Matematika 2 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Zašto meljemo kavu? Jeste li kada razmišljali o tome? Zašto jednostavno ne ubacimo u vodu zrnca kave i skuhamo je? Vjerojatno bi nas prošla volja za kavom dok bi se bilo što dogodilo.

Zašto često sitnimo šećer, pogotovo kada pripremamo kolače? Napravite šlag s konzumnim bijelim šećerom i šećerom u prahu. Osjetite li razliku?

Zašto se naša krv sastoji od $25$ bilijuna crvenih i $24$ milijarde bijelih krvnih zrnaca, koji čine $5$ litara krvi? Njihova je zadaća da raznose kisik po cijelom tijelu. Upijaju i otpuštaju kisik, odnosno izmjenjuju ga s ugljikovim dioksidom iz stanica, i to samo svojom površinom. Dakle, što su manja, ima ih više (za isti volumen) te time bolje ispunjavaju svoju zadaću.

Problem površine

Primjer 1.

Zamislimo da su nam sva crvena krvna zrnca, kojih u ljudskom organizmu ima oko $2.5$ litre, u jednoj kugli.

Kutak za znatiželjne

Općenito, ako se tijelo raspadne na $N$ dijelova, tada je povećanje oplošja približno jednako kubnom korijenu broja $N,$ tj. $\frac{O_{N}}{O} = \sqrt[3]{N},$ pri čemu je $O$ oplošje jednog tijela, a $O_{N}$ ukupno oplošje svih raspršenih čestica. Dokažite formulu.

Koristite se poznatim proporcijama za stranice nekog tijela, odnosno njihova oplošja i obujme: $r : r_{N} = k \Rightarrow O : O_{N} = k^{2}$ i $V : V_{N} = k^{3} .$

Dokaz možete provesti s pomoću formule za oplošje i obujam kugle ili valjka uz uvjet: $(r = 2 h) .$

Izjednače se obujmi jednog tijela, $V,$ i raspršenih $N$ tijela, $V_{N} .$

Dobije se da je omjer stranica (polumjera) tijela koje promatramo jednak $\sqrt[3]{N} .$

Usporedimo pripadajuća oplošja i dobiveni kvadrat omjera stranica (polumjera) zamijenimo s $\sqrt[3]{N} .$ Sredimo izraz i dobijemo traženu formulu.

Npr. za kuglu vrijedi: $V = N \cdot V_{N} \Rightarrow \frac{r}{r_{N}} = \sqrt[3]{N} .$

$\frac{O_{N}}{O} = \frac{N \cdot 4 {r_{N}}^{2} π}{4 r^{2} π} = \frac{N}{\sqrt[3]{N^{2}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{N}}{\sqrt[3]{N}} = \sqrt[3]{N}$

Pokušajte sami s formulama za valjak.

Zadatak 1.

Provjerite formulu za crvena krvna zrnca iz prethodnog primjera.

$\sqrt[3]{25 \cdot 10^{12}} \approx 29 240$

$\frac{P_{N}}{P} = \frac{2 600 \cdot 10^{4} {cm}^{2}}{900 {cm}^{2}} \approx 29 000$

Uzmimo u obzir pogrešku zaokruživanja pri računanju.

Sami provjerite za oblik valjka.

Zanimljivost

Usitnjena ugljena prašina postaje najopasniji i najstrašniji uzrok eksplozija u rudnicima, pa i katastrofa. Istodobno je ugljen u gromadama često kućni prijatelj, kreda za pisanje u igri.

Sada možemo razumjeti zašto neke tvari usitnjavamo. To činimo da bismo dobili veću površinu materije na kojoj djeluje neko svojstvo.

Što je veći broj krvnih zrnaca, bolja je apsorpcija kisika.
Što je zrno kave sitnije, voda brže dolazi do kofeina, onog što kavu čini kavom.
Što je kocka šećera manja, to jest šećer sitniji, brže se otapa.

U prethodnom nam je primjeru cilj bio za isti obujam dobiti što veće oplošje.

Pogledajmo sada obrnuti primjer, tzv. problem konzerve.

Praktična vježba

Problem konzerve

Kako napraviti valjkastu posudu s dnom i poklopcem tako da njezino oplošje uz zadan obujam $V$ bude što manje?

Odnosno, proizvođače zanima kako utrošiti što manje materijala (lima) za jedno pakiranje?

Diferencijalnim računom (koji vi još ne znate) može se dokazati da je oplošje minimalno ako je osni presjek valjka kvadrat. Međutim, pogledate li u ostavu, hladnjak ili neko slično mjesto u kuhinji, vidite da su uglavnom limenke više nego što je promjer dna. Provjerimo zašto je tako.

Pri rezanju plašta za konzervu nema otpada. Međutim pri rezanju dna i poklopca obično ostaje dio od kruga. Dakle, za minimalizaciju troškova treba uzeti u obzir da se za svako dno i poklopac izreže kvadrat (ili neki drugi mnogokut) u kojem izrezujemo krug, dno konzerve, zato uključimo otpad u izračun. Za sada ne možemo izračunati kada će to biti najpovoljnije, ali možemo pronaći nekoliko limenki i mjeriti.

Pronađite limenke istog obujma, ali različitih veličina. Uzmite metar te izmjerite potrebne veličine za računanje oplošja i obujma. Usporedite limenke istog obujma. Pokušajte odgovoriti na pitanje u kojem su omjeru visina konzerve i promjer dna. Dobivate li slične rezultate?

Omjer bi trebao biti približno jednak $h : (2 r) = 4 : π .$

Kombinirana tijela

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Sladoled u kornetu i u čašici sa mjerama.

U ovaj vrući dan odlučili ste nakon škole otići na sladoled. U slastičarnici možete birati želite li sladoled u čašici ili kornetu. Cijena im je jednaka. Netko je naručio u čašici, a netko u kornetu. Čašica je bila napunjena sladoledom do vrha, a kornet je bio pun i imao kuglicu sladoleda u obliku polukugle još iznad korneta. Tko je dobio više sladoleda za jednaku cijenu? Mjere pročitajte sa slike.

Za kornet izračunajte obujam stošca visine $6 cm$ i promjera $7 cm$ te mu dodajte obujam polukugle promjera $7 cm .$

Čašica ima oblik krnjeg stošca promjera baza $5.7 cm$ i $10 cm$ te visine $6 cm .$

$V_{k s} = 298.3 {cm}^{3}$

$V_{s + p k} = 76.9 + 89.8 = 166.7 {cm}^{3}$

Bolje su prošli oni koji su naručili sladoled u čašici.

Zadatak 3.

Silosi za žito građeni su kao cilindrični kontejneri s dnom u obliku stošca kako bi se lakše praznili . Ako je promjer baze $5 m$ te visina cilindra $8 m,$ a stošca $6 m,$ koliko žita stane u silos kada je do vrha pun ?

Silos za žito u obliku valjka i stošca na dnu — Izvor: pixabay.com

250 π {cm}^{3}

274.89 {cm}^{3}

350 π {cm}^{3}

196.35 m^{3}

ništa od ponuđenoga

null

Zadatak 4.

Teniske loptice promjera $6.7 cm$ dolaze pakirane u setu po tri u cilindričnoj kutiji. Širina kutije jednaka je širini loptice, a visoka je upravo toliko da stanu tri loptice. Koliko je praznog prostora u kutiji s lopticama?

1 574.79 {cm}^{3}

708.66 {cm}^{3}

274.89 {cm}^{3}

157.48 {cm}^{3}

null

Zatvori

Rotacijska tijela oko nas

Zanimljivost

Ilirske gomile grobovi su poglavica rodova i plemena te uglednih ljudi iz ilirskih plemena na području Dalmacije i Hercegovine. To su gomile kamenja nabacanih u obliku krnjeg stošca. Veličina gomile ovisila je o brojnosti roda ili plemena iz kojeg pokojnik potječe.

Povezani sadržaji

Megalitička kultura jedna je od najdužih i najrasprostranjenijih graditeljskih kultura u povijesti. Nastala je na početku ljudske povijesti, oko 3 800 g. pr. Krista, i trajala tri tisućljeća. Tri su osnovne vrste megalita. Jedna su vrsta golemi kameni blokovi, najčešće valjkastoga, stožastoga ili vretenastog oblika.

Istražite više o ostavštini megalitičkih građevina. Jesu li se u prošlosti koristili još neki geometrijski oblici? Jesu li ih ljudi pronalazili u prirodi ili oblikovali, klesali, rezbarili i slično? Zašto su ih gradili i kako su uspjeli obrađivati tako goleme blokove? Pronađite najpoznatije megalite u svijetu.

Zadatak 5.

Prerađivači papira kupuju drva od šumarskih poduzeća. Ako im je prodano $20$ debla promjera $60 cm$ i duljine $5 m,$ koliko su kubika drva kupili? (Pod kubik se podrazumijeva kubni metar.)

$9 π m^{3} \approx 28.3 m^{3}$

Projekt

Sakupljeni stari papir — Izvor: pixabay.com

Istražite koliko se šume uništi za proizvodnju papira. Što država i lokalne zajednice poduzimaju u vezi s tim? Kako vi sudjelujete u smanjenju uništavanja šuma? Organizirajte se s razrednikom i provedite malu akciju skupljanja papira. Povežite skupljeni papir u oblik kocke ili smotajte u valjak te izračunajte njegov obujam. Izmjerite masu tih blokova pa izračunajte gustoću skupljenog papira.

Posjetite ustanove u svojemu mjestu koje se bave otkupom papira, to jest imaju reciklažna dvorišta. Zamolite stručnjake da vam održe kratku edukaciju o čuvanju naših šuma, o odvajanju otpada i trenutačnom stanju u vašemu mjestu. Koliko su vaši sugrađani senzibilizirani o uništavanju našeg planeta? Pokušajte utjecati pozitivno u svojoj okolini na odvajanje otpada i odvoženje u recikliražna skladišta.

Bilježite kojom ste se matematikom i s koliko nje koristili u ovom projektu. Napravite s nastavnicima i ostalim učenicima u školi prezentaciju o svojim saznanjima.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Kako su dani postali topliji, teta Marija odlučila je napuniti svoj bazen u dvorištu. Bazen je cilindričnog oblika promjera $2.6 m .$ Puni se s pomoću cijevi koja u jednom satu ispusti $6 hl$ vode. Koliko je bazen dubok ako se tom brzinom za pet sati napuni četvrtina bazena?

Koliko je $6 hl$ vode u kubnim metrima?

0.06 m^{3}

0.6 m^{3}

6 m^{3}

60 m^{3}

null

Obujam punog bazena iznosi

12

m^{3}

null

Dubina bazena iznosi:

56.5 cm

113 cm

226 cm

424 cm .

null

Zadatak 7.

Koja geometrijska tijela nastaju rotacijom sljedećih ravninskih likova (kao u interakciji u nastavku):

kružnog isječka središnjeg kuta $120 °$ koji rotira oko polumjera
pravokutnog trokuta s katetama $3$ i $4$ koji rotira oko srednjice paralelne s katetom duljine $3$
tupokutnog trokuta kraćih stranica $3$ (os rotacije) i $5$ kojem je treći vrh udaljen od osi rotacije za $3$
kvadrata stranice $4$ koji rotira oko dijagonale?

Izračunajte njihova oplošja i volumene.

Uputa za uporabu interakcije: nakon svakog zadatka osvježite interakciju (oznaka u gornjem desnom kutu lijevog prozora) kako biste obrisali trag koji ostavlja geometrijski lik rotacijom oko svoje osi.

$V = 125 π$ kub. jed.; $O = 75 π + \frac{25 π \sqrt{3}}{2}$ kv. jed.
$V = 10 π$ kub. jed.; $O = 21 π$ kv. jed.
$V = 9 π$ kub. jed.; $O = 3 π (5 + \sqrt{58})$ kv. jed.
$V = \frac{32 π \sqrt{2}}{3}$ kub. jed.; $O = 16 π \sqrt{2}$ kv. jed.

Zatvori

...i na kraju

Praktična vježba

Opustite se na posljednjim satovima Matematike uz timski rad.

Pripremite neko geometrijsko tijelo koje nađete kod kuće (može i u školi) i donesite ga na sat. Tijelo mora biti izmjerljivo. Pripremite se za mjerenje. Na satu nasumično birate tim kojem ćete dati svoje geometrijsko tijelo. Dakle, razmijenite stvari geometrijskog oblika, ali tako da prije sata nitko ne zna što će dobiti za rad. Podijelite uloge u timu i prionite poslu. Istražite geometrijsko tijelo koje ste dobili, izmjerite, utvrdite koje vam formule trebaju i izračunajte što više elemenata iz toga geometrijskog oblika. Sastavite priču o tijelu. Zamislite da ga možete iskoristiti na neki način, napuniti nečim, usporediti ili nešto treće. Napravite prezentaciju o svojemu malome projektnom zadatku.

Ideju potražite u Swayu , Geometrijska tijela oko nas, od učenika SŠ Markantuna de Dominisa Rab, koji su radili nešto slično.