8.7 Pojam konveksnog skupa, poluprostora i poliedra

Konveksni skupovi u ravnini

Svaki pravac dijeli ravninu na tri dijela: pravac i dvije poluravnine. Poluravnina može biti otvorena i zatvorena. Poluravnina je zatvorena ako sadrži pravac. Tada je pravac rub zatvorene poluravnine.

Zadatak 1.

Ponovimo nekoliko pojmova ravnine.

Kutak za znatiželjne

Konveksni mnogokut ne mora biti zadan presjekom konačno mnogo poluravnina.

Zadajmo tri nekolinearne točke $A,B\mathrm{i}C.$ Njima je jednoznačno određena ravnina. Koji je najmanji konveksni skup koji ih sadrži?

Po definiciji, konveksni skup mora sadržavati spojnice svakih dviju točaka toga skupa, a najmanji takav upravo je skup točaka unutar spojnica $\overline{AB},\overline{AC}\mathrm{i}\overline{BC}.$ Dužine $\overline{AB},\overline{AC}\mathrm{i}\overline{BC}$    rubne su točke toga konveksnog skupa. Dakle, najmanji konveksni skup je trokut.

Općenito, najmanji konveksni skup koji sadrži konačno mnogo točaka koje nisu kolinearne konveksni je mnogokut. Zadane točke vrhovi su mnogokuta, osim onih točaka koje se nalaze unutar tog mnogokuta ili na njegovoj stranici.

Zadatak 2.

Potražimo pojmove u prostoru koji su analogoni pojmovima u ravnini.

Od planimetrije do stereometrije

Znate li definirati pojam geometrije? Ponovimo definicije pojmova povezanih s geometrijom likova i tijela.

Zadatak 3.

  Povežite planimetrijske pojmove sa stereometrijskim analogonima.

$3$ pravca/poluravnine određuju najmanji konveksni mnogokut	Konveksni poliedar
Konveksni mnogokut	Ravnina
Pravac	$4$ ravnine/poluprostora određuju najmanji konveksni poliedar
Poluravnina	Poluprostor

null

null

Pokušajmo naći analogiju s planimetrijom kod stereometrijskih pojmova.

Svaka ravnina dijeli prostor na tri dijela: ravninu i dva poluprostora.

Presjeci poluprostora konveksni su skupovi. Mogu biti omeđeni ili neomeđeni.

Zadatak 4.

U kakvom položaju mogu biti dvije, odnosno tri ravnine prostora?

Primjer 1.

Što dobijemo presjekom tih ravnina? Kada su dobiveni skupovi točaka omeđeni? Nacrtajmo položaje tih ravnina.

Vidjeli smo da nam tri ravnine nisu dovoljne da dobijemo omeđeni konveksni skup u prostoru. Moramo uzeti bar četiri ravnine da dobijemo omeđeni skup kao presjek poluprostora.

Strane poliedra konveksni su mnogokuti, dio ravnine koji odsijecaju preostale ravnine. Ravnine se sijeku po pravcu. Dijelovi pravaca koji su zajednički za ravnine koje se sijeku čine rubove tih konveksnih mnogokuta. To su bridovi poliedra. Pravci se sijeku u točki. Presjeci pravaca su vrhovi poliedra. Pomoću strana, bridova i vrhova opisujemo poliedar.

Kutak za znatiželjne

Konveksni poliedar možemo zadati nekomplanarnim točkama kao i u ravnini konveksni mnogokut nekolinearnim točkama (najmanje tri). Što je analogon trokutu u dimenziji više? Zadajmo četiri nekomplanarne točke $A,B,C\mathrm{i}D.$ Što su spojnice tih točaka? Bridovi kojeg poliedra?

U skladu s definicijom konveksnog poliedra najmanji konveksni skup u prostoru koji je određen s četirima točkama naziva se tetraedar. Spojnice naših četiriju točaka bridovi su tetraedra, odnosno bridovi konveksnog poliedra. Sve ostale spojnice leže ili na stranama tetraedra ili unutar njega. Tetraedar se može dobiti i kao presjek četiriju poluprostora određenih ravninama zadanih točaka $\left(ABC,ABD,ACD\mathrm{i}BCD\right).$

Općenito, za zadani konačni skup nekomplanarnih točaka, najmanji konveksni skup koji ih sadrži naziva se konveksni poliedar. Zadane točke čine vrhove poliedra, osim onih koje leže na bridu poliedra, na njegovoj strani ili unutar njega.

Eulerova formula

Označimo broj vrhova poliedra s $V,$ broj bridova s $B$ i broj strana poliedra sa $S.$ Bez obzira na različitosti poliedara, jedno im je svojstvo svima zajedničko, veza između broja vrhova, bridova i strana poliedra.

Zbroj broja vrhova i broja strana za svaki poliedar za dva je veći od broja njegovih bridova, tj. vrijedi Eulerova formula

$V+S-B=2$

Primjer 2.

Provjerimo istinitost Eulerove formule kod tetraedra.

Tetraedar ima  vrha,  bridova i  strane.

null

null

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 5.

Provjerite istinitost Eulerove formule kod sljedećih geometrijskih tijela.

1. 

   
   $V=$ $;S=$  $;$
   $B=$ $\Rightarrow V+S-B=$  ​  

   

   null

   null
2. 

   
   $V=$ $;S=$ $;$
   $B=$ $\Rightarrow V+S-B=$  ​  

   

   null
3. 

   
   $V=$ $;S=$  ​ $;$
   $B=$   $\Rightarrow V+S-B=$  ​

   

    
   

   null

Zadatak 6.

Koliko  $n$-terostrana prizma ima vrhova, strana i bridova?

$2n$	bridovastranavrhova
$3n$	bridovastranavrhova
$n+2$  ​	bridovastranavrhova

null

null

Zadatak 7.

Koliko $n$-terostrana piramida ima vrhova, strana i bridova?

Rješenje

$V=n+1,$ $B=2n$ i $S=n+1$ ​

---

Zadatak 8.

Provjerite Eulerovu formulu za $n$-terostranu prizmu i piramidu.

Rješenje

Uvrštavanjem dobivenih stranica, vrhova i bridova u Eulerovu formulu za piramidu, dobivamo $V+S-B=n+1+n+1-2n=2.$ Analogno tomu, provjerite za prizmu.

---

Zatvori

Pravilni poliedri

Zanimljivost

Neke podatke o poliedrima poznavali su još stari Egipćani. Konstrukcija pet pravilnih poliedara pripisuje se Pitagori. Pitagorejci su u svojim kozmološkim teorijama davali posebno mjesto pravilnim poliedrima.

Učenje o pravilnim poliedrima sadržano je u XIII. knjizi Euklidovih Elemenata u kojoj on dokazuje da postoji samo pet pravilnih poliedara.

Nakon Biblije Elementi su najviše proučavano, tiskano i prevođeno djelo.

Posebno su kroz povijest bili zanimljivi poliedri  kojima su strane pravilni mnogokuti.

Pravilnih poliedara ili Platonovih tijela ima točno pet, što se može pokazati pomoću Eulerove formule i definicije pravilnog poliedra. Pogledajmo nazive, broj strana, vrhova i bridova svakog od tih pet pravilnih poliedara te broj pravilnih mnogokuta koji se sijeku u svakom vrhu. Nacrtajmo ih kao i pripadajuću mrežu.

Pravilni tetraedar (grč. tetra - četiri)

• $4$ strane (jednakostranični trokuti)
  
• $4$ vrha
• $6$ bridova
• $3$ jednakostranična trokuta sijeku se u svakom vrhu

​

 Pravilni heksaedar (kocka) (grč. heksa - šest)​

• $6$ strana (kvadrati)
  
• $8$ vrhova
• $12$ bridova
• $3$ kvadrata sijeku se u svakom vrhu

 Pravilni oktaedar (grč. okto - osam)

• $8$ strana (jednakostranični trokuti)
  
• $6$ vrhova
• $12$ bridova
• $3$ jednakostranična trokuta sijeku se u svakom vrhu

 Pravilni dodekaedar (grč. dodeka - dvanaest)

• $12$ strana (pravilni peterokuti)
  
• $20$ vrhova
• $30$ bridova
• $3$ pravilna peterokuta sijeku se u svakom vrhu

Pravilni ikosaedar (grč. ikosi - dvadeset)

• $20$ strana (jednakostranični trokuti)
  
• $12$ vrhova
• $30$ bridova
• $5$ jednakostraničnih trokuta siječe se u svakom vrhu

 ​

Kutak za znatiželjne

Pravilni poliedri imaju zanimljivo svojstvo dualnosti. Pravilni ikosaedar i pravilni dodekaedar međusobno su dualni. Središta strana pravilnog ikosaedra vrhovi su pravilnog dodekaedra i obrnuto. Isto su tako kocka i oktaedar međusobno dualna tijela. Tetraedar je dualan sam sebi. Zaključite u kakvoj su vezi broj vrhova i broj strana dualnih poliedara.

Povezani sadržaji

Pravilnih poliedara ima u prirodi.

Kostur jednostaničnog organizma zrakaša (lat. Circogonia icosahedra) u obliku je ikosaedra. (Slika 1) Većina ih živi duboko u vodi i plijen su koraljnim ribama. Zato se pokušavaju obraniti pomoću dvanaest šupljih bodlji iz dvanaest vrhova kostura. S nastavnicima iz biologije napravite malo istraživanje o ovom jednostaničnom organizmu. Potražite još organizama koji u prirodi imaju oblik Platonovih tijela. 

Neki virusi kao što je virus herpesa imaju oblik pravilnog ikosaedra. Istražite zbog čega.

Kristalne rešetke minerala imaju oblik Platonovih tijela.

Koje pravilne poliedre sadrži kristalna struktura kuhinjske soli? (Slika 2)

Koju strukturu ima pirit, mineral sumpora? (Slika 3)

 ​

Kutak za znatiželjne

Za razliku od pravilnih poliedara kojih je samo pet, postoje i polupravilni poliedri ili Arhimedova tijela. To su poliedri od kojih je svaki omeđen pravilnim poligonima drugačijeg tipa i kojima su sukladni poliedarski kutovi i istoimeni poligoni. Ima ih $13.$ Broj strana tih poliedara je između $8$ i $92.$ Istražite i napravite prezentaciju o Arhimedovim polupravilnim tijelima.

Albrecht Dürer (1471.-1528.), njemački slikar i kipar, pravio je od papira pravilne i polupravilne poliedre. Nacrtao je njihove mreže i savio ih u poliedar. Pokušajte i sami napraviti što više poliedara. Iskušajte se i u tehnici origamija.

Johannes Kepler (1571.-1630.) opisao je dva pravilna nekonveksna poliedra - veliki i mali zvjezdasti  dodekaedar. Dva stoljeća poslije, Louis Poinsot (1777.-1859.), francuski matematičar i fizičar, opisuje još dva zvjezdasta pravilna nekonveksna poliedra - veliki dodekaedar i veliki ikosaedar. Po njima su dobili naziv Kepler-Poinsotova tijela. Cauchy je dokazao da postoje samo četiri takva pravilna nekonveksna poliedra.