x
Učitavanje

4.3 Računanje trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta u pravokutnom trokutu

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta iznosi ​ 10  cm i kut α  30 ° . Odredite duljine kateta.

Pravokutni trokut - primjer 1

Da bismo riješili taj primjer potrebna nam je veza između stranica pravokutnog trokuta i kutova (vidi Definicije trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta).

Složi definicije trigonometrijskih vrijednosti šiljastih kutova u pravokutnom trokutu.

cos =
p r i l e ž e ć a k a t e t a n a s u p r o t n a k a t e t a  

tg =   
n a s u p r o t n a k a t e t a p r i l e ž e ć a k a t e t a
sin =
p r i l e ž e ć a   k a t e t a h i p o t e n u z a   
ctg =   
n a s u p r o t n a k a t e t a h i p o t e n u z a
null
null

Primjer 1.

Riješimo sada uvodni zadatak.

10   cm i α  30 ° a ?

sin α = a c s i n 30 ° = a 10 , tj. a = 10 · sin 30 ° .

Trigonometrijske vrijednosti za kutove 30 ° , 45 ° , 60 ° izračunali smo s pomoću jednakostračničnog trokuta i kvadrata pa uvrštavanjem u izraz za a  dobijemo da je a = 10 · 1 2   = 5 .

Duljinu druge katete možemo dobiti koristeći se Pitagorinim poučkom, ali i s pomoću cos α = b c . Uvrstimo li podatke iz zadatka imat ćemo cos 30 ° = b 10 , tj. b = 10 · cos 30 ° = 10 · 3 2 = 5 3 cm .

Možemo li duljinu katete b   izračunati na još neki način?

null
null

Pogledajmo trigonometrijske vrijednosti šiljastih kutova iz našeg primjera.

Tablica trigonometrijskih vrijednosti šiljastih kutova pravokutnog trokuta za kutove od 30 ° i 60 ° .

s i n α = s i n 30 ° = a c = 5 10 = 0.5   s i n β = s i n 60 ° = b c = 5 3 10 0.866  
c o s α = c o s 30 ° = b c = 5 3 10 0.866   c o s β = c o s 60 ° = a c = 5 10 = 0.5  
t g α = t g 30 ° = a b = 5 5 3 0.5774   t g β = t g 60 ° = b a = 5 3 5 1.7321  
c t g α = c t g 30 ° = b a = 5 3 5 1.7321 c t g β = c t g 60 ° = a b = 5 5 3 0.5774  

U tablici s trigonometrijskim vrijednostima šiljastih kutova u pravokutnom trokutu možete uočiti vezu trigonometrijskih vrijednosti komplementarnih kutova pravokutnog trokuta (vidi Definicije trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta).

Pogledajmo to i u aktivnosti koja slijedi.

S pomoću klizača mijenjajte duljine kateta te promatrajte kutove trokuta i vrijednosti sinusa i kosinusa za prikazane kutove.

Povećaj ili smanji interakciju

U sljedećoj aktivnosti također mijenjajte duljine kateta, ali ovaj put pratite što se događa s vrijednostima tangensa i kotangensa prikazanih kutova.

Povećaj ili smanji interakciju

Spoji trigonometrijske vrijednosti komplementarnih kutova pravokutnog trokuta.

t g α =
ctg β   
sin α =
cos
ctg α =
sin β
cos α =
tg β   ​
null
null

Trigonometrijske vrijednosti komplementarnih kutova

Kako je​ α + β = 90 ° , slijedi:

sin α = cos 90 ° - α

cos α = sin 90 ° - α  

tg α = ctg 90 ° - α  

ctg α = tg 90 ° - α .

Trigonometrijske vrijednosti šiljastog kuta

Ponovno pogledaj gornje aktivnosti te odgovori na postavljena pitanja.

  1. Mogu li vrijednosti sinusa i kosinusa šiljastih kutova biti negativne?

    null
    null
  2. Mogu li vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa biti veće od 1 ?

    null
    null
  3. Mogu li vrijednosti trigonometrijskih funkcija tangensa i kotangensa šiljastih kutova biti manje od 0 ?

    null
    null
  4. Mogu li vrijednosti trigonometrijskih funkcija tangensa i kotangensa šiljastih kutova biti veće od 1 ?  

    null
    null
  5. Mogu li duljine stranica trokuta biti negativne?

    null
    null
  6. Može li omjer nasuprotne katete i hiptenuze biti 0 ?

    null
    null
  7. Koja je najdulja stranica u pravokutnom trokutu?

    null
    null

S obzirom na to da smo sinus i kosinus kutova definirali kao omjere kateta i hipotenuze, a hipotenuza je uvijek najdulja stranica u pravokutnom trokutu, taj je razlomak manji od 1 ( 1 bismo dobili kad bi kateta mogla biti jednako dugačka kao hipotenuza). Duljine stranica trokuta nikada ne mogu biti negativne, ni 0 , pa je zato taj razlomak uvijek pozitivan.

Kod tangensa i kotangensa kutova omjeri kateta mogu biti i veći od 1 , ali ponovno ne negativni ni nula.

U pravokutnom trokutu su vrijednosti sinusa i kosinusa šiljastih kutova uvijek iz intervala​ 0, 1 , a vrijednosti tangensa i kotangensa iz intervala 0 , + , tj.

  • 0 < sin α < 1 ,
  • 0 < cos α < 1 ,
  • tg α > 0 ,
  • c tg α > 0 .

Zadatak 1.

Za koje realne brojeve​ a   postoje šiljasti kutovi takvi da je sin α = a 1   +   a 2 ?

0

Uputa: Riješite sustav nejednadžbi a a 0   i a a 1 .


Osnovni trigonometrijski identiteti

U trećoj aktivnosti mijenjajte duljine kateta i pratite vrijednosti sinusa i kosinusa kutova te vrijednost izraza sin 2 α + cos 2 α . Kakve vrijednosti poprima izraz sin 2 α + cos 2 α ?

Napomena

Pripazite na zapis kvadrata u trigonometrijskim funkcijama.

sin α 2 = sin 2 α sin α 2  

Povećaj ili smanji interakciju

sin 2 α + cos 2 α = 1

Dokažimo da osnovni trigonometrijski identitet stvarno uvijek vrijedi.

Krenemo li od Pitagorina poučka​ a 2 + b 2 = c 2 i podijelimo s c 2 dobijemo a c 2 + b c 2 = 1 . Uvrštavanjem definicija trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta a c = sin α i b c = cos α dobivamo osnovni trigonometrijski identitet

sin 2 α + cos 2 α = 1 .

U sljedećoj aktivnosti mijenjajte duljine kateta i pratite vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, zatim omjere sinusa i kosinusa te kosinusa i sinusa. Uočavate li vezu između nekih podataka?

Povećaj ili smanji interakciju

tg α = sin α cos α ​, c tg α = cos α sin α , ctg α = 1 tg α , tg α · ctg α = 1

Kutak za znatiželjne

Dokažite prethodne tvrdnje uvrštavanjem definicija trigonometrijskih vrijednosti šiljastih kutova pravokutnog trokuta.

Primjer 2.

Koristeći se osnovnim trigonometrijskim identitetima, dokažite:​ 1 - sin α 2 + cos 2 α = 2 - 2 sin α .

Dokaz:

Kvadriramo li izraz u zagradi dobijemo 1 - 2 sin α + sin 2 α + cos 2 α = 2 - 2 sin α . . Primijenimo li da je sin 2 α + co s 2 α = 1 , dobivamo 1 - 2 sin α + 1 = 2 - 2 sin α , tj. 2 - 2 sin α = 2 - 2 sin α , što smo i trebali dokazati.

Zadatak 2.

Dokažite identitet:​ tg α + ctg α = 1 sin α cos α .

Uputa: Uvrstite tg α = sin α cos α i c tg α = cos α sin α pa svedite na zajednički nazivnik.


Pokus

Pogledajte animaciju u 2D-u koja pokazuje kako kod čokolade dobiti komadić viška.

Uzmite čokoladu od 100 g i pokušajte izvesti pokus. Podijelite čokoladu kao u animaciji, pojedite komadić viška i izvažite. Je li masa i dalje 100 grama?

Pokušajte matematički dokazati da dijelovi čokolade nisu bili jednakih dimenzija (možete izračunavati stranice i kutove pravokutnih trokuta).

Računanje trigonometrijskih vrijednosti kutova

Primjer 3.

Pravokutni trokut - primjer 2

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta iznosi​ 10 cm i kut α = 40 ° . Odredite duljine kateta.

Da bismo odredili duljine katete a, možemo iskoristiti sinus kuta.

sin α = a c sin 40 ° = a 10 , tj. a = 10 · sin 40 ° .

Znamo trigonometrijske vrijednosti za kutove 30 ° , 45 ° i 60 ° , a za 40 ° ? Mogli bismo pretpostaviti da je sin 40 ° između vrijednosti sin 30 ° = 0.5 i sin 45 ° = 2 2 0.7071 .

Ali kolika je točna vrijednost?

Zanimljivost

Danas se za računanje trigonometrijskih vrijednosti kutova koriste džepna računala. U prošlosti su to bile tablice u kojima su bile popisane trigonometrijske vrijednosti za kutove od 0 ° do 90 ° na pet decimala. Računanje bez džepnog računala bilo je vrlo zahtijevno i dugotrajno. A upotrebom džepnog računala?

Kalkulator 1 - oznaka za stupnjeve
Slika 1.

Da bismo izračunali sin 40 ° na džepnom računalu, najprije moramo provjeriti je li ono postavljeno na računanje u stupnjevima. Ako na džepnom računalu nemamo oznaku D ili DEG (moguće su R, RAD za radijane ili G, GRAD za grad), potrebno je prebaciti tipkom M O D ili D R G ili S E T U P . Ako upotrebljavate džepno računalo koji dolazi s Windowsima, mijenjanje s računanja u stupnjevima u radijane i grad koristi se tipkom na kojoj piše oznaka mjere kuta (slika 1.).

Postupak računanja sin 40 ° je različit na raznim vrstama džepnog računala, ali možemo ga podijeliti na dvije vrste:

PREFIKSNO: upišemo broj 40 i pritisnemo tipku S I N

POSTFIKSNO: pritisnemo tipku S I N pa upišemo broj 40 .

U oba bi slučaja vrijednost koju dobijemo trebala biti: 0.6427876097 ... (slika 2. i slika 3.).

S obzirom na to da su većina trigonometrijskih vrijednosti iracionalni brojevi, decimalni zapis im je beskonačan neperiodičan decimalan broj, sve ćemo vrijednosti zaokruživati na četiri decimale. Iako su to približne vrijednosti, radi jednostavnosti zapisa stavljat ćemo znak jednakosti.

Primjer 4.

sin 40 ° = 0.6428

Istovrsno možemo izračunati vrijednosti za kosinus i tangens.

cos 40 ° = 0.766

tg 40 ° = 0.8391

Za određivanje vrijednosti kotangensa nema tipke na džepnom računalu. Zato ćemo se snalaziti i upotrijebiti vezu između tangensa i kotangensa ctg α = 1 tg α .

PREFIKSNO: broj 40 , tipka t g , tipka 1 / x (​ x - 1 )

POSTFIKSNO: tipka t g , broj 40 , (tipka A N S ), tipka 1 / x ( x - 1 )

c tg 40 ° = 1.1918

Postupak računanja kotengensa prikazan je u aktivnosti koja slijedi.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. sin 35 ° =  

     

    null
  2. cos 35 ° =  ​
    null
  3. tg 35 ° =
    null
    null
  4. ctg 35 ° =  
    null
    null

Minute i sekunde

Kut može biti zadan i s pomoću minuta i sekundi. Prisjetimo se odnosa među njima.

  1. Jedan stupanj sastoji se od  minuta, jedna minuta sastoji se od sekundi, pa se onda jedan stupanj sastoji od  sekundi.

     

    null
  2. Kad pretvaramo stupnjeve u minute  sa 60. Kad pretvaramo minute u stupnjeve  sa 60.

    null
  3. Kad pretvaramo minute u sekunde, broj minuta  sa 60, a kad pretvaramo sekunde u minute, broj sekundi  sa 60.

    null
    null
  4. Kad pretvaramo stupnjeve u sekunde, broj stupnjeva  s 360, a kad pretvaramo sekunde u stupnjeve, broj sekundi  s 360.

    null

Pretvorimo​ 20 ° 12 ' u stupnjeve.

20 ° 12 ' = 20 ° + 12 60 ' = 20.2 °

Pretvorimo​ 35.42 ° u stupnjeve, minute i sekunde.

35.42 ° = 35 ° + 0.42 · 60 ' = 35 ° + 25.2 ' = 35 ° + 25 ' + 0.2 · 60 " = 35 ° + 25 ' + 12 " = 35 ° 25 ' 12 "

Pretvarati kutove iz stupnjeva, minuta i sekundi u decimalni oblik i obratno možemo i s pomoću džepnog računala. Tome služi tipka​ ° ' " ili D E G .

Pokušajte na prethodnim primjerima. Postupak možete pratiti u idućoj aktivnosti.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 3.

Pretvorite u decimalni oblik (prikažite u stupnjevima) kutove:

  1. 32 ° 15 ' 10 "
  2. 77 ° 7 ' 7 " .
  1. 35.2528
  2. 77.1186

Primjer 5.

Kalkulator 4 - prebacivanje kuta iz decimalnog oblika u stupnjeve, minute i sekunde
Slika 4.

Pokušajte sad obratno, iz decimalnog oblika odrediti stupnjeve, minute i sekunde.

20.2 ° = 20 ° 12 '

35.42 ° = 35 ° 28 ' 12 "

Katkad je za to dovoljno otipkati decimalni broj i staviti oznaku za stupnjeve ° ' " te tipku = , a na nekim se džepnim računalima upotrebljava tipka D M S (slika 4.).

Pretvorite u stupnjeve, minute i sekunde kutove:

  1. 35.2528
  2. 77.1186 .
  1. 32 ° 15 ' 10 "
  2. 77 ° 7 ' 7 "

Odredite trigonometrijske vrijednosti za kut​ 23 ° 32 ' 15 .

  1. sin 23 ° 32 ' 15 " =  
  2. cos 23 ° 32 ' 15 " =  
  3. tg 23 ° 32 ' 15 " =
  4. ctg 23 ° 32 ' 15 " =    
null
null

Odredite trigonometrijske vrijednosti za kut 23.4 ° .  

  1. sin 23.4 =
  2. cos 23.4 ° =  
  3. tg 23.4 =
  4. ctg 23.4 ° =     

 

 

Primjer 6.

Vratimo se našem primjeru: Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta iznosi​ 10  cm i kut α  40 ° . Odredite duljine kateta.

a = 10 · sin 40 ° = 10 · 0.6428 = 6.428 cm

b = 10 · cos 40 ° = 10 · 0.766 = 7.66 cm

Računanje kutova

Pravokutni trokut - primjer 3

Duljina katete u pravokutnom trokutu je​ a = 3 cm , a hipotenuze c = 5 cm . Koliki je kut nasuprot kateti a ?

I u ovom zadatku možemo iskoristiti omjer za sinus kuta, sin α = a c s i n α = 3 5 . Da bismo se riješili sinusa, trebamo djelovati s njegovim inverzom. Neka džepna računala imaju tipku inverz I N V , a kod nekih je to tipka S H I F T te s pomoću njih dobivamo inverzne vrijednosti od sin, cos i tg, koje su na džepnom računalu označene sitnim slovima ispisanima iznad tipki za trigonometrijske funkcije (često u narančastoj boji). Te inverzne vrijednosti označavamo sa sin - 1 , cos - 1 , tg - 1 i ctg - 1 .

Postupak računanja vrijednosti kuta na džepnom računalu

Primjer 7.

sin α = 0.4  

PREFIKSNO: unesemo broj 0.4 , pritisnemo tipku I N V  ili S H I F T , pa tipku S I N  (time dobijemo sin - 1 ) i na kraju pritisnemo tipku D M S da bismo kut pretvorili u stupnjeve, minute i sekunde.

POSTFIKSNO: pritisnemo I N V ili S H I F T , tipku S I N  (time dobijemo sin - 1 ) i na kraju pritisnemo tipku ° ' " ili D M S  da bismo kut pretvorili u stupnjeve, minute i sekunde.

Za sin α = 0.4  dobijemo kut α = 23 ° 34 ' 41 " . (I u ovom ćemo slučaju vrijednosti zaokruživati, dovoljno je na sekunde).

Postupak određivanja kuta iz poznate vrijednosti za sinus kuta možete pogledati u idućoj aktivnosti.

Povećaj ili smanji interakciju

Za cos α = 0.4 kut α = 66 ° 25 ' 19 " .

Za tg α = 0.4 kut α = 21 ° 48 ' 5 " .

Za određivanje kotangensa opet se snalazimo i prebacujemo na tangens upotrebom tipke 1 / x ( x - 1 ) i nakon toga je postupak kao da određujemo tg - 1 .

Za c tg α = 0.4 1 / x daje tg α = 2.5 i kut α = 68 ° 11 ' 55 " .

Napomena

Kotangens se sve rjeđe upotrebljava. Nema potrebe za njegovom upotrebom jer sve probleme za koje bismo eventualno mogli upotrijebiti kotangens možemo riješiti koristeći se tangensom.

Postupak određivanja kuta od poznate vrijednosti kotangensa kuta možete pogledati u idućoj aktivnosti.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Odredi vrijednosti kutova u stupnjevima, minutama i sekundama ako je:

  1. sin α = 0.03
  2. cos α = 0.9
  3. tg α = 1.4
  4. ctg α = 10
  5. sin α = 3 .
  1. α = 1 ° 43 ' 9 "
  2. α = 25 ° 50 ' 31 "
  3. α = 54 ° 27 ' 44 "
  4. α = 5 ° 42 ' 38 "
  5. ERROR – vrijednost sinusa mora biti manja od 1 .

Kutak za znatiželjne

Poigrajte se džepnim računalom!

Pokušajte odrediti trigonometrijske vrijednosti za kutove koji su veći ili jednaki 90 ° i za kutove čije su vrijednosti negativne.

Pokušajte odrediti kutove čije su trigonometrijske vrijednosti veće od 1 i manje od 0 . Jesmo li na početku pogriješili kad smo ograničili trigonometrijske vrijednosti sinusa i kosinusa na interval 0 , 1 , a vrijednosti tangensa i kotangensa na interval 0 , + ?

Odgovore možeš potraži na internetu, u udžbenicima za treći razred ili pitati nastavnike.

...i na kraju

Riješite nekoliko zadataka.

  1. Odredite trigonometrijske vrijednosti kuta 80 ° 2 ' 8 " .

    sin 80 ° 2 ' 8 " =  
    cos 80 ° 2 ' 8 " =   
    tg 80 ° 2 ' 8 " =   ​
    ctg 80 ° 2 ' 8 " =   
    null
    null
  2. Koja tvrdnja nije točna?

    null
    null
  3. Poredaj vrijednosti od najmanje do najveće.

    • sin 45 °   
    • sin 85 °   ​
    • sin 15 °   
    null
    null
  4. Poredaj vrijednosti najmanje do najveće.

    • ctg 85 °   ​
    • ctg 15 °   ​
    • ctg 45 °   ​
    null
    null
  5. Ako je sin α = 0.3 , tada je α =   °    '   ​ " .  
    null
    null
  6. Ako je​ cos α = 0.1 , tada je α =   °   ​ '   ​ " .  
    null
    null
  7. Ako je tg α = 1.2 , tada je α =   °   ​ '    " .  
    null
    null

Idemo na sljedeću jedinicu

4.4 Primjena trigonometrije na pravokutni trokut