Matematika 1 - 6.1 Pojam funkcije

Ime učenika / prijevoz do škole	autobus	tramvaj	bicikl
Ela		+
Filip		+	+
Ivan	+		+

Relacije

Svakog smo učenika povezali s njegovim prijevozom do škole. Prikažimo tu vezu dijagramom.

Nacrtana su dva skupa i povezani elementi.

Možemo reći da smo svakom učeniku pridružili prijevozno sredstvo. To možemo zapisati i s pomoću uređenih parova $(E l a, t r a m v a j),$ $(F i l i p, t r a m v a j),$ $(F i l i p, b i c i k l),$ $(I v a n, b i c i k l),$ $(I v a n, a u t o b u s) .$

Na taj smo način definirali relaciju između skupa $A = \{Ela, Filip, Ivan\}$ i skupa $B = \{tramvaj, bicikl, autobus\} .$

Neka su $A$ i $B$ dva skupa. Relacija je svaki podskup Kartezijeva umnoška $A \times B .$

Zadatak 1.

Na slici je dijagram koji prikazuje relaciju.

Relacija je zadana sljedećim dijagramom.

Zapišite na papiru skupove $A$ i $B$ kojima je relacija definirana.
Zapišite na papiru relaciju s pomoću uređenih parova.

$A = \{a, b, c, d\}$ i $B = \{1, 2, 3\} .$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 3)\} .$

Uočimo da smo u oba slučaja elementima iz prvog skupa pridružili jedan ili više elemenata drugog skupa.

Pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 1.

Ela i Filip od voća najviše vole jagode, a Ivan banane. Prikažimo to dijagramom.

Zapišimo odgovarajuće uređene parove:

$(E l a, j a g o d e),$ $(F i l i p, j a g o d e),$ $(I v a n, b a n a n e) .$

Po čemu se to pridruživanje razlikuje od prethodnih? Može li neka osoba najviše voljeti dvije vrste voća ili više vrsta voća?

Najviše se voli samo jedna vrsta voća.

Dakle, svakom smo elementu prvoga skupa pridružili samo jedan element drugoga skupa.

Tako smo došli do jedne posebne vrste relacije.

Funkcija

Neka su $D$ i $K$ dva neprazna skupa.

Relaciju $f \subset D \times K$ nazivamo funkcijom i označavamo $f : D \to K$ ako za svaki element $x$ iz skupa $D$ postoji jedan i samo jedan element $y$ iz skupa $K$ takav da je $(x, y) \in f$ i označavamo $f (x) = y .$

Funkcija je zadana skupom $D$ koji nazivamo domena funkcije, skupom $K$ koji nazivamo kodomena funkcije i pravilom pridruživanja $f .$

Zanimljivost

Oznaku $f (x)$ za realne funkcije 1734. godine uveo je poznati švicarski matematičar, fizičar i astronom Leonard Euler.

Za prethodni primjer funkcije pišemo:

domena $D = \{E l a, F i l i p, I v a n\},$ kodomena $K = \{j a g o d e, b a n a n e\},$ a pravilom $f$ učeniku pridružujemo najdraže voće. To još zapisujemo:

$f (E l a) = j a g o d e,$ $f (F i l i p) = j a g o d e,$ $f (I v a n) = b a n a n e .$

Funkciju možemo zamisliti kao stroj koji ima jedan ulaz i jedan izlaz. Stroj uzima neki objekt koji je u domeni i pretvara ga po zadanom pravilu u neki drugi objekt te izbacuje van.

Zadatak 2.

Dijagram prikazuje funkciju glavni grad.

Za funkciju zadanu sljedećim dijagramom odredite domenu, kodomenu i pravilo pridruživanja $f .$ Čemu je jednako $f (Francuska) ?$ Koristeći u dijagramu zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Domena je $\begin{array}{l} D = \{Austrija, Francuska, Hrvatska, Španjolska\} \end{array},$ kodomena $K = \{Beč, Madrid, Pariz, Zagreb\},$ a pravilom $f$ državi pridružujemo glavni grad.

$f (Francuska) = Pariz$

U domeni se nalaze elementi kojima nešto pridružujemo; nazivamo ih argumenti funkcije ili nezavisne varijable, a skup se još zove područje definicije funkcije.

U kodomeni se nalaze elementi koje nečemu pridružujemo; nazivamo ih vrijednosti funkcije ili zavisne varijable, a skup se zove i područje vrijednosti funkcije.

Zadatak 3.

Zapišite na papir domenu, kodomenu i pravilo pridruživanja koje:

duljini stranice kvadrata pridružuje njezin opseg
svakomu prirodnom broju pridružuje njegov sljedbenik
polumjeru kružnice pridružuje njezin promjer
svakomu cijelom broju pridružuje njegov suprotni broj.

$D = [0, \infty⟩,$ $K = [0, \infty⟩,$ $f (x) = 4 x$
$D = N,$ $K = N,$ $f (x) = x + 1$
$D = [0, \infty⟩,$ $K = [0, \infty⟩,$ $f (x) = 2 x$
$D = Z,$ $K = Z,$ $f (x) = - x$

Uočimo u definiciji funkcije istaknute riječi, svaki i jedan i samo jedan. To znači da svaki element iz domene mora biti pridružen nekome elementu iz kodomene, ali samo jednom.

Provjerimo to na sljedećim zadatcima.

Podsjetimo se, pravilom pridruživanja argumentima pridružujemo vrijednosti funkcije.

Koristeći zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Zadatak 7.

Neka je $D = \{n : n = 2 k, k \in N, k \leq 10\}$ i $f : D \to N .$ Izračunajte $f (2), f (6), f (16), f (20)$ ako je:

$f (x) = \frac{x}{2}$
$f (x) = 100$
$f (x) = x - 1$
$f (x) = x .$

$f (2) = 1, f (6) = 3, f (16) = 8, f (20) = 10$
$f (2) = 100, f (6) = 100, f (16) = 100, f (20) = 100$
$f (2) = 1, f (6) = 5, f (16) = 15, f (20) = 19$
$f (2) = 2, f (6) = 6, f (16) = 16, f (20) = 20 .$

Za funkciju $f : Z \to Z$ odredite vrijednost argumenta funkcije ako je $f (x) = - 27$ i:

$f (x) = x^{3}$
$f (x) = 2 x - 1$
$f (x) = 1 - 7 x^{2}$
$f (x) = - |x| .$

$x = - 3$
$x = - 13$
$x = - 2, x = 2$
$x = - 27, x = 27 .$

Slika funkcije

Prema definiciji funkcije slijedi da u domeni funkcije ne možemo imati slobodnih članova, odnosno takvih kojima nije pridružen ni jedan element kodomene.

Na slici je dijagram koji prikazuje funkciju.

Ovim je dijagramom prikazana funkcija.

Na slici je dijagram koji ne prikazuje funkciju.

Ovim dijagramom nije definirana funkcija.

Može li u kodomeni ostati slobodnih elemenata? Odgovor je da. Zbog toga razlikujemo kodomenu i njezin podskup u kojemu se pridruženi elementi nalaze.

Za funkciju $f : D \to K$ skup svih vrijednosti $y = f (x),$ $x \in D$ nazivamo slika funkcije $f$ i označavamo ga s $f (D) .$

$f (D) = \{y : y = f (x), x \in D\}$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 8.

Neka je $D = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ i $K = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\} .$ Za funkcije sa skupa $D$ na skup $K,$ čije su vrijednosti prikazane tablicama odredite sliku funkcije računajući u bilježnici (na papir).

a)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$- 1$	$0$	$1$

b)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

c)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

d)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 2$

$f (D) = \{- 2, - 1, 0, 1\}$
$f (D) = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$
$f (D) = \{1\}$
$f (D) = \{- 2, - 1, 0\}$

Zadatak 9.

Neka je $\begin{array}{l} D = \{ponedjeljak, utorak, srijeda, četvrtak, petak, subota, nedjelja\} \end{array}$ i $f : D \to R .$ Uparite sliku funkcije i pravilo pridruživanja koje svakom danu u tjednu pridružuje:

broj suglasnika	$f (D) = \{24\}$
broj sati	$f (D) = \{2, 3, 4\}$
broj samoglasnika	$f (D) = \{0, 1, 2\}$
broj slova $e$	$f (D) = \{3, 4, 6\}$

null

Zatvori

Svojstva funkcije

Primjer 3.

Pridružimo Miji, Nini, Dori, Petru, Tomi i Lovri njihovo omiljeno povrće.

Jesu li sljedećim dijagramima prikazana pravila pridruživanja koje su funkcije?

Jesu. Svakom elementu iz domene pridružen je jedan i samo jedan element iz kodomene.

Po čemu se ta dva pridruživanja razlikuju?

Na lijevome dijagramu jedan element iz domene ima pridružen svoj element iz kodomene. Možemo reći da je pridruživanje $1 - 1 .$

Na desnome dijagramu dva različita elementa imaju istu pridruženu vrijednost, odnosno vrijedi da je $f (a) = f (b)$ za $a, b \in D (f) .$

Za funkciju $f : D \to K$ kažemo da je injekcija ako različite elemente domene preslikava u različite elemente kodomene.

$\begin{array}{l} x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2}), x_{1}, x_{2} \in D (f) \end{array}$

Zadatak 13.

Neka je $A = \{a, b, c, d\}$ i $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ; kojim je od navedenih pravila pridruživanja prikazanih tablicom zadana injektivna funkcija $f : A \to B ?$

$x$	$a$	$b$	$c$	$d$
$f (x)$	$1$	$2$	$2$	$4$

Obrazložite.

Da

Ne

null

$x$	$a$	$b$	$c$	$d$
$f (x)$	$4$	$1$	$3$	$2$

Obrazložite.

Da

Ne

null

$x$	$a$	$b$	$c$	$d$
$f (x)$	$3$	$3$	$3$	$3$

Obrazložite.

Da

Ne

null

$x$	$a$	$b$	$c$	$d$
$f (x)$	$2$	$4$	$1$	$3$

Obrazložite.

Da

Ne

null

Kutak za znatiželjne

Podsjetimo se, funkcija $f : D \to K$ injektivna je ako vrijedi $x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ za $x_{1}, x_{2} \in D .$ To je ekvivalentno s $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2},$ odnosno ako su vrijednosti funkcije jednake, tada i odgovarajući argumenti moraju biti jednaki.

Dokažite da je funkcija $f : N \to N_{0}$ koja svakomu prirodnom broju pridružuje njegov prethodnik injektivna.
Je li funkcija $f : Z \to Z$ koja svakomu cijelom broju pridružuje njegov kvadrat injektivna? Dokažite.

Osim injektivnosti, drugo je važno svojstvo funkcija surjektivnost.

Funkcija $f : D \to K$ je surjekcija ako za svaki $y$ iz kodomene postoji $x$ iz domene takav da je $y = f (x) .$ To bi značilo da je $K = f (D) .$ Surjektivne funkcije nazivamo još pridruživanje na.

Navedite neke funkcije koje su surjekcije.

Funkciju koja je injekcija i surjekcija nazivamo bijekcija.

Proučite nekoliko jednostavnih zadataka na poveznici.

$\begin{array}{l} f (n_{1}) = f (n_{2}) \Rightarrow n_{1} - 1 = n_{2} - 1 \Rightarrow n_{1} = n_{2} . \end{array}$
Ne, jer se suprotnim brojevima iz domene pridružuje isti broj iz kodomene.

$\begin{array}{l} f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow {x_{1}}^{2} = {x_{2}}^{2} \Rightarrow x_{1} = x_{2} ili x_{1} = - x_{2} \end{array}$

6.1 Pojam funkcije

Na početku...

Relacije

Zadatak 1.

Funkcija

Zanimljivost

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Slika funkcije

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Graf funkcije

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Svojstva funkcije

Zadatak 13.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

6.2 Linearna funkcija

učenik	Ana	Borna	Pia	Tin	Vid
ocjena	$5$	$4$	$4$	$3$	$5$