x
Učitavanje

7.5 Logaritamske nejednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Ispit iz matematike

Marta je na testu iz cjeline Trigonometrija pravokutnog trokuta ostvarila 48 od 50 bodova i, naravno, zaradila odličnu ocjenu. Nastavnica je bila zadovoljna, ali je najavila da će tu cjelinu pisati još jedanput ove nastavne godine. Koliko bi najviše vremena moglo proći od testa da Marta bez ponavljanja dobije barem ocjenu dobar (ostvari barem 28 bodova), ako je funkcija zaboravljanja log B = log B 0 - 0.3 log t + 1 , gdje je B broj bodova na ponovljenom testu, B 0 broj bodova na prvom testu i t vrijeme u mjesecima?

Postavimo li taj problem matematički, dobit ćemo log 48 - 0.3 log t + 1 > log 28 .

Kako nam je nepoznanica argument logaritma, ta nejednadžba se naziva logaritamska nejednažba.

U ovoj jedinici ćemo naučiti kako rješavati logaritamske nejednadžbe.

Logaritamska nejednadžba

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba kod koje je nepoznanica argument ili baza logaritma.

Primjer 1.

Neki primjeri logaritamskih nejednadžbi su:​ log 2 3 x + 4 0 , log x 2 + log 2 x 3 , log x - 1 3 > 1 .

Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

10 2 x - 1 > 1

 Logaritamske nejednadžbe

 Eksponencijalne nejednadžbe

 Ostalo

null
null

Primjer 2.

Pogledajmo kako bismo riješili uvodni primjer da imamo jednadžbu: log 48 - 0.3 log t + 1 = log 28 .

Nepoznanicu ostavimo na lijevoj strani, pomnožimo s - 1  i dobivamo

0.3 log t + 1 = log 48 - log 28 .

Razliku logaritama s desne strane svedemo na logaritam kvocijenta

0.3 log t + 1 = log 48 28 .

Izračunajmo sada logaritam i podijelimo ga s 0.3 . Dobit ćemo

log t + 1 = 0.780277 .

Kako je logaritam po bazi 10 , da bismo se oslobodili logaritma djelujemo s eksponencijalnom funkcijom s bazom 10

t + 1 = 6.0294 .

Odnosno t = 5.0294 .

Odredili smo da je vrijeme za koje će Marta zaboraviti gradivo točno do ocjene dobar nešto više od 5 mjeseci. Kako se test provodio u siječnju, Marta bi bez ponavljanja gradiva mogla na završnom testu dobiti ocjenu dobar.

Ipak, odlučila je da će prije završnog testa ponoviti sve sadržaje iz matematike.

Odgovor na naše pitanje dobili smo bez rješavanja nejednadžbe. Jesmo li dobro razmišljali? Koja je razlika u tome rješavamo li nejednadžbu u odnosu na jednadžbu? Možemo li uvijek umjesto znaka nejednakosti staviti znak jednakosti?

Zadatak 1.

Spojite nejednadžbe s njihovim rješenjima.

2 x > - 4  
- 2 x > - 4
null
null

Kod linearnih nejednadžbi naučili smo da se smjer znaka nejednakosti mijenja kad množimo ili dijelimo s negativnim brojem. Zašto?

Pogledamo li funkciju f x = 2 x , uočavamo da je ona monotono rastuća: što je x veći, to je i y veći.

Pogledamo li funkciju f x = - 2 x , uočavamo da je ona monotono padajuća: što je x veći, to je y manji. ​

Grafičko rješavanje logaritamskih nejednadžbi

Prisjetimo se monotonosti logaritamske funkcije. Na idućem grafičkom prikazu možete pomicati točke i pratiti njihove koordinate.

Zatim promijenite vrijednost baze i ponovno pomičite točke.

Što se događa s vrijednostima koordinata točaka?

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Kad je baza logaritamske funkcije f x = log a x veća od 1 , a > 1, funkcija je

 
.
Što je x veći, to je vrijednost funkcije y
 
.
Kad je baza logaritamske funkcije f x = log a x između 0 i 1 , 0 < a < 1 , funkcija je
 
.
Što je x veći, to je vrijednost funkcije y
 
.

rastuća
manja
padajuća
veća

null
null

Primjer 3.

Grafički riješimo logaritamsku nejednadžbu log 2 x > 1 .

Logaritamska nejednadžba- baza veća od 1

Graf logaritamske funkcije s bazom 2 istaknut je zelenom bojom. Vrijednost logaritma po bazi 2 jednaka je 1 za x = 2 .

Možemo zaključiti da je vrijednost funkcije ​ f x = log 2 x veća od 1 za sve x > 2 .

Primjer 4.

Grafički riješimo logaritamsku nejednadžbu log 1 2 x > 1 .  

Logaritamska nejednadžba - baza manja od 1

Graf logaritamske funkcije s bazom 1 2 istaknut je zelenom bojom. Vrijednost logaritma po bazi 1 2 jednaka je 1 za x = 1 2 . Možemo zaključiti da je vrijednost funkcije f x = log 1 2 x veća od 1 za sve x < 1 2 . No pogledamo li još jedanput grafički prikaz, uočit ćemo da graf funkcije za negativne vrijednosti od x ne postoji.

Logaritamska nejednadžba s uvjetom

Stoga je rješenje naše nejednadžbe x 0 , 1 2 .

Zadatak 3.

Baza logaritamske funkcije uvijek je

 
od 0 i
 
od 1 , a argument
 
od 1 .

veći
različita
veća

null
null

Kod rješavanja logaritamske nejednadžbe log 2 x > 1 dobili smo rješenje x > 2 .

Kod rješavanja logaritamske nejednadžbe log 1 2 x > 1 dobili smo rješenje x < 1 2 , uz uvjet x > 0 .

Rješavanje logaritamskih nejednadžbi s pomoću svojstava logaritamske funkcije

Logaritamske nejednadžbe možemo rješavati poznavajući graf i svojstva logaritamske funkcije.

  1. Ako je baza a > 1 , onda vrijedi: log a f x > log a g x f x > g x .
  2. Ako za bazu vrijedi 0 < a < 1 , onda: log a f x > log a g x f x < g x .

Pritom moramo uvažiti da je logaritamska funkcija definirana samo za f x > 0 i g x > 0 .

Primjer 5.

Riješimo nejednadžbu ​ log 2 3 x - 6 log 2 3 .

Kako je baza veća od 1 , nejednadžba je ekvivalentna nejednadžbi 3 x - 6 3 , uz uvjet 3 x - 6 > 0 .

Rješavajući nejednadžbu dobijemo x 3 , uz uvjet x > 2 .

Presjek tih dviju nejednadžbi daje interval x 2 , 3 .

Primjer 6.

Riješimo nejednadžbu​ log 1 2 x + 5 < log 1 2 2 x - 1 .

Kako je baza manja od 1 , nejednadžba je ekvivalentna nejednadžbi​ x + 5 > 2 x - 1 , uz uvjet x + 5 > 0 i 2 x - 1 > 0 .

Rješenje nejednadžbe je x < 6 , a uvjeta x > - 5 i x > 1 2 .

Presjek ovih triju nejednadžbi je interval 1 2 , 6 .

Zadatak 4.

Riješimo logaritamsku nejednadžbu log 0.5 x + log 0.5 x - 3 - 2 .

Rješenje je detaljno objašnjeno u videu koji slijedi.

x 3 , 4   


Zadatak 5.

Spojite logaritamske nejednadžbe s intervalima rješenja.

log x - 2 > log x + 1
1 , +   
log 1 2 4 x - 3 < 0  
- 1 , +   ​
log x + 1 log 2 x   
 
log 2 3 x + 4 0  
1 , +   
null
null

Rješavanje logaritamskih nejednadžbi s pomoću inverzne funkcije

Funkcija g inverzna je funkciji f ako vrijedi:

  • g f x = x za svaki x D f
  • f g x = x za svaki x D g .

Oznaka za inverznu funkciju od funkcije f je ​ f - 1 .

Zadatak 6.

 Spojite međusobno inverzne funkcije.

0.5 x   
log 0.5 x   
log 3 x  
3 x   
log x   
log 1 3 x   
1 3 x  
10 x   ​
null
null

Logaritamske nejednadžbe možemo rješavati i djelujući inverznom funkcijom. Inverzna funkcija od logaritamske je eksponencijalna funkcija s istom bazom.

Stoga vrijedi: log a a x = x   i a log a y = y .

Pritom također moramo razmišljati o uvjetima za argument logaritma i bazu.

Primjer 7.

Riješimo nejednadžbu ​ log 1 3 1 - x 1 .

Inverzna funkcija od funkcije f x = log 1 3 x   je f - 1 x = 1 3 x .

Kako je baza manja od 1 , funkcija je padajuća - smjer nejednakosti se mijenja.

1 3 log 1 3 1 - x 1 3 1

1 - x 1 3

x 2 3

Kako je uvjet za argument logaritma 1 - x > 0 , tj. x < 1 , presjek uvjeta i rješenja je ​ x - , 2 3 .

Zadatak 7.

Riješite nejednadžbu log 0.5 x 2 - 4 x + 3 - 3 .

Rješenje nejednadžbe je​ x - 1 , 5 , a uvjeta x - , 1 3 , + . Konačno rješenje je x - 1 , 1 3 , 5 .


Rješavanje logaritamskih nejednadžbi metodom supstitucije

Neke logaritamske nejednadžbe možemo pojednostavniti upotrebom supstitucije te svesti na već poznate tipove nejednadžbi.

Primjer 8.

Riješimo nejednadžbu log x 2 + log 2 x 3 .

Uočite razliku između ovih dvaju logaritama. U prvome je argument na kvadrat log x 2 = 2 log x , a u drugome je vrijednost logaritma na kvadrat log 2 x = log x 2 .

Imamo 2 log x + log x 2 3 .

Uvrstimo li umjesto log x varijablu t , dobit ćemo kvadratnu nejednadžbu 2 t + t 2 3 . Rješenje te kvadratne nejednadžbe je interval - 3 , 1 .

Dakle log x - 3 , 1 .

Djelujemo li s inverzom funkcijom, dobit ćemo da je x 10 - 3 , 10 1 .

Uvjet za argument je x > 0 . Rješenje naše nejednadžbe je interval x 0.001 , 10 .

Zadatak 8.

Riješite nejednadžbu ​ log 3 2 x - 3 log 3 x - 2 .

log 3 x 1 , 2

x 3 , 9  


Kutak za znatiželjne

Odredite sve cijele brojeve x za koje vrijedi log 4 x + 12 · log x 2 1 .

x 2,3,4

Ovo je zadatak sa županijskog natjecanja iz matematike 2015. Postupak rješavanja možete pronaći na poveznici rješenja Zadataka s natjecanja zadatak B-3.1.


...i na kraju

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba kod koje je nepoznanica argument ili baza logaritma. ;

Logaritamske nejednadžbe rješavamo primjenom svojstva monotonosti logaritamske funkcije i/ili upotrebom inverzne funkcije.

  1. Ako je baza logaritma a > 1 , onda vrijedi: log a f x > log a g x f x > g x (smjer nejednakosti ostaje isti).
  2. Ako za bazu logaritma vrijedi ​ 0 < a < 1 , onda: log a f x > log a g x f x < g x (smjer nejednakosti se mijenja).

Pritom moramo uvažiti da je logaritamska funkcija definirana samo za f x > 0 i g x > 0 ;te za bazu a > 0 ; i a 1 ;. Stoga se rješavanje logaritamskih nejednadžbi često svodi na sustave nejednadžbi.

Idemo na sljedeću jedinicu

7.6 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih nejednadžbi