6.4 Računanje s logaritmima

Svojstva logaritamske funkcije

Svojstva koja ćemo navesti posljedica su svojstava eksponencijalne funkcije koja ste već istraživali. Za početak imamo dva jednostavna pravila koja proizlaze iz veze eksponencijalne i logaritamske funkcije, a koja ste već spominjali.

$\left(1\right){\log }_{a}a=1$ zato što je $a^1=a$

$\left(2\right){\log }_{a}1=0$ zato što je $a^0=1$

Tim svojstvima često ćemo se koristiti u idućim primjerima i zadacima, kao i jednostavnijim izračunima vrijednosti logaritamske funkcije preko definicije.

Često se koristimo:

$\ln e=1$

$\log 10=1$

Logaritam umnoška

Prvo svojstvo ili pravilo je ono koje smo naveli u uvodu, pravilo umnoška, koje je posljedica pravila $a^m·a^n=a^{m+n}.$

Za bilo koja dva pozitivna broja $m$ i $n$ i bazu $a$ vrijedi pravilo:

$\left(3\right){\log }_a\left(m·n\right)={\log }_{a}m+{\log }_{a}n$

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

Dokažimo ovo pravilo.

${\log }_{a}m=X\Rightarrow m=a^X$

${\log }_{a}n=Y\Rightarrow n=a^Y$

Sada imamo:

$m·n=a^X·a^Y=a^{X+Y}\Rightarrow {\log }_a\left(m·n\right)=X+Y={\log }_{a}m+{\log }_{a}n$

Primjer 1.

1. Izraz ${\log }_2\left(32\right)$ izrazimo kao sumu logaritama.

   ${\log }_2\left(32\right)={\log }_2\left(2·16\right)={\log }_{2}2+{\log }_{2}16=1+4=5$

2. Izraz ${\log }_a{p}^3+{\log }_{a}q$ napišimo kao jedan logaritam.

   ${\log }_a{p}^3+{\log }_{a}q={\log }_a\left(p^3·q\right)$

   ​

Zadatak 1.

Izraze prikažite kao zbroj logaritama.

1. ${\log }_5\left(5·25\right)$​
2. $\log \left(0.2·x\right)$
3. $\ln \left(2e\right)$

Rješenje

---

Logaritam potencije

Za svaki pozitivni broj $m,$ bazu logaritma $a,$ i svaki relani broj $p$ vrijedi pravilo:

$\left(4\right){\log }_a{m}^p=p·{\log }_{a}m$

Logaritam potencije s bazom $m$ i eksponentom $p$ jednak je umnošku eksponenta $p$ i logaritma od $m.$

Dokažimo!

Neka je $X={\log }_{a}m.$

$X={\log }_{a}m\Rightarrow a^X=m$

Potencirajmo obje strane eksponentom $p.$

${\left(a^X\right)}^p=m^p\Rightarrow a^{Xp}=m^p$

Prikažimo sada kao logaritam.

${\log }_a{m}^p=Xp,$ što uz $X={\log }_{a}m$ daje:

${\log }_a{m}^p=\left({\log }_{a}m\right)·p=p·{\log }_{a}m$

Primjer 2.

Na izraze primijenimo pravilo logaritma potencije.

1. ${\log }_{11}{11}^{-3}$
2. ${\log }_7\sqrt[4]{49}$
3. $\ln x^5$

Rješenje:

1. ${\log }_{11}{11}^{-3}=-3·{\log }_{11}11=-3$
2. ${\log }_7\sqrt[4]{49}=\frac{1}{4}{\log }_{7}49=\frac{1}{4}·2=\frac{1}{2}$
3. $\ln x^5=5·\ln x$

Zadatak 2.

Izraze napišite kao umnožak.

1. ${\log }_a{y}^5$
2. $\log {100}^3$
3. $\ln \sqrt[3]{e}$

Rješenje

---

Logaritam kvocijenta

Za svaki pozitivan broj $m$ i $n$ i svaku bazu logaritma $a$ vrijedi:

$\left(5\right){\log }_a\frac{m}{n}={\log }_{a}m-{\log }_{a}n$

Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama djeljenika i djelitelja.

Dokaz tog pravila izvest ćemo koristeći se pravilom za logaritam produkta i potencije.

${\log }_a\frac{m}{n}=$ ${\log }_a\left(m·n^{-1}\right)={\log }_{a}m+{\log }_a{n}^{-1}={\log }_{a}m+\left(-1\right)·{\log }_{a}n={\log }_{a}m-{\log }_{a}n$

Primjer 3.

1. Prikažimo kao razliku logaritama izraz ${\log }_2\frac{4}{b}$​

   ${\log }_2\left(\frac{4}{b}\right)={\log }_{2}4-{\log }_{2}b=2-{\log }_{2}b$

2. Izraz prikažimo kao jedan logaritam.

   ${\log }_{b}64-{\log }_{b}16={\log }_b\left(\frac{64}{16}\right)={\log }_{b}4$

Zadatak 3.

Primijenite pravilo za logaritam kvocijenta u sljedećim zadacima.

1. Prikažite kao razliku logaritama

   ${\log }_b\frac{75}{4}$

2. Prikažite kao jedan logaritam i pojednostavnite.

   $\log 0.01-\log 100$

Rješenje

---

 Primijenite pravila za računanje s logaritmima i spojite izraze.

$p{\log }_{a}m$  ​	${\log }_a\frac{m}{n}$  ​
${\log }_{a}m+{\log }_{a}n$	${\log }_a{m}^p$  ​
${\log }_{a}m-{\log }_{a}n$	${\log }_a\left(m·n\right)$  ​

null

null

Primjena pravila

Primjer 4.

Izraz ${\log }_a\frac{b{y}^3}{x^2{y}^4}$ napišimo u obliku sume ili razlike logaritama.

${\log }_a\frac{b{y}^3}{x^2{y}^4}={\log }_a\left(b{y}^3\right)-{\log }_a\left(x^2{y}^4\right)$ pravilo za logaritam kvocijenta

${\log }_a\frac{b{y}^3}{x^2{y}^4}={\log }_{a}b+{\log }_a{y}^3-\left({\log }_a{x}^2+{\log }_a{y}^4\right)$ pravilo za logaritam umnoška

${\log }_a\frac{b{y}^3}{x^2{y}^4}={\log }_{a}b-{\log }_{a}y-2{\log }_{a}x$ pravilo za logaritam potencije

Pojednostavnimo izraz.

$5{\log }_{a}x-{\log }_{a}b+\frac{1}{3}{\log }_{a}y$

$5{\log }_{a}x-{\log }_{a}b+\frac{1}{3}{\log }_{a}y={\log }_a{x}^5-{\log }_{a}b+{\log }_a\sqrt[3]{y}$ pravilo za logaritam potencije

$5{\log }_{a}x-{\log }_{a}b+\frac{1}{3}{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x^5}{b}+{\log }_a\sqrt[3]{y}$ pravilo za logaritam kvocijenta

$5{\log }_{a}x-{\log }_{a}b+\frac{1}{3}{\log }_{a}y={\log }_a\left(\frac{x^5\sqrt[3]{y}}{b}\right)$ pravilo za logaritam umnoška

Primjer 5.

Ako je zadano ${\log }_{b}2\approx 0.301$ i ${\log }_{b}3\approx 0.477,$ izračunajte vrijednost izraza

1. ${\log }_{b}6$
2. ${\log }_b\frac{2}{3}$

Riješenje:

1. ${\log }_{b}6={\log }_b\left(2·3\right)={\log }_{b}2+{\log }_{b}3=0.301+0.477\approx 0.778$
2. ${\log }_b\frac{2}{3}={\log }_{b}2-{\log }_{b}3=0.301-0.477\approx -0.176$

Zadatak 4.

1. Primijenite pravila za računanje s logaritmima i napišite kao sumu ili razliku logaritama.

   • $\ln \frac{3}{2x^5}$​
   • $\log \sqrt{\frac{x^6}{p^{5}q}}$​
   • ${\log }_c\sqrt[3]{\frac{xy{z}^5}{a^2{b}^4}}$​

2. Primijenite pravila za računanje s logaritmima i napišite kao jedan logaritam.

   • ${\log }_{n}10 000-{\log }_{n}100$​
   • $\ln 27-\ln 9$​
   • $\frac{1}{2}{\log }_{x}a-{\log }_{x}2$​

3. Ako je zadano ${\log }_{a}3\approx 1.099$ i ${\log }_{a}5\approx 1.609,$ izračunajte vrijednost izraza.

   • ${\log }_a\frac{5}{3}$​
   • ${\log }_a\frac{3}{a}$​
   • ${\log }_a\left(15a\right)$​

Rješenje

---

Izrazi $a^{{\log }_{a}x}$ i ${\log }_a{a}^x$

U prethodnim jedinicama kroz kompoziciju funkcija već ste vidjeli čemu su ova dva izraza jednaka. Dokažimo sada algebarski.

Ako je $y={\log }_{a}x,$ slijedi da je $a^y=x.$ Sad prvi izraz uvrstimo u drugi.

$a^{{\log }_{a}x}=x$ $\left(6\right)$ 

Drugo pravilo posljedica je logaritma produkta.

${\log }_a{a}^x=x{\log }_{a}a=x·1=x$ $\left(7\right)$ 

Primjer 6.

Pojednostavnimo sljedeće izraze.

1. ${\log }_b{b}^4$

   Primijetimo da ovdje izraz možemo pojednostavniti direktno primjenom pravila $\left(6\right)$ ili koristeći se logaritmom potencije i ${\log }_{b}b=1.$

   U oba slučaja rješenje je jednako $4.$

   Sad već znate nekoliko postupaka koje možete primijeniti kod rješavanja zadataka. Većina zadataka može se riješiti na barem dva načina. Na vama je da izaberete brži ili zanimljiviji, ovisno o situaciji.

2. $\ln e^{-2}=-2$
3. $\log {10}^{-3}=-3$

Primjer 7.

Pojednostavnimo sljedeće izraze.

1. $2^{{\log }_2\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}$​
2. $e^{\ln \left(7\right)}=7$
3. ${10}^{\log 5}=5$

Zadatak 5.

Pojednostavnite izraze koristeći se pravilima $\left(6\right)$ i $\left(7\right).$

1. ${\log }_c{c}^5$
2. $\ln e^{\left(x-3\right)}$
3. $5^{{\log }_5\left(3-y\right)}$
4. $e^{\ln {\left(x-2\right)}^2}$

Rješenje

---

Pravilo za promjenu baze

Za promjenu baze logaritma koristimo se sljedećim pravilom:

${\log }_{b}m=\frac{{\log }_{a}m}{{\log }_{a}b}$

Dokažimo to pravilo.

Neka je $x={\log }_{b}m.$

Slijedi da je $b^x=\mathrm{m,}$ prema definiciji logaritma.

Logaritmirajmo obje strane:

${\log }_a{b}^x={\log }_{a}m$

$x{\log }_{a}b={\log }_{a}m$

$x=\frac{{\log }_{a}m}{{\log }_{a}b}$

Slijedi $x={\log }_{b}m=\frac{{\log }_{a}m}{{\log }_{a}b}$

Primjer 8.

Na džepnom računalu imamo samo dekadski i prirodni logaritam. Izračunajmo džepnim računalom ${\log }_{5}10.$

1. Koristimo se dekadskim logaritmom i mijenjamo bazu $5$ u bazu $10,$ prema pravilu za promjenu baze.​

   ${\log }_{5}10=\frac{\log 10}{\log 5}\approx \frac{1}{0.699}\approx 1.431$

2. Koristimo se prirodnim logaritmom.

   ${\log }_{5}10=\frac{\ln 10}{\ln 5}\approx \frac{2.303}{1.609}\approx 1.431$

Zadatak 6.

Koristeći se džepnim računalom izračunajte sljedeće logaritme s pomoću dekadskog ili prirodnog logaritma.

1. ${\log }_3\frac{1}{5}$ ​
2. ${\log }_{4}7$ 
   

Rješenje

---

Ponovimo i primijenimo pravila.

${\log }_{x}a+{\log }_{x}b={\log }_x\left(a+b\right)$ 

Da

 Ponovite pravila.

Ne

null

null

${\log }_{x}a-{\log }_{x}b={\log }_x\left(\frac{a}{b}\right)$ 

Da

 Bravo!

Ne

 Ponovite pravila.

null

null

$\frac{{\log }_{x}a}{p}={\log }_x\sqrt[p]{a}$ 

Da

Ne

 Ponovite pravila za potenciju logaritma.

null

null

${\log }_a{\left(ab\right)}^m=m+m{\log }_a\left(b\right)$  ​

Da

Ne

 Prvo raspišite logaritam prema pravilu za umnožak pa računajte.

null

null

Ako je ${\log }_{b}y=2,$ koliko je ${\log }_b\frac{1}{y}$

$-1$  ​

$-2$  ​

$2$  ​

null

null

${\log }_{a}x+{\log }_{a}y-mn=0$  

Zapišite bez logaritama.

$a^{xy}=mn$  ​

$a^{mn}=xy$  ​

null

null

Kutak za znatiželjne

U uvodnom dijelu predstavljen vam je logaritam umnoška, s pomoću kojega množenje zamjenjujemo zbrajanjem i tako pojednostavnjujemo računanje s velikim brojevima. Danas nam to nije toliko važno, ali u prošlosti je bilo veoma bitno moći pomnožiti veliki broj velikim brojem, i to brzo.

Pogledajte video u kojem će vam Toni Milun objasniti kako s pomoću logaritama množiti velike brojeve.

Kutak za znatiželjne