Matematika 2 - 2.4 Diskriminanta kvadratne jednadžbe

Ponovimo!

Zadatak 1.

Odaberite točan odgovor:

Opći oblik kvadratne jednadžbe je:

$x^{2} + b x + c = 0$
Ovo je normirana kvadratna jednadžba.

$a x^{2} + c = 0$
Ovo je nepotpuna kvadratna jednadžba.

$a x^{2} + b x + c = 0$

$a x^{2} + b x = 0 .$
Ovo je nepotpuna kvadratna jednadžba.

null

null
Formula za rješavanje kvadratne jednadžbe glasi:

$x_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Nedostaje predznak " $-$ " ispred $b .$

$x_{1,2} = \frac{b \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Nedostaje $\pm$ ispred korijena.

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{4 a} .$
U nazivniku je $2$ umjesto $4 .$

null

Zadatak 2.

Riješite sljedeće jednadžbe uz pomoć formule za rješenja kvadratne jednadžbe. Obratite pažnju na broj koji ste izračunali pod korijenom tražeći rješenja pripadajuće jednadžbe.

Za jednadžbu $x^{2} - 11 x + 24 = 0$ rješenja su: $x_{1} =$ i $x_{2} =$ .
U formuli za rješenja $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ pod korijenom je
Napišite vrijednost ispod korijena.
.
Za jednadžbu $x^{2} - 14 x + 49 = 0,$ rješenja su: $x_{1} = x_{2} =$ . Ispod korijena ste dobili broj: .
Za jednadžbu $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 5 = 0,$ rješenja su: $x_{1} =$
Kompleksni broj oblika $x + y i$ (upišite ga bez razmaka)
i $x_{2} =$
Konjugirano kompleksni broj prvog rješenja, broj oblika $x + y i$ (upišite ga bez razmaka).
. Ovdje je izraz pod korijenom jednak .

Usporedite dobivena rješenja s pripadajućim brojem pod korijenom. Do kojeg zaključka dolazite?

Priroda rješenja kvadratne jednadžbe ovisi samo o izrazu pod korijenom koji nazivamo diskriminanta. Razmislite zašto je to tako.

Diskriminanta

Diskriminanta kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$ je broj

${D=b}^{2} - 4 ac .$

Primjer 1.

Odredimo diskriminantu i prirodu rješenja jednadžbe $\frac{3}{4} x^{2} - x = 4 .$

Nakon sređivanja (prebacimo broj $4$ na lijevu stranu te pomnožimo cijelu jednadžbu s $4$ ), kvadratna jednadžba ima oblik $3 x^{2} - 4 x - 16 = 0,$ tj. za $a = 3, b = - 4, c = - 16$ imamo:

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16) = 16 + 192 = 208 > 0 \end{array}$

pa zaključujemo da su rješenja realna i različita.

Zadatak 3.

Odredite rješenja kvadratne jednadžbe iz prethodnog primjera.

$x_{1,2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{3}$

Primjer 2.

Odredimo diskriminantu i prirodu rješenja jednadžbe $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0 .$

Za $a = 4,$ $b = 4,$ $c = 1$ imamo:

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \end{array}$

pa zaključujemo da imamo jedno realno rješenje.

Zadatak 4.

Odredite rješenja kvadratne jednadžbe iz prethodnog primjera.

$x_{1} = x_{2} = - \frac{1}{2}$

Primjer 3.

Odredimo diskriminantu i prirodu rješenja jednadžbe $4 x^{2} - 5 x + 2 = 0 .$

Za $a = 4,$ $b = - 5,$ $c = 2$ imamo:

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 a c = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 25 - 32 = - 7 < 0 \end{array}$

pa zaključujemo da su rješenja kompleksni brojevi. Kakvi?

Zadatak 5.

Odredite rješenja kvadratne jednadžbe iz prethodnog primjera.

Rješenja su konjugirano kompleksni brojevi:

$x_{1,2} = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{8} = \frac{5}{8} \pm i \frac{\sqrt{7}}{8.}$

Zanimljivost

"Matematika je glazba razuma." (J. J. Sylvester)

Pojam diskriminante (lat. discriminare - razlučiti, dijeliti) u matematiku je uveo James Joseph Sylvester (1814. - 1897.), engleski matematičar. Polovicom devetnaestog stoljeća otkrio je diskriminantu kubne jednadžbe, a radio je i na teoriji matrica.

Rješenja kvadratne jednadžbe u ovisnosti o predznaku diskriminante.

Tek nakon što svladate računanje diskriminante i određivanje tipa rješenja kvadratne jednadžbe, nastavite dalje s rješavanjem složenijih zadataka.

Primjena diskriminante

Primjer 4.

Zadana je jednadžba $2 x^{2} - (4 a + 1) x + 3 (2 a - 1) = 0 .$ Za koje vrijednosti parametra $a$ jednadžba ima realna rješenja?

Odmah vidimo da je vodeći koeficijent $a = 2$ različit od nule, pa je kvadratna jednadžba dobro definirana za sve realne brojeve. Nadalje, da bi rješenja bila realna, diskriminanta mora biti nenegativan broj, odnosno $D \geq 0.$

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 a c = {(- (4 a + 1))}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 (2 a - 1) = 16 a^{2} + 8 a + 1 - 48 a + 24 = 16 a^{2} - 40 a + 25 \end{array}$

Uočimo da se radi o potpunom kvadratu pa zaključimo da je diskriminanta uvijek nenegativan broj (kvadrat ne može biti negativan).

Ispitajmo slučaj kad je rješenje dvostruko realno: $\begin{array}{l} (4 a - 5)^{2} = 0 \Rightarrow 4 a - 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{4} \end{array} .$

Rješenja kvadratne jednadžbe u ovisnosti o $a :$ rješenja su uvijek realni brojevi, dok je za $a = \frac{5}{4}$ rješenje realno i dvostruko.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Odredite rješenja kvadratne jednadžbe iz prethodnog primjera u ovisnosti o parametru $a$ . Koje je rješenje veće? O čemu to ovisi?

Usporedba rješenja u ovisnosti o parametru a

Pokušajte doći do zaključka koristeći se grafičkim prikazom rješenja.

$\begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{4 a + 1 \pm (4 a - 5)}{4} \Rightarrow \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} x_{1} = 2 a - 1, x_{1} > x_{2} za a > \frac{5}{4} \\ x_{2} = \frac{3}{2} \end{array} \end{array} \end{array}$

$x_{1} = x_{2} = \frac{3}{2}, za a = \frac{5}{4}$

Zadatak 7.

Riješite sljedeće zadatke u ovisnosti o realnom parametru $c :$

Da bi jednadžba $\begin{array}{l} (c - 3) x^{2} - (c + 2) x + 2 c + 1 = 0 \end{array}$ bila kvadratna, $c$ mora biti različit od
Uvjet $a \neq 0!$
, u suprotnom jednadžba je linearna.

null
Kakva su rješenja kvadratne jednadžbe ako se ona može prikazati kao potpun kvadrat?

Realna i različita rješenja
Razmislite malo koliko rješenja daje binom na kvadrat izjednačen s nulom!

Konjugirano kompleksna rješenja
Za to nam dikriminanta treba biti negativna!

Realno i dvostruko rješenje

null
Za koji će cijeli broj izraz u jednadžbi $\begin{array}{l} (c - 3) x^{2} - (c + 2) x + 2 c + 1 = 0 \end{array}$ biti potpun kvadrat? $c =$
Rješenje ćete dobiti iz uvjeta da je diskriminanta jednaka $0 .$
.
Drugo rješenje za broj $c$ zaokruženo na dvije decimale je
Podijelite razlomak koji ste dobili iz uvjeta $D = 0$ kao rješenje kvadratne jednadžbe $7 c^{2} - 24 c - 16 = 0$
.

null
Napišite za prethodnu kvadratnu jednadžbu potpun kvadrat za dobiveni cijeli broj $c .$
$($ $)^{2} = 0 .$ Rješenje tako dobivene kvadratne jednadžbe je $x =$ .

null

Zadatak 8.

Riješite sljedeće zadatke ispitujući diskriminantu kvadratne jednadžbe.

Za koji $p$ se kvadratna jednadžba $\begin{array}{l} (2 - p) x^{2} + (p + 1) x - (p + 1) = 0 \end{array}$ može zapisati kao potpun kvadrat? Koje je rješenje tako dobivene kvadratne jednadžbe?
Za koje vrijednosti realnog parametra $m$ kvadratna jednadžba $x^{2} - (1 - 2 m) x + m^{2} = 0$ ima realna i različita rješenja?
Ispitajte tip rješenja kvadratne jednadžbe $x^{2} - 2 x - 4 a - 1 = 0$ s obzirom na realni parametar $a .$
Dokažite da za svaki realni broj $m$ jednadžba $x^{2} - (m - 2) x - m - 1 = 0$ ima realna rješenja.

Iz uvjeta: $D = 0$ dobije se kvadratna jednadžba $p^{2} - 2 p - 3 = 0$ čija su rješenja $p_{1} = - 1 \Rightarrow x = 0$ i $i p_{2} = 3 \Rightarrow x = 2 .$
$D > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{4} .$
$\begin{array}{l} D = 8 + 16 a \Rightarrow \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} a > - \frac{1}{2} \Rightarrow rješenja su realna i različita. \\ a = - \frac{1}{2} \Rightarrow rješenje je realno i dvostruko. \\ a < - \frac{1}{2} \Rightarrow rješenja su konjugirano kompleksni brojevi. \end{array} \end{array} \end{array}$
$D = m^{2} + 8 > 0,$ za sve realne brojeve $m,$ dakle rješenja ne samo da su realna nego moraju biti i različita, jer diskriminanta ne može biti jednaka nuli.

Zatvori

Zanimljivost

Cardanova formula

Diskriminanta postoji i u algebarskoj jednadžbi trećeg stupnja. Nakon normiranja, jednadžbu trećeg stupnja možemo zapisati u obliku:

$y^{3} + a y^{2} + b y + c = 0$ gdje su $a,$ $b$ i $c$ realni brojevi. Supstitucijom $y = x - \frac{a}{3}$ jednadžba poprima oblik $x^{3} + p x + q = 0$ gdje je $p = b - \frac{1}{3} a^{2}$ i $q = \frac{2}{27} a^{3} - \frac{1}{3} a b + c .$

Kubnu jednadžbu bez kvadratnog člana zovemo kanonski oblik jednadžbe trećeg stupnja, čije rješenje je dano formulom

$x = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} .$

Ta je formula poznata kao Cardanova formula (Giroliamo Cardano je talijanski matematičar iz 16. stoljeća). Uočimo da se pribrojnici razlikuju za predznak ispred drugog korijena (kao i rješenja kvadratne jednadžbe). Možete li naslutiti što je pripadajuća diskriminanta?

U Cardanovoj formuli izraz koji se ponavlja $D = {(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}$ zovemo diskriminanta jednadžbe $x^{3} + p x + q = 0$ o kojoj ovise rješenja kubne jednadžbe:

Ako je $D > 0,$ zadana jednadžba ima jedno realno i par konjugirano kompleksnih rješenja.
Ako je $D = 0,$ sva su rješenja realna i barem jedno je višestruko.
Ako je $D < 0,$ sva su rješenja realna i različita.

Kutak za znatiželjne

Ako su vam ovi zadaci do sada bili zanimljivi ali ne i preteški, pokušajte riješiti još nekoliko sljedećih izazova.

Ako je u kvadratnoj jednadžbi $x^{2} - x + m = 0$ razlika rješenja imaginarni broj, koliki mora biti $m ?$
Za koji $m$ jednadžba $x 2 + m x + 4 = 0$ nema realnih rješenja? Za koji je $m$ iz dobivenog intervala zbroj kompleksnih rješenja jednak $1 ?$
Odredite parametar $m$ u jednadžbi $m x^{2} + x + 4 m = 0$ tako da rješenja budu realna.
Zadani kvadrat stranice $a$ pretvorite u pravokutnik (označite stranice s $x$ i $y$ ) iste površine kojemu je opseg dva puta veći od opsega zadanog kvadrata. Je li moguće da zadatak nema rješenja? Zašto?
Odredite tip rješenja jednadžbi u ovisnosti o parametru $m :$
1. $\begin{array}{l} \frac{m - 2}{1 - m^{2} x^{2}} = \frac{m}{1 + m x} - \frac{1}{1 - m x} \end{array}$ ;
2. $\begin{array}{l} {(m - 1)}^{2} x^{2} + 2 x (m - 1) (2 m - 3) - 5 (4 m - 1) = 0 \end{array} .$

Rješenja su konjugirano kompleksna, jer je njihova razlika imaginaran broj $(z - \bar{z} = 2 Im z)$

Dakle, vrijedi: $D < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{4}$
$\begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow m^{2} - 16 < 0 \Rightarrow |m| < 4 \Rightarrow m \in ⟨- 4, 4⟩ \end{array} .$

Za zbroj konjugirano kompleksnih brojeva vrijedi: $z + \bar{z} = 2 Re z .$ Dakle, $Re z = \frac{- b}{2 a} = \frac{- m}{2},$ pa je $m = - 1 .$
$\begin{array}{l} D \geq 0 \Rightarrow m^{2} \leq \frac{1}{16} \Rightarrow - \frac{1}{4} \leq m \leq \frac{1}{4} \end{array}$ međutim, vodeći koeficijent mora biti različit od nule $m \neq 0,$ pa je rješenje: $m \in [- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \ \{0\} .$
Iz uvjeta za opseg možemo jednu nepoznanicu prikazati uz pomoć druge: $2 x + 2 y = 8 a \Rightarrow y = 4 a - x .$ Površine su jednake: $x y = a^{2},$ pa uvrštavanjem $y - a$ dobijemo kvadratnu jednadžbu u ovisnosti o a: $x^{2} - 4 a x - a^{2} = 0 .$ Kako je diskriminanta: $D = 12 a^{2} > 0, za a > 0,$ zaključujemo da je rješenje uvijek moguće: $\begin{array}{l} x_{1,2} = 2 a \pm a \sqrt{3}; y_{1,2} = 2 a \mp a \sqrt{3} \end{array} .$
Rješenja jednadžbi u ovisnosti o parametru $m$
1. Dobije se linearna jednadžba s jednim rješenjem: $x = \frac{1}{m (m + 1)},$ ali uz uvjet da nazivnik ne smije biti nula, pa je: $m \neq 0, m \neq - 1.$
2. Nakon sređivanja diskriminanta je jednaka: $D = 16 (m - 1)^{2} (m + 1)^{2} .$ Kako je svaki faktor pozitivan (kvadrat je uvijek pozitivan broj), zaključujemo da su rješenja uvijek realna. Moguća su dvostruka realna rješenja za $m = \pm 1,$ ali kako je vodeći koeficijent uvijek različit od nule, zaključujemo da za rješenja vrijedi:
  
  Rješenja su realna i različita za $m \neq \pm 1$ ; dvostruko realno rješenje dobije se za $m = - 1 .$

2.4 Diskriminanta kvadratne jednadžbe

Na početku...

Ponovimo!

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Diskriminanta

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zanimljivost

Primjena diskriminante

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

2.5 Vieteove formule