x
Učitavanje

3.9 Računanje s algebarskim razlomcima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su otpornici.

Iz fizike: Kada otpornike u strujnom krugu spajamo paralelno, ukupni otpor​ R u računamo prema formuli

1 R u = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + . . . ,

pri čemu su R 1 , R 2 , R 3 . . . pojedinačni otpori spojenih otpornika.

Jedinica je za mjerenje otpora 1 Ω (om).

Zapišimo izraz za ukupni otpor u strujnom krugu u kojemu su tri otpornika spojena paralelno, pri čemu je otpor drugog otpornika za 2 oma veći od otpora prvoga, a otpor trećega je za 4 oma veći od dvostrukog otpora prvoga otpornika.

Neka je R 1 = x Ω . Iz uvjeta zadatka slijedi R 2 = x + 2 Ω i R 3 = 2 x + 4 Ω .

Dane vrijednosti uvrstimo u formulu

1 R u = 1 x + 1 x + 2 + 1 2 x + 4 .

Da bismo izrazili​ R u , treba izraz pojednostavniti, odnosno razlomke zbrojiti i ako je moguće skratiti.

1 R u = 1 x + 1 x + 2 + 1 2 x + 4 = 1 x + 1 x + 2 + 1 2 x + 2 = 2 x + 2 + 2 x + x 2 x x + 2 = 5 x + 4 2 x 2 + 4 x ,

odnosno

R u = 2 x 2 + 4 x 5 x + 4 Ω .

Zadatak 1.

Na slici je bazen.

Neki se bazen puni kroz dvije cijevi, a prazni se kroz treću. Prva ga cijev sama može napuniti za n sati, a drugoj treba 1 sat manje. Kad je bazen pun, kroz treću se cijev može isprazniti za 4 n sati. Sve su tri cijevi otvorene istodobno.

Zapišite na papir izraz koji opisuje koliko je sati potrebno da se bazen napuni.

Prva cijev za jedan sat napuni 1 n dio bazena, druga cijev napuni 1 n - 1 dio bazena, dok treća cijev za jedan sat isprazni 1 4 n  dio bazena. Prema tome cijevi u jednom satu napune

1 n + 1 n - 1 - 1 4 n = 4 n - 1 + 4 n - n - 1 4 n n - 1 = 7 n - 3 4 n n - 1 dio bazena, odnosno treba 4 n n - 1 7 n - 3 sati da se napuni cijeli bazen.


Ponovimo kako provoditi računske radnje s algebarskim razlomcima.

U svakom slučaju, važna je faktorizacija.

Primjer 1.

Pratimo u animaciji kako treba računati s algebarskim razlomcima.

Primjer 2.

Izračunajmo ​ 2 x + 2 + 1 x + 3 · x + 2 x .

Zadatak možemo rješavati kao i prethodni, prvo zbrojiti razlomke pa ih pomnožiti s trećim. Ali ako uočimo da nam je nazivnik prvog razlomka u zagradi jednak brojniku razlomka s kojim množimo, možemo pojednostavniti rješavanje.

Primjenjujemo distributivnost pa slijedi:

2 x + 2 + 1 x + 3 · x + 2 x = 2 x + 2 · x + 2 x + 1 x + 3 · x + 2 x = 2 x + x + 2 x x + 3 = 2 x + 3 + x + 2 x x + 3 = 2 x + 6 + x + 2 x x + 3 = 3 x + 8 x x + 3 .

Riješite zadatak na drugi način i uvjerite se koji je način brži i jednostavniji.

Zadatak 2.

Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

x + 3 x 2 + 2 x + 1 - x - 1 x + x 2 + 2 x =
x - 1 x + 2 x + 3
x + 1 x + 2 x + 3 + 1 x + 3 · x - 1 2 x + 3 =
- 2 x 2 + 2 x - 3 5 x + 1
3 x 2 + x - 2 x + 1 x 2 - 1 : 5 x 2 - x =   ​
x 2 x - 5
8 x 4 x - 10 - 1 1 - 2 x + 10 4 x + 10 =
2 x 2 + 7 x + 3 x x + 1 2
null
null

Pri računanju s algebarskim razlomcima treba, kao i pri računanju s brojevnim izrazima, paziti na redoslijed računskih radnji.

Pogledajte sljedeći primjer.

Primjer 3.

Zadatak 3.

 Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

a + 3 a + 1 : 2 a - 3 a - 1 - 3 a - 1 a + 1 + a 2 - 7 a - 8 a 2 - 1 =
1 - a 4   ​
12 a 2 - 1 + a 2 - 9 a + 2 · 3 a + 6 a 2 - 2 a - 3 =
3 a + 3 a - 1   
a 2 - 16 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 a - 4 - 9 a a - 5 =
a 2 + 20 a - 5   ​
2 a + 3 a - 3 + 6 a - 14 3 a - 9 : 3 a - 7 5 a - 15 =
16 a - 21 3 a - 3   ​
null
null

Kutak za znatiželjne

  1. Dokažite: ako je ​ 1 x + 1 y + 1 z = 0 , tada je x + y z + y + z x + z + x y cijeli broj.
  2. Dokažite: ako je 1 x + y + z = 1 x + 1 y + 1 z , tada postoje dva suprotna broja između x , y , z .
  1. x + y z + y + z x + z + x y = x z + y z + y x + z x + z y + x y = x · 1 z + 1 y + y · 1 z + 1 x + z · 1 x + 1 y =

    {zbog pretpostavke} ​ = x · - 1 x + y · - 1 y + z · - 1 z = - 3 .

  2. 1 x + y + z - 1 x = 1 y + 1 z - y - z x x + y + z = y + z y z 2. slučaja

    • 1. slučaj y + z = 0 y = - z
    • 2. slučaj y + z 0 x 2 + x y = - x z - y z x x + y = - z x + y x = - z .

...i na kraju

Izračunajte.

  1. 1 1 + 1 x
  2. 1 1 a + 1 b 2
  3. x 2 1 + 1 x · 1 - 1 x 2 x
  1. x x + 1
  2. 2 a b a + b
  3. x - 1

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Koji je brojnik do kraja sređenog izraza x y : 3 x - y y 2 + 1 y ?

null
null
2

Koji je brojnik do kraja sređenog izraza​ 1 - 3 x x + 1 · x 2 - 1 4 x 2 - 1 ?

null
null
3

Koji je brojnik do kraja sređenog izraza​ x - 1 x · 2 x x + 2 - x x + 2 ?

null
null
4

Poredajte korake računanja s algebarskim razlomcima u pravilan redoslijed.

x 2 - y 2 2 y · x y x 2 - y 2 - y 2 x - 2 y =

  • x 2 - x - y x + y y 4 y x - y =   ​
  • x - y 4   ​
  • 2 x - x - y 4 =   
  • x 2 - y 2 2 y · x y x 2 - y 2 - x 2 - y 2 2 y · y 2 x - 2 y =   ​
  • x 2 - x + y 4 =   ​
null
null
5

Poredajte korake računanja s algebarskim razlomcima u pravilan redoslijed.

1 - a - 3 2 a + 2 : a 2 + 5 a a + 1 =  

  • 1 - a - 3 2 a + 2 · a + 1 a 2 + 5 a =   ​
  • a + 5 2 a + 1 · a + 1 a a + 5 =   
  • 1 2 a   ​
  • 2 a + 2 - a + 3 2 a + 2 · a + 1 a 2 + 5 a =   ​
null
null
6

Poredajte korake računanja s algebarskim razlomcima u pravilan redoslijed.  

x 3 + x 2 + x + 1 x 2 - 1 · x - 1 x - 5 - 3 5 - x =

  •   x 2 + 4 x - 5
  • x 2 + 1 x + 1 x + 1 · 1 x - 5 - 3 5 - x =   ​
  • x 2 x + 1 + x + 1 x - 1 x + 1 · x - 1 x - 5 - 3 5 - x =  
  • x 2 + 1 x - 5 + 3 x - 5 =   ​
null
null
7

Vrijedi li jednakost 4 x : x + 1 - 3 x 2 - 1 · 5 x 2 + x x - 4 = 5 x - 4 ?

null
null
8

Vrijedi li jednakost t 2 - 9 t 2 - 4 t + 3 · 2 t - 2 t 2 + 5 t + 6 + 6 t 2 t 2 + 4 t = 5 t + 2 ?

null
null
9

Vrijedi li jednakost t 2 - 10 t + 25 t 2 - 4 : 2 t 2 - 50 6 t + 12 + t 2 - 5 t + 25 t 3 + 125 = 4 t - 17 t - 2 t + 5 ?

null
null
10

Vrijedi li jednakost x y - y x - x y · 1 x + y - 1 : 1 + x y = x - y x y ?

null
null
11

Automobilist je prvi dio puta od 150 km prošao određenom prosječnom brzinom, a sljedećih 100 km povećao je prosječnu brzinu za 30 km/h . Koliko mu je vremena trebalo za cijeli put od 250 km ?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU