatka.

Postavimo nejednadžbu

8.5 + 5.8 x \leq 140

To rješenje znači da se Dora može taksijem voziti najviše

23 km .

Budući da je

21.6 < 23.91,

zaključujemo da se Dora može taksijem dovesti
do hotela.

Što je poznato?
Znamo cjenik usluga taksija,

8.50

kuna za start i

5.80

kuna za svaki kilometar vožnje te da Dora ima

140

kuna.

Riješimo nejednadžbu.

5.5 x \leq 140 - 8.5

5.5 x \leq 131.5

x \leq 23.91

Koliko stoji vožnja

x

kilometara?

U_{cijena} = \underset{start}{\underset{⏟}{8.5}} + \underset{\overset{cijena}{po km}}{\underset{⏟}{5.8}} \cdot x

Koliko može iznositi ukupna cijena vožnje?
Najviše

140

kuna.

Što je nepoznato?
Koliko se kilometara Dora može voziti.
Označimo tu veličinu s

x .

PROČITAJ

POVEŽI

RIJEŠI

PROVJERI

null

Brojevi

Primjer 1.

Ako neki broj pomnožimo s $9$ i umnošku dodamo $4,$ rezultat će biti veći od $35 .$ Koji je najmanji cijeli broj za koji to vrijedi?

Što je poznato?

Broj treba pomnožiti s $9$ i tomu dodati $4,$ a rezultat mora biti veći od $35 .$

Što je nepoznato?

Nepoznat je početni cijeli broj. Označimo ga s $x .$

Što treba napraviti s $x ?$

$R = 9 \cdot x + 4$

Kakav treba biti taj rezultat?

$9 x + 4 \geq 35$

$9 x \geq 31$

$x \geq 3 . \dot{4}$

Budući da tražimo cijeli broj, to je prvi veći cijeli broj što je jednako $4 .$

Provjerimo, $9 \cdot 4 + 4 = 40 \geq 35 .$

Da smo rješenje zaokruživali na cijeli broj, to bi bio broj $3 .$ Je li to dobro rješenje?

Ne, jer broj treba biti veći od $3 . \dot{4}$ ili jednak $3 . \dot{4} .$

Uostalom, lako se provjeri da je $9 \cdot 3 + 4 = 31 < 35 .$

Trokratnik nekoga broja manji je od $13 .$ Koji je to broj?

$x < \frac{13}{3}$

$x < \frac{3}{13}$

null

null
Ako od $5$ oduzmemo dvostruki broj, rezultat je veći od $7 .$ Koji je to broj?

$x > - 1$

$x < - 1$

null

null
Ako umnožak nekoga broja i broja $4$ oduzmemo od $1 300$ $,$ rezultat mora biti manji od $35 .$ Koji je najmanji takav cijeli broj?

$x = 317$

$x = 316$

null

null
Ako neki broj umanjen za $12$ pomnožimo s $4,$ rezultat će biti veći od $130$ ili jednak $130 .$ Koji je najmanji takav broj?

$x = 44.5$

$x = 45$

null

null

Geometrija

Primjer 2.

Širina je pravokutnika $35 cm .$ Opseg pravokutnika iznosi najmanje $826 cm .$ Koliko najmanje iznosi duljina pravokutnika?

Poznati su nam širina pravokutnika i broj od kojeg je opseg pravokutnika veći ili kojemu je jednak.

Označimo s $x$ duljinu pravokutnika. Stavimo sve veličine u vezu.

$o = 2 \cdot 35 + 2 \cdot x$

Taj broj mora biti veći ili jednak $826,$ odnosno

$2 \cdot 35 + 2 \cdot x \geq 826.$

Riješimo tu nejednadžbu.

$70 + 2 x \geq 826 / - 70$

$2 x \geq 756 / : 2$

$x \geq 378$

Duljina je pravokutnika najmanje $378 cm .$

Zadatak 2.

Riješite zadatke. Rezultate zaokružite na dvije decimale.

Neka je širina pravokutnika $35 cm,$ a duljina $378 cm .$ Za koliko moramo povećati širinu pravokutnika da njegova površina bude najmanje $20 000 {cm}^{2}$ ?
Duljina je osnovice trokuta $23 cm,$ a površina je najviše $330 {cm}^{2} .$ Koliko iznosi najveća visina toga trokuta?
Zadana je kružnica polumjera $5 cm .$ Za koliko najviše centimetara treba povećati polumjer kružnice tako da se njezin opseg poveća najviše za $35 % ?$

Širinu pravokutnika moramo povećati za najmanje $17.92 cm .$
Najveća visina trokuta može biti $28.69 cm .$
Polumjer kružnice treba povećati za najviše $1.75 cm .$

Problem brzine

Primjer 3.

Na jezeru Boroviku, nedaleko od Đakova, održan je Triatlon Borovik s disciplinama $400$ metara plivanja, $21$ kilometar vožnje bicikla i $5$ kilometara trčanja. Prosječna je brzina trčanja pet puta veća od prosječne brzine plivanja, a prosječna je brzina vožnje bicikla dva puta veća od prosječne brzine trčanja. Prvih je $40$ natjecatelja završilo utrku za manje od $1.5$ sati. Koliko iznose njihove prosječne brzine plivanja, trčanja i vožnje biciklom?

Pogledajmo kako ćemo riješiti taj zadatak.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Nikši treba $40$ minuta da pokosi travnjak. Koliko najviše vremena treba Sofiji za košnju travnjaka ako ga zajedno pokose za manje od $18$ minuta? Zapišite nejednadžbu povlačenjem odgovarajućih elemenata na mjesta označena crtom.

$40$

$18$

$x$

$\geq$

null

null
Koja je od sljedećih tvrdnji točna?

Sofiji treba više vremena nego Nikši da pokosi travnjak.

Sofiji treba manje vremena nego Nikši da pokosi travnjak.

null

null
Za koliko najviše minuta Sofija sama pokosi travnjak?

$32$

$33$

null

null

Zadatak 4.

Katamaran od Rijeke do Cresa prijeđe put od $41 km$ prosječnom brzinom od $31 km/h .$ Za koliko najmanje treba povećati brzinu da istim putom natrag stigne barem $15$ minuta brže? Zapišite nejednadžbu povlačenjem odgovarajućih elemenata na mjesta označena crtom.

$41$

$31$

$x$

$1$

$4$

$\leq$

null

null
Prosječna brzina katamarana u povratku iznosi najmanje
$38.23$
$km/h$ .

null

null
Brzina se u nautici obično izražava u čvorovima, što je jednako jednoj nautičkoj milji na sat. Jedna nautička milja iznosi $1.852 km$ $.$ Prosječna brzina katamarana u povratku iznosi
$20.64$
čvorova.

null

null

Zatvori

Još neke primjene

Primjer 4.

Školska rukometna ekipa kupuje majice s otisnutim logom škole. Jedan dobavljač nudi majice po cijeni od $37$ kuna. Drugi dobavljač naplaćuje pripremu tiska $1 200$ kuna i $16$ kuna za svaku majicu. Koliko najmanje majica ekipa treba kupiti da bi joj se više isplatila narudžba od drugog dobavljača?

Neka je $x$ traženi broj majica.

Ukupna je cijena kod prvog dobavljača $37 x .$

Ukupna je cijena kod drugog dobavljača $1 200 + 16 x .$

Cijena kod drugog dobavljača treba biti manja nego kod prvoga da bi se ta narudžba isplatila, što znači
$1 200 + 16 x \leq 37 x .$

Riješimo nejednadžbu.

$21 x \geq 1 200$

$x \geq 57.14$

Ekipa treba kupiti barem $58$ majica da bi se više isplatio drugi dobavljač.

Zadatak 5.

Učenici su jedne škole išli na izlet. Prijevoz je organiziran autobusima s najviše $55$ sjedala. Za $243$ učenika potrebna su najmanje $4$ autobusa.

Da

Ne

null

null
Keramičar postavlja pločice u obliku kvadrata duljine stranice $15 cm .$ Za jedan red u kuhinji širine $2$ metra treba pripremiti $14$ pločica.

Da

Ne

null

null
Lucija piše referat za vježbe iz Fizike. U jednoj minuti može napisati najviše $15$ riječi. Trebat će joj najmanje $130$ minuta za referat od $2 000$ riječi.

Da
$134$ minute

Ne

null

null
U kvalifikacijama na svjetskom prvenstvu četiri su natjecateljice bacile koplje $62.29 m,$ $63.06 m,$ $65.37 m$ i $67.59 m$ . Ako Sara baci koplje barem $66.69 m,$ prosjek svih $5$ bacanja bit će najmanje $65 m .$

Da

Ne

null

null

Sustavi nejednadžbi

Primjer 5.

Obitelj Jazbec ljetuje u Malom Lošinju. Odlučila je posjetiti otoke Susak i Ilovik. Na karti je upisana udaljenost od Malog Lošinja do Suska koja iznosi $13.6 km$ i udaljenost od Malog Lošinja do Ilovika koja iznosi $10.8 km .$ Članovi obitelji procijenili su da je Susak udaljen od Ilovika $25 km .$ Imaju li pravo?

Na zemljopisnoj karti možemo uočiti da Mali Lošinj, Susak i Ilovik određuju trokut. U trokutu vrijedi nejednakost trokuta koja kaže da zbroj duljina dviju stranica trokuta mora biti veći od duljine treće stranice.

Označimo udaljenost od Suska do Ilovika s $x$ i zapišimo nejednakosti.

$x+13.6>10.8$

$13.6 + 10.8 > x$

$10.8 + x > 13.6$

Dobili smo sustav nejednadžbi koji ćemo riješiti.

Prva nejednadžba: $x > - 2.8$

Druga nejednadžba: $x < 24.4$

Treća nejednadžba: $x > 2.8$

Za udaljenost $x$ trebaju vrijediti sve tri nejednažbe pa tražimo presjek rješenja.

Prikaz presjeka skupova na brojevnom pravcu

Znači da $x$ pripada intervalu $⟨2.8, 24.4⟩ .$ Provjerimo još uvjet da je udaljenost pozitivna. Na tome intervalu to vrijedi.

Zaključimo da udaljenost od Suska do Ilovika mora biti veća od $2.8 km$ i manja od $24.4 km .$ To znači da je obitelj Jazbec pogriješila u procjeni jer je $25 km$ veće od najveće moguće udaljenosti.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Ako dvokratniku nekoga broja dodamo $3,$ rezultat će biti manji od $41 .$ Ako zbroj toga broja i $5$ pomnožimo s $3,$ dobit ćemo broj veći od $2 .$ Koji je to broj?

Poredajte korake rješavanja zadatka.

Prva nejednadžba.
$2 x < 38$
Postavimo nejednadžbe.
$2 x + 3 < 41$
$(x + 5) \cdot 3 > 2$
Presjek skupova je skup $⟨- \frac{13}{3}, 19⟩,$ što znači da je traženi broj u tome intervalu.
Za traženi broj treba vrijediti i jedna i druga nejednakost pa odredimo presjek tih dvaju skupova.
$x < 19$
Budući da traženi broj treba zadovoljavati oba uvjeta, trebamo riješiti sustav nejednadžbi.
Druga nejednadžba.
$3 x + 15 > 2$
$3 x > - 13$
$x > - \frac{13}{3} .$ Skup je rješenja druge nejednadžbe $⟨- \frac{13}{3}, \infty⟩ .$

null

Zadatak 7.

Masa grgeča $T$ u kilogramima može se procijeniti po njegovoj duljini $d,$ zadanoj u centimetrima, prema formuli $T = 0.08 \cdot d - 2.21$ . Koliko može biti težak grgeč koji je dug između $35$ i $50$ centimetara?
Luka tijekom ljetnih praznika radi na benzinskoj crpki $4$ sata na dan i zaradi $76$ kuna. Cilj mu je zaraditi najmanje $2 000$ kuna. Koliko dana mora raditi ako ne želi raditi više od $120$ sati?

$d = \frac{T + 2.21}{0.08},$ $35 \leq d \leq 50 \Leftrightarrow 0.59 \leq T \leq 1.79 .$ Masa je grgeča u intervalu $[0.59, 1.79] kg .$
Luka mora raditi između $27$ i $30$ dana.

Zatvori

...i na kraju

Ekologija

Isplati li se LED žarulja?

Za štedljivu žarulju od otprilike $10$ vata $(W)$ električne snage pronađite ekvivalentnu LED žarulju koja ima približno jednak svjetlosni tok u lumenima $(lm) .$ Takvoj LED žarulji zabilježite električnu snagu. Proučite cjenike u nekim trgovinama i zapišite cijene navedenih žarulja.

Potrošnja električne energije $E$ u kilovatsatima $(kWh),$ koju žarulja potroši, računa se prema formuli $E = P \cdot t,$ pri čemu je $P$ električna snaga izražena u kilovatima, a $t$ vrijeme u satima. Za cijenu električne energije uzmite $0.55 kn/kWh .$

Koliko sati treba svijetliti LED žarulja da bi se njezina kupnja isplatila?