Matematika 1 - 8.6 Talesov poučak

Dvojica su ribara pri povratku iz večernjeg ribolova ostala bez goriva. Kako njihov čamac nije imao mjerne instrumente, trebalo je nekako odrediti koliko su udaljeni od obale. S obzirom na to da su bili u dometu svjetla sa svjetionika, uz malo računanja to im nije bilo osobito teško. Znali su da je vrh svjetionika na nadmorskoj visini od oko

75

metara, a u trenutku kada se ribar visine

1.8 m

uspravio, procijenili su da je njegova sjena duljine

30

metara. Kako su odredili udaljenost čamca od obale i koliko ona iznosi?

Treba odrediti u kojoj su vezi poznate duljine

|V A|, |A B|, |C D|

i nepoznata duljina

|A C| ?

Prvo ćemo općenito istražiti vezu između dužina koje odsijecaju paralelni pravci na krakovima nekog kuta, a onda ćemo izračunati duljinu dužine

|A C| .

Odaberite sljedeće elemente tako da dobijete istinitu jednakost.

$\frac{|V A|}{|V B|} =$

$\frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|}$

$\frac{|A_{1} B_{1}|}{|V A_{1}|}$

null

null
$\frac{|A B|}{|V A|} =$

$\frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|}$

$\frac{|A_{1} B_{1}|}{|V A_{1}|}$

null

null
$\frac{|A A_{1}|}{|B B_{1}|} = \frac{|V A|}{|V B|} =$

$\frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|}$

$\frac{|A_{1} B_{1}|}{|V A_{1}|}$

null

null

Zanimljivost

Tales (625. - 548. pr. Kr.) bio je grčki znanstvenik, matematičar i državnik iz Mileta u maloj Aziji. Smatrali su ga jednim od sedam grčkih mudraca.

Tales je prvi predvidio pomrčinu Sunca 585. g. pr. Kr.

Izmjerio je visinu Keopsove piramide koristeći sunčeve zrake i proporcionalnost dužina. Izabrao je sunčani dan i trenutak kada je sjena štapa koji je zabio u pijesak pokraj piramide jednaka visini samog štapa. To je onda primijenio i na piramidu i izmjerivši njezinu sjenu zapravo izmjerio i njezinu visinu.

U matematici je dao nekoliko važnih poučaka kao što je ovaj, ali je još važnije što je Tales bio prvi koji je naglasio da nije dovoljno samo opažati pojave nego ih treba i dokazati.

Kutak za znatiželjne

Koristeći se Talesovim poučkom, dokažite sljedeće razmjere kao posljedicu Talesova poučka:

Odsječci paralelnih pravaca između krakova kuta proporcionalni su odsječcima na jednom kraku.

Pišemo

\frac{|A A_{1}|}{|B B_{1}|} = \frac{|V A|}{|V B|} = \frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|}

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Primijenite Talesov poučak na uvodni primjer.

Kako su pravci $A B i C D$ paralelni, prema Talesovu poučku vrijedi da je $\frac{1.8}{75} = \frac{30}{|A C| + 30} .$
Tada je $|A C| = 1 220$ metara.

Zadatak 2.

Na slici je trokut u kojem je povučena paralela s jednom stranicom. Koji su od sljedećih razmjera točni?

Na slici je trokut s proporcionalnim dužinama.

\frac{2}{6} = \frac{3}{x}

\frac{2}{3} = \frac{6}{x}

\frac{6}{2} = \frac{y}{10}

\frac{y}{10} = \frac{6}{8}

null

Nepoznati članovi razmjera jesu

x =

y =

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Ako su pravci $p i q$ paralelni, odredite nepoznate duljine označene na sljedećim slikama.

a =

b =

null

Na slici je kut presječen usporednim pravcima.

a =

null

\bar{D E} ∥ \bar{B C}

a =

b =

Pomoć:

$\frac{b - 10}{2 b - 10} = \frac{6}{27}, \frac{a - 5}{2 a - 5} = \frac{6}{27} .$

null

Zadatak 4.

U New Yorku je veći dio grada ispresijecan paralelenim ulicama.

Mia je krenula Petom avenijom prema Muzeju matematike ( $B$ ) i Empire State Buildingu ( $E S B$ ). Brojila je korake. Od početne točke ( $A$ ) do Muzeja ima $280$ koraka. Od Muzeja do 29. ulice oko $460$ koraka, a odatle do 33. ulice ( $D$ ) u kojoj je $E S B$ $620$ koraka. Zanimalo ju je koliko bi koraka napravila na istim dionicama puta da je išla Šestom avenijom. Kako je njezin hotel u 29. ulici, zna da je duljina te ulice, između Pete i Šeste avenije, oko $320$ koraka.

Pretpostavit ćemo da su Mijini koraci približno iste duljine i da su paralelne ulice okomite na Petu aveniju (pravac $A B$ ).

Primijenimo prvo Pitagorin poučak na trokut $A C F .$

$x + y = \sqrt{320^{2} + {(280 + 460)}^{2}} \approx 806 .$

Primijenimo sada Talesov poučak o proporcionalnim dužinama:

$\frac{x}{806} = \frac{280}{740} \Rightarrow x \approx 305$

$\frac{y}{x} = \frac{460}{280} \Rightarrow y \approx 501$

$\frac{z}{806} = \frac{620}{740} \Rightarrow z \approx 675 .$

Zatvori

Neka pravci

p i q

odsijecaju na krakovima

∡ a V b

proporcionalne dužine, odnosno vrijedi

\frac{|V A|}{|V B|} = \frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|} .

Točke

A, B

redom su presjeci tih pravaca s krakom

b,

a točke

A_{1}, B_{1}

redom njihovi presjeci s krakom

a .

Pretpostavimo da pravci

p i q

nisu paralelni. Neka je pravac

q ´ \neq q

takav da je

q ´

paralelan s pravcem

p

i prolazi točkom

B_{1} .

Neka je

C

točka u kojoj pravac

q ´

siječe krak

b .

Kako su pravci

q ´

p

paralelni i sijeku krakove kuta

∡ a V b,

prema Talesovu poučku oni odsijecaju proporcionalne dužine na krakovima tog kuta. Stoga vrijedi

\frac{|V A|}{|V C|} = \frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|} .

Usporedimo li ovaj razmjer s početnim uvjetom

\frac{|V A|}{|V B|} = \frac{|V A_{1}|}{|V B_{1}|},

zaključujemo da je

\frac{|V A|}{|V B|} = \frac{|V A|}{|V C|} \Rightarrow |V B| = |V C| .

Ovo je moguće jedino ako se točke

B i C

podudaraju, no tada se i pravci

q i q ´

podudaraju, što je suprotno našoj pretpostavci. Zaključujemo da su pravci

p i q

paralelni.

Zadatak 5.

Da

Ne

null

null
Da

Ne

null

null
Da

Ne

null

null

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Duljina dužine $\bar{A D}$ tri puta je manja od duljine dužine $\bar{B D}$ $,$ a razlika duljina paralelnih dužina $\bar{D E}$ i $\bar{B C}$ jest $4.8 cm .$ Kolika je duljina dužine $\bar{D E} ?$