x
Učitavanje

7.1 Eksponencijalne jednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Jedan dio videa s Ronijem Izvor: www.pixabay.com

Antoniju je omiljeni hobi snimanje i fotografiranje te postavljanje svojih materijala na internet. Tako je postavio još jedan video svog psa Ronija na Youtube. Veza ukupnog broja pogleda videa, P i broja dana, d , od postavljanja na internet modelirana je funkcijom P d = 4 1.25 d . Možete li zaključiti kad je Antonio vidio da je broj pogleda njegovog videa porastao na 1 024 ? Koliko je pogleda bilo nakon dva dana?

Riješimo zadatak

Pokušajmo najprije odgovoriti na drugo pitanje. Uvrstimo d = 2 u modeliranu funkciju broja pogleda i dobijemo P 2 = 4 1.25 · 2 = 4 2.5 = 4 5 2 = 4 5 = 4 5 = 2 5 = 32 .

Za ovaj dio zadatka bilo je dovoljno poznavanje računa s potencijama.

Dakle, nakon 2 dana Antonijev video je pogledan 32 puta.

Sada uvrstimo za P = 1 024 . Dobijemo jednadžbu s jednom nepoznanicom 1 024 = 4 1.25 d . Nepoznanica nam je u eksponentu. Kako riješiti takvu jednadžbu?

Je li to jedini oblik eksponencijalne jednadžbe?

Jednadžbu u kojoj je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Zadatak 1.

Ponovimo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

  1. Povežite točne tvrdnje za pripadajuće oznake jednakosti y = a x .  

    x
    R  
     
    y   ​
    R + \ 1  
    a  
    R +   ​
    null
  2. Što je ekvivalent jednakosti y = a x ?

     

    null
  3. Ako je f x = a x  eksponencijalna funkcija, njezina inverzna funkcija je

    null
  4. Funkciju inverznu eksponencijalnoj nazivamo   funkcija.
    null
    null
  5. Za funkcije f x = a x i g x = log a x povežite istinite tvrdnje.

    log a 1 =   ​
    0   ​
    log a a =  
    x , x R +   ​
    log a a x =  
    1   ​
    a log a x =  
    x , x R  

     

     

  6. Svojstvo eksponencijalnih i logaritamskih funkcija a x = a y x = y , log a x = log a y x = y nazivamo  funkcije.

Riješimo zadatak do kraja.

Eksponencijalni oblik 1 024 = 4 1.25 d zapišimo u logaritamskom obliku 1.25 d = log 4 1 024 / : 1.25 d = log 4 4 5 1.25 = 5 1.25 = 4 .

Video je pogledan 1 024 puta u 4 dana.

Jednadžbu smo riješili primjenom inverznosti.

Primjena inverznosti kod eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 1.

Riješimo jednadžbe:

  1. 10 x - 2 = 5
  2. 5 · 2 3 t = 320
  3. 4 · 3 y = 20
  1. U ovom zadatku je baza a = 10 . Prikažimo jednadžbu pripadajućim inverzom, dekadskim logaritmom i s pomoću džepnog računala izračunajmo x .

    x - 2 = log 5 x = log 5 + 2 2.7

  2. Da bismo ovaj zadatak sveli na poznati eksponencijalni oblik a x = y log a y = x (čijim logaritmiranjem dobijemo nepoznanicu iz eksponenta), moramo jednadžbu podijeliti s 5 .

    2 3 t = 320 5 = 64 3 t = log 2 64 = log 2 2 6 = 6 · log 2 2 = 6 / : 3 t = 2

    Koja pravila logaritma smo ovdje primijenili?

  3. Kao i u 2. primjeru, podijelimo s 4 te primjenom inverznosti dobivamo rješenje.

    3 y = 5 y = log 3 5 = log 5 log 3 1.465

    Koje pravilo logaritma smo ovdje primijenili?

Za rješavanje primjera potrebno je bilo znati izračunati logaritme s pomoću džepnog računala.

Ponovite pravila kojima smo se koristili da bismo riješili primjer.

log a x r = r log a x

log a a = 1

log a b = log b log a

Eksponencijalne jednadžbe oblika a · b f x = c , gdje je b > 0 , b 1 , te su a i c istog predznaka, rješavamo uporabom svojstva inverznosti, tj. pretvaranjem u logaritamski oblik.

a · b f x = c / : a b f x = c a f x = log b c a

Zadatak 2.

Riješite jednadžbe.

  1. Koje je rješenje eksponencijalne jednadžbe 2 · 6 x = 236 ?

    null
    null
  2. Odaberite pripadajuće rješenje zadatka.

    6 · e y = 300  
    4 · 5 2 x = 300  
    6 · 10 2 t = 48   ​
    - 2 · 3 0.2 z = - 400   ​
    null
    null
  3. Riješite jednadžbu ​ 2 x - 3 2 x - 4 = 0 .
    Umnožak dvaju brojeva jednak je nuli ako je barem jedan faktor jednak nuli. Stoga se rješavanje ovog zadatka svodi na rješavanje dviju jednadžbi.
    2 x =   2 x =    
    null
    null
  4. Odaberite moguća rješenja jednadžbe.

    null
    null

Zanimljivost

Slika Rhindovog papirusa
Slika Rhindovog papirusa

Najraniji zapisi matematičkih problema potječu iz drevnog Egipta i pisani su na papirusu, između 1850. i 1600. g. pr. Kr. Dva najpoznatija matematička papirusa su Ahmesov ili Rhindov i Moskovski papirus. Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je svitak duljine 6 m , širine 30 cm . Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650. g. pr. Kr. i vjerojatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva u British Museumu u Londonu. Sadrži 87 matematičkih problema.

Kutak za znatiželjne

Jedan od posljednjih problema Rhindovog papirusa glasi: "U jednom selu bilo je 7 kuća; svaka od njih je imala 7 mačaka; svaka mačka uhvati po 7 miševa; svaki miš (da nije bilo mačaka) pojeo bi 7 zrna pšenice, a svako posijano zrno pšenice daje 7 mjerica žita. Koliko je mjerica žita spašeno zbog prisutnosti mačaka?"

Egipćani nisu poznavali notaciju eksponenta kao mi danas, ali su im bili bliski problemi eksponencijalnog rasta. Zapisi na papirusu koristili su se, između ostalog, za rješavanje preraspodjele hrane po gradovima.

Rješenje ćemo dobiti u obliku potencije broja 7 , y = 7 x .

  • Kuća ima 7 1
  • Mačaka je 7 2
  • Miševa ima 7 3
  • Zrna pšenice je 7 4

Odgovor: Zbog prisutnosti mačaka spašeno je 7 5 = 16 807 mjerica žita.


Projekt

Istražite, pogotovo ljubitelji povijesti, uz pomoć predmetnih nastavnika iz matematike, povijesti i umjetnosti, što je to papirus. Kakvo povijesno značenje ima? Postoje li još neki matematički papirusi osim Rhindovog i Moskovskog papirusa? Što sadrže ti papirusi, gdje i kako su nastali te tko ih je otkrio? Koliko se matematika razvila u jednoj od najnaprednijih i najstarijih civilizacija, staroegipatskoj? Kako su računali stari Egipćani?

Svoja saznanja prezentirajte učenicima i nastavnicima u školi.

Zadatak 3.

Riješite eksponencijalnu jednadžbu ​ 3 2 x - 1 = 27 .

2 x - 1 = log 3 27

x = 2


Jesmo li ovaj zadatak mogli riješiti na drugi način?

Uočimo da se desna strana jednakosti može napisati kao potencija broja 3 .

3 2 x - 1 = 3 3

Na obje strane jednakosti imamo potenciju iste baze.

Prisjetimo se svojstva injektivnosti: a x = a y x = y .

Dakle, izjednačimo eksponente i dobijemo traženo rješenje.

2 x - 1 = 3 x = 2

Primjena injektivnosti kod eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 2.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu ​ 4 2 x 2 + 2 x = 8 .

Kad bismo primijenili svojstvo inverznosti, dobili bismo kvadratnu jednadžbu s logaritmom 2 x 2 + 2 x = log 4 8 . ​Pokušajte je riješiti sami primjenom temeljnog svojstva logaritma.

Uočimo da su baze, na obje strane jednadžbe, potencije broja 2 .

2 2 2 x 2 + 2 x = 2 3 2 2 2 x 2 + 2 x = 2 3

Sad možemo primijeniti svojstvo injektivnosti te izjednačiti eksponente.

4 x 2 + 4 x = 3 4 x 2 + 4 x - 3 = 0

Riješimo kvadratnu jednadžbu prema formuli za rješenja.

a = 4 ,   b = 4 ,   c = - 3   i x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a  

x 1,2 = - 4 ± 16 - 4 · 4 · - 3 2 · 4 = - 4 ± 16 + 48 8 = - 4 ± 8 8

x 1 = - 3 2 , x 2 = 1 2  

Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na jednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstva injektivnosti, tj. izjednačavanjem njihovih eksponenata.

a f x = a g x f x = g x , a > 0 , a 1

Primjer 3.

Riješimo eksponencijalne jednadžbe.

  1. 12 7 x + 5 = 1
  2. 0.5 x - 3 - 32 = 0
  3. 2 4 x - 5 · 32 x + 1 = 2 6 x - 7
  1. Iskoristimo svojstvo potencije a 0 = 1 , a > 0 te 1 prikažimo kao potenciju broja 12 pa izjednačimo eksponente.

    12 7 x + 5 = 12 0 7 x + 5 = 0 x = - 5 7

  2. Radili smo pravila potenciranja (prisjetite se). Neka od njih primijenit ćemo u ovom zadatku. Prebacimo korijen na desnu stranu te prikažimo sve kao potenciju broja 2 .

    1 2 x - 3 = 2 5 2 2 - x + 3 = 2 5 2

    - x + 3 = 5 2 x = 1 2

  3. Prikažimo sve potencije s bazom 2 te primijenimo pravilo umnoška potencija.

    2 4 x - 5 · 2 5 x + 1 = 2 6 x - 7 2 4 x - 5 + 5 x + 5 = 2 6 x - 7

    9 x = 6 x - 7 x = - 7 3

Zadatak 4.

Riješite eksponencijalne jednadžbe primjenom injektivnosti.

  1. 1 25 2 x + 3 = 125 9 x + 8 Najprije potencije svedemo na istu bazu . Eksponent potencije na lijevoj strani nakon sređivanja je , a na desnoj strani eksponent je jednak .
    Izjednačavanjem eksponenata rješenje je (razlomak prikažite u obliku a / b ) .
    null
    null
  2. 2 3 x - 4 64 x - 1 = 2 3 x - 10

    Nakon pretvaranja u istu bazu, primijenimo svojstvo dijeljenja potencije iste baze.
    Rješenje jednadžbe je x =    .
    null
    null
  3. 4 t 2 = 4 6 - t  

    Koja kvadratna jednadžba se dobije izjednačavanjem eksponenata?

    null
    null
  4. Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su rješenja početne eksponencijalne jednadžbe. Manje rješenje je t 1 =   , a veće rješenje je t 2 =   .
    null
    null

Primjer 4.

Riješimo jednadžbu 4 x - 3 x - 2 = 5 · 3 x - 1 + 4 x - 1 .

Presložimo na jednu stranu potencije iste baze.

4 x - 4 x - 1 = 5 · 3 x - 1 + 3 x - 2

Izlučimo zajednički faktor (odaberimo iste eksponente za obje baze).

4 x - 1 4 - 1 = 3 x - 1 5 + 3 - 1

Kad imamo dvije baze koje ne možemo svesti na jednu, nova baza nam je kvocijent zadanih dviju (s istim eksponentom).

Stoga podijelimo jednadžbu s 3 x - 1 i sredimo je tako da nepoznanica ostane na jednoj strani.

4 3 x - 1 = 5 + 3 - 1 3

Nakon sređivanja desne strane imamo

4 3 x - 1 = 16 9 4 3 x - 1 = 4 3 2 x - 1 = 2 x = 3 .

Zadatak 5.

Riješite jednadžbu ​ 4 x + 5 x - 1 = 5 x - 4 x - 1 .

x = 2   ​


Zadatak 6.

Riješite sustav jednadžbi.

13 x y = 2 197

5 x + y - 4 = 1


Zadatak 7.

Riješite sustav jednadžbi.

y = 8 2 - x

y = 4 x 2 - x

Metodom komparacije izjednačite potencije te ih svedite na istu bazu. Izjednačavanjem eksponenata dobije se kvadratna jednadžba 2 x 2 + x - 6 = 0 .  

Izračunamo rješenja kvadratne jednadžbe te ih uvrstimo u, npr. prvu, eksponencijalnu jednadžbu.
Rješenja su: 3 2 , 2 2 ,   - 2,8 4 .


Kutak za znatiželjne

Pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe u kojima je i u bazi nepoznanica.

Riješimo jednadžbu x - 1 x 2 + x - 2 = x - 1 2 x + 4 .

Općenito, rješavanje jednadžbi oblika f x g x = f x h x , gdje su f , g i h neke algebarske funkcije, svodi se na četiri slučaja. Označimo s x 0 rješenje jednadžbe.

  1. f x = 0 Ako je x 0 rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet: g x 0 > 0 , h x 0 > 0 .
  2. f x = 1 Ako je x 0 rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet da su g i h definirane za x 0 .
  3. f x = - 1 Ako je x 0 rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet da su g x 0 i h x 0 cijeli brojevi jednake parnosti ili razlomci kojima je nazivnik neparan.
  4. g x = h x Ako je x 0 rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet da za x 0 početna jednadžba ima smisla.

U zadatku imamo f x = x - 1 , g x = x 2 + x - 2 i h x = 2 x + 4 .

a. x - 1 = 0 x = 1 , ali zbog ​ g 1 = 1 2 + 1 - 2 = 0 , 1 nije rješenje.

b. ​ x - 1 = 1 x = 2 , to jest rješenje, jer su kvadratna i linearna funkcija definirane za sve realne brojeve pa tako i za 2 .

c. ​ x - 1 = - 1 x = 0 , brojevi g 0 = 0 + 0 - 2 = - 2 i h 0 = 0 + 4 = 4 su iste parnosti, pa 0 jest rješenje početne jednadžbe.

d. Izjednačimo eksponente i dobijemo x 2 + x - 2 = 2 x + 4 x 2 - x - 6 = 0 . Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su 3 i - 2 .

Dakle, x 1 = - 2 , x 2 = 0 , x 3 = 2 , x 4 = 3 .

Pokušajte sami riješiti sljedeći zadatak: x 2 - x - 1 x 2 - 1 = 1 .

Kako je h x = 0 , zadatak se svodi na rješavanje tri slučaja (bez prvog), s uvjetima kako su prethodno navedeni.

  1. f x = 1
  2. f x = - 1
  3. g x = 0

x 1 = - 1 , x 2 = 1 , x 3 = 2


Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi supstitucijom

Primjer 5.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu 3 2 x - 2 · 3 x - 8 = 0 .

Primijenimo pravilo potenciranja potencije i zapišimo potenciju 3 2 x = 3 x 2 Supstitucijom 3 x = y  početna eksponencijalna jednadžba prelazi u kvadratnu jednadžbu. Riješimo je.

y 2 - 2 y - 8 = 0 y 1,2 = 2 ± 4 + 32 2 = 2 ± 6 2

y 1 = 4 , y 2 = - 2

Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju. Dobijemo dvije eksponencijalne jednadžbe.

3 x = 4 x = log 3 4 = log 4 log 3 1.262

Jednadžba 3 x = - 2  nema realna rješenja (potencija ne može biti negativan broj, odnosno pripadajući logaritam nije definiran za negativne brojeve).

Dakle, jednadžba ima samo jedno rješenje: x = log 3 4 .

Eksponencijalnu jednadžbu oblika A · a 2 x + B · a x + C = 0 , a > 0 , a 1 , A , B , C R , A 0  rješavamo supstitucijom a x = y , tako da riješimo pomoćnu kvadratnu jednadžbu oblika A · y 2 + B · y + C = 0 .

Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju i riješimo pripadajuće dvije eksponencijalne jednadžbe.
Pazite! Ako je rješenje kvadratne jednadžbe y 0 < 0 , pripadajuća eksponencijalna jednadžba a x = y 0 nema rješenja.

Zadatak 8.

Riješite jednadžbu 12 3 4 2 x - 25 3 4 x + 12 = 0 .

x 1 = 1 , x 2 = - 1   ​


Zadatak 9.

Riješite eksponencijalne jednadžbe.

  1. 49 x - 6 · 7 x + 5 = 0  

    Koju supstituciju uvodimo?

    null
    null
  2. Dopišite koeficijente (s predzankom + ili -) pripadajuće kvadratne jednadžbe. y 2   y   = 0  
    null
    null
  3. Manje rješenje kvadratne jednadžbe je y 1 =    , a veće y 2 =    .
    null
    null
  4. Odaberite rješenja eksponencijalne jednadžbe.

    null
    null
  5. 2 2 x · 3 2 x - 2 · 6 3 x - 1 + 4 2 x - 1 · 3 4 x - 2 = 0

    Primjenom pravila potencije, a x · b x = a b x , jednadžbu možete svesti na jednu bazu. Koju?

    null
    null
  6. Koji zajednički faktor možete izlučiti?

     

    null
  7. Umnožak dvaju fakotra je nula kad je barem jedan od njih jednak nuli. Kako potencija nikad ne može biti nula, rješenje jednadžbe dobijemo tako da izjednačimo trinom s nulom. Koji oblik nakon sređivanja (riješimo se nazivnika) ima eksponencijalna jednadžba?

    Pomoć:

     Sredite jednadžbu 6 2 x 1 - 6 x 3 + 6 2 x 36 = 0 .

    null
  8. Metodom supstitucije odredite konačno rješenje eksponencijalne jednadžbe.

    null

Zadatak 10.

Riješite sustav jednadžbi.

3 x + 4 y = 265

3 x · 4 y = 2 304

Uputa: Iz prve jednadžbe jednu potenciju prikažite s pomoću druge i uvrstite u drugu jednadžbu.

Rješenja su: 2 , 4 i log 3 256 , log 4 9  


...i na kraju

Ponovimo.

Naučili smo tri načina rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.

I za kraj, riješite tri eksponencijalne jednadžbe s državne mature.

Zadatak 11.

  1. 4 3 x - 2 = 1 8 2 - x (ljetni rok 2011./2012.)
  2. 2 · 6 x = 1 18 (ljetni rok 2012./2013.)
  3. 125 4 = 1 5 2 - x (jesenski rok 2015./2016.)
  1. x = - 2 3
  2. x = - 2
  3. x = 11 4

Idemo na sljedeću jedinicu

7.2 Logaritamske jednadžbe