x
Učitavanje

5.3 Modeliranje eksponencijalnom funkcijom

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje
Koliko je zrnaca pijeska na plaži?

Na početku...

Na slici je Arhimed.
Brojač pijeska, Arhimed (oko 287. – 212. g. pr. Krista)

„Ima onih, kralju Gelone, koji misle da je broj zrnaca pijeska beskonačan; pod pijeskom ne mislim samo na pijesak oko Sirakuze i na ostatku Sicilije, nego na sav koji postoji u naseljenim i nenaseljenim područjima. Ima i onih koji ne misle da je beskonačan, ali da ne postoji dovoljno velik broj koji bi stanje opisao. Ali pokušat ću vam pokazati brojeve koji ne premašuju samo količinu pijeska jednaku onoj ispunjene Zemlje (...), nego i količinu veličinom jednaku svemiru.”

Uvod je to Arhimedove knjige Brojač pijeska u kojem dokazuje da je broj zrnaca pijeska u svemiru konačan i da se može zapisati. Djelo je posljedica njegove rasprave s kraljem Gelonom koji je tvrdio da je broj zrnaca pijeska na plažama Sirakuze beskonačan, dok su neki tvrdili da je konačan, ali ne postoji broj koji bi opisao tu količinu. Arhimed je procijenio da je potrebno 10 63  zrnaca pijeska kako bi se ispunio svemir.

Ipak, najpoznatija priča vezana za tu temu je legenda o podrijetlu šaha. Pogledajte animiranu priču.

Zanimljivost

Carevim matematičarima trebalo je dva dana da izračunaju broj zrna pšenice. Uz naše znanje o potencijama trebat će nam puno manje.

Trebamo zbrojiti broj zrna na svakom polju. Na prvom je to 2 0 , na drugom 2 1 i tako do zadnjeg, šezdesetčetvrtog polja gdje će broj zrna biti 2 63 . Zbroj je dan izrazom:

S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 .

Sada jednakost pomnožimo brojem 2 :

2 S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 64 .

Oduzmimo te dvije nejednakosti:

2 S - S = 2 64 - 2 0 ,

odnosno

S = 2 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Praktična vježba

Za računanje i grafički prikaz tog problema možemo upotrijebiti i Excel. Osnove uporabe tog programa učili ste u informatici. S pomoću Excela problem možemo riješiti u roku od pet minuta uz grafički prikaz. Ovako izgleda rješenje u Excelu.  

Rješenje problema broj zrna pšenice pomoću Excela.

Eksponencijalnom funkcijom moguće je modelirati probleme iz raznih područja:

Da bismo mogli modelirati podatke trebamo znati:

Pogledajmo na primjerima kako se to radi i uvježbajmo.

Određivanje eksponecijalne funkcije s pomoću točaka s grafa

Primjer 1.

Pogledajmo primjer sličan onom koji smo u prethodnoj jedinici riješili s pomoću GeoGebre.

Izračunajmo eksponencijalnu funkciju oblika f x = a · b x  ako graf funkcije prolazi kroz točke 1 , 2 3  i - 1 , 1 6 .

Prvo uvrstimo koordinate točaka u funkciju.

2 3 = a · b , umjesto​ f x uvrstili smo 2 3 , a umjesto x broj 1 .

1 6 = a · b - 1 , umjesto​ f x uvrstili smo 1 6 , a umjesto x  broj - 1 .

Sada možemo iz prve i druge jednadžbe izraziti a .

a = 2 3 b , a = b 6

Lijeve su strane jednake pa možemo izjednačiti i desne strane.

2 3 b = b 6

3 b 2 = 12

b 2 = 4

b = 2

Sada računamo da je a = 1 3 , a funkcija koju tražimo je f x = 1 3 · 2 x .

Kako izgleda graf te funkcije?

Na slici je graf zadane funkcije.

Primjer 2.

Na slici je graf eksponencijalne funkcije.

S grafa na slici očitajmo:

  • dvije točke​
  • vrijednost funkcije za x = - 1
  • onaj x za koji je vrijednost funkcije ​jednaka 12 .

Rješenje

  • ​Na grafu je najlakše očitati točke 0 , 4 i 1 , 12 , ali možemo približno očitati i neke druge točke.
  • Vrijednost funkcije je 4 3 , iako sa slike nije baš vidljivo (pri odabiru točaka treba paziti na to da su koordinate dobro vidljive kako ne bismo dobili pogrešan rezultat).
  • Vrijednost funkcije je 12 za x = 1 .

Primjer 3.

Na slici je graf eksponencijalne funkcije.

Za graf sa slike pronađimo eksponencijalnu funkciju oblika f x = a · b x .

Prvo s grafa očitajmo barem dvije točke. Uočavamo točke 0 , 3 , 1 , 6 i 2 , 12 . Sada kada imamo točke možemo ponoviti postupak iz prvog primjera.

Uvrstimo koordinate točaka u funkciju.

3 = a

6 = a · b

Slijedi da je b = 2 .

Na slici je graf funkcije f x = 3 · 2 x .

  1. Pridružite točke eksponencijalnim funkcijama.

    A 3 , 8 B 6 , 64
    f x = 2 x  
    A 6 , 8 B 7 , 32
    f x = 1 512 · 4 x
    A 1 , 7 B 3 , 63
    f x = 7 3 · 3 x
    null
  2. graf

    Na slici je prikazan graf eksponencijalne funkcije. Graf os ordinata siječe u točki s y koordinatom jednakom
     
    .
    Za argument - 1 vrijednost funkcije jednaka je
     
    .

    2
      8

     

    null
  3. Odaberite pravu funkciju za grafove.

    Uputa: Funkcije izračunaj kao u primjeru 3 .

    graf 1

    null

  4. graf 2

    null

  5. graf 3

    null
    null

Modeliranje realnih problema eksponencijalnom funkcijom

U realnim problemima koje ćemo rješavati promatramo dvije veličine koje ovise jedna o drugoj. Na primjer, u takvom su odnosu promjena temperature u određenom vremenu. Čaj koji je skuhan i ima temperaturu 100 ° C s vremenom će se hladiti. Možemo pratiti promjenu i zapisati temperaturu nakon dvije minute, nakon četiri minute i tako dalje.

Podatke prikažemo tablično i tražimo matematički model, tj. matematičku funkciju koja povezuje podatke. Ako podatke prikažemo u koordinatnom sustavu, katkad ne možemo razlikovati linearni i eksponencijalni model. Kako odabrati model?

Podsjetimo se linearnog modela.

Primjer 4.

f x = 2 x - 1

x
0 1 2 3
f x - 1
1 3 5
razlika argumenta 1
1 1 1
razlika vrijednosti funkcije 2 2 2 2

Kod linearnog modela razlika između vrijednosti funkcije je konstantna.

Pogledajmo sada jednu eksponencijalnu funkciju.

f x = 2 x

x 0 1 2 3
f x 1 2 4 8

razlika argumenata 1 1 1 1
kvocijent vrijednosti funkcije 2 : 1 = 2
4 : 2 = 2 8 : 4 = 2 16 : 8 = 2

Ako dijeljenjem uzastopnih vrijenosti funkcije za istu razliku argumenata imamo približno iste kvocijente, model je eksponencijalni i tražimo funkciju oblika f x = a · b x .

Ipak u realnim su situacijama često odstupanja velika pa ne možemo očekivati dobro predviđanje rezultata. U nastavku pogledajte nekoliko primjera u kojima smo primijenili eksponencijalni model.

Primjer 5.

g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 16 36 70 147 248 361 513 587 719 817

U tablici su prikazani podatci o broju korisnika interneta y (u milijunima) u svijetu od 1995. do 2004. godine, gdje je g redni broj godine.

Podatke prikažimo u koordinatnom sustavu tako da ucrtamo točke s koordinatama g , t .

Točke u koordinatnoj ravnini.

Točke s koordinatne ravnine možemo opisati eksponencijalnom funkcijom oblika f x = a · b x . Pritom nam pomaže GeoGebra (prisjetite se iz jedinice 5.2. kako dobiti funkciju iz niza točaka s pomoću GeoGebre).

Funkcija kojom se može opisati rast broja korisnika interneta u godini dana je izrazom:

f ( x ) = 8.58 e 0.44 x .

Kao baza eksponencijalne funkcije pojavio se broj e .

Eulerov broj e je iracionalan broj, a više o njemu naučit ćete u idućim modulima.

e 2.718281828459045235360287471352..

Funkcija ne opisuje idealnu situaciju i neke točke „bježe” s grafa.

Na slici je grafički prikaz funkcije koja je aproksimacija zadanih točaka.

Primjer 6.

Odredimo broj korisnika interneta 2005. godine koristeći se funkcijom koju smo pronašli u prethodnom primjeru.

U eksponencijalnu funkciju uvrstimo ​ x = 11 .

f ( 11 ) = 8.58 e 0.44 · 11

Dobili smo broj od 1.085 milijardi korisnika.

Pronađimo na internetu pravi podatak. Koliko se podatci razlikuju?

Broj korisnika 2005. godine bio je 1.018 milijardi korisnika.

Primjer 7.

Izradili ste svoju mrežnu stranicu i ugradili brojač posjeta te pratili broj posjeta svaki mjesec. U tablici je prikazan broj posjeta y i mjeseci x .

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 39 70 126 227 408 735 1 322 2 380 4 285
  1. Pronađite eksponencijalni model za podatke.
  2. Prema modelu koji ste našli koliko posjeta očekujete nakon 15 mjeseci.
  3. Možete li s grafa približno očitati kad će stranica imati 10 000 posjeta?

a. Model možemo pronaći kao u primjeru 1. ili kao u primjeru 4. Riješimo to na oba načina.

  • I. način

    Uzmimo dvije točke s početka i sredine tablice 2 , 39 i 5 , 227 .

    Uvrstimo ih u eksponencijalni model f x = a · b x .

    39 = a · b 2 a = 39 b 2

    227 = a · b 5 a = 227 b 5

    b 3 = 227 39 b = 1.8

    a = 325 27 12.04

    Eksponencijalni model koji opisuje naš problem je dakle f x = 12.04 · 1.8 x .

    Opisuje li model dobro dani problem možemo provjeriti tako da u dobivenu formulu uvrstimo nekoliko vrijednosti iz tablice. Uzmimo sedmi i deseti mjesec i provjerimo.

    f 7 = 12.04 · 1.8 7 = 737

    f 10 = 12.04 · 1.8 10 = 4 298

    Vidimo da razlike nisu velike, ali ipak postoje.

  • II. način

    Ucrtajmo točke iz tablice i iskoristimo naredbu PrilagodbaRasta(<lista točaka>).

    Ako uzmemo u popis točaka točke koje smo upotrijebili u prvom načinu, dobit ćemo istu funkciju. Uza sve točke iz tablice funkcija će se malo razlikovati.

    f x = 12.1 · 1.8 x

    Koliko dobro taj model opisuje naš problem? Kolika su sada odstupanja?

    f 7 = 12.1 · 1.8 7 = 740.79

    f 10 = 12.1 · 1.8 10 = 4 320.27

    Kod ovog su modela odstupnja veća.

b. f 15 = 12.04 · 1.8 15 = 81 230

Nakon 15  mjeseci u idealnim uvjetima broj pregleda bio bi 81 230 . U realnim bi uvjetima broj pregleda bio manji.

Na slici je graf modeliranja.

c. S grafa očitavamo da će broj posjeta dosegniti 10 000 nakon približno 11 mjeseci i 13 dana.


Zadatak 1.

Tablica prikazuje plaće košarkaša u NBA-u od 1980. do 1998. u tisućama dolara. Pronađite eksponencijalnu funkciju koja opisuje taj rast. Izračunajte koliku bi plaću danas prema tom rastu trebao imati košarkaš u NBA-u i provjerite točnost dobivenih rezultata.

g   0 5 10 15 16 17 18
y   170 325 750 1 900
2 000
2 200
2 600
Na slici je graf u GeoGebri.

Eksponencijalna funkcija je f x = 161.43 · 1.17 x .

Današnja plaća bila bi viša od 52 milijuna, ali ipak prema podatcima s interneta ona je „samo” 29 milijuna. Razmislite zašto nismo mogli dobiti točniju vrijednost.


Problem populacije

Zanimljivost

Thomas Malthus (1766.  – 1834., engleski demograf)
Thomas Malthus (1766. – 1834., engleski demograf)

Populacija je skupina ljudi, životinja, biljaka ili nekih organizama koji žive na određenom području i u određenom vremenu. Ljudi odavno nastoje dobiti model kojim će moći predvidjeti populaciju ljudi, ali i drugih organizama. Zašto?

Thomas Malthus (1766. 1834., engleski demograf) modelirao je 1798. godine demografski rast bez migracija.

Kako izračunati koliki će, uz idealne uvjete, biti stanovnika nekoga grada ili države za pet, deset ili više godina? Kada Zemlja više neće moći hraniti sve stanovnike svijeta? To su pitanja koja muče demografe, ali i obične ljude. Odgovor nudi jedan model.​

Malthusov model

N = N 0 e k t u z N 0 = N 0

k – koeficijent rasta ili pada​

t – vrijeme u satima

N 0 – početni broj jedinki

Ako je​ k < 0 populacija pada, za​ k > 0 riječ je o rastu populacije. Kad je k = 0 , broj jedinki populacije se ne mijenja.

Taj model ne uzima u obzir promjenjivost stope rasta, mjenjanje okoliša u kojem jedinke žive, količinu hrane i vode pa broj jedinki neograničeno raste. Prema takvome modelu za 200  godina broj goveda bio bi toliki da bi masom premašili masu Zemlje.

Zanimljivost

Na slici je europski zec

Thomas Austin ostat će poznat u povijesti kao čovjek koji je u Australiju donio zečeve. Bio je zaljubljenik u lov i iz Engleske je donio 24 zeca. Nakon šest do sedam godina taj se broj popeo na 14 000 jer zečevi ondje nisu imali prirodnih neprijetelja. Danas ih je više od 200 milijuna. U Australiji su prouzročili golemu štetu na usjevima te izazvali eroziju tla. Upotrijebljen je čak i virus koji je djelovao samo na zečeve.

Primjer 8.

Ljudi su na mali otok dovezli zečeve prije osam godina. Trenutačno na otoku ima 1 400 zečeva uz koeficijent rasta 0.55 po godini.

  1. Koliko je zečeva bilo u početku?
  2. Koliko će ih biti za 12 godina?

Rješenje

Koristimo se Mathusovim modelom.

  1. N t = N 0 e k t N 0 = N t e k t = 1400 e 0.55 · 8 50

    U početku je bilo 50 zečeva.

  2. N 12 = 50 · e 0.55 · 20 2 993 707

    Uz uvjet da se ne promijene okolinosti (voda, hrana, bez prirodnih neprijatelja), bit će ih oko tri milijuna.

Zadatak 2.

Početni broj bakterija u kulturi je 500 . Koeficijent rasta je 0.4 u jednom satu.

  1. Napišite funkciju koja opisuje broj bakterija u satu.
  2. Koliko je bakterija nakon jednog sata?
  3. Koliko je bakterija nakon deset sati?​
  1. N t = 500 · e 0.4 · t
  2. 746
  3. 27 300

Newtonov zakon hlađenja

Hlađenje tijela prema Newtonovu zakonu događa se prema formuli:

T t = T S + T 0 - T s e - k t .

T - temperatura tijela nakon vremena t  

T S temperatura okoline

T 0 početna temperatura zagrijanog tijela

k pozitivna konstanta hlađenja

Primjer 9.

Na slici je šalica kave.

Temperatura šalice kave je 100 ° C u sobi s temperaturom 25 ° C . Konstanta hlađenja je 0.048 .

  1. Pronađimo eksponencijalni model hlađenja kave.
  2. Kolika će biti temperatura šalice kave nakon deset minuta? Ako je moguće bez opeklina popiti kavu od ​ 68 ° C , možemo li početi piti?

Rješenje

  1. T t = 25 + 75 e - 0.048 t
  2. T 10 = 25 + 75 e - 0.048 · 10 = 71.41 ° C

Pričekajmo još malo prije uživanja. Kava toplija od 68 ° C može izazvati opekline trećeg stupnja.

Povezani sadržaji

Na slici je policajac-detektiv koji će riješiti slučaj.

U forenzici se često baš taj zakon koristi za utvrđivanje vremana ubojstva. Ako znamo kada se ubojstvo dogodilo, s pomoću postojanja ili ne postojanja alibija možemo eliminirati sumljivce i pronaći zločinca.

Zadatak 3.

Bila je kišna noć. Inspektora Beru pozvali su u 23.15 da riješi slučaj ubojstva. Stigao je u 23.30 . Trebalo je biti jednostavno. Poprište je bilo netaknuto, a policija je držala troje osumnjičenih u kući gdje se zločin dogodio. Bruno, Jan i Jurica su prijatelji, a Monika je sestrična žrtve. Inspektor je nakon ispitivanja osumljičenih zapisao:

Inspektor Bero razmišlja: „Kada bih znao vrijeme smrti znao bih i ubojicu.” Inspektorov pomoćnik Marin gleda termometar u sobi gdje je temperatura 25  stupnjeva. Doktor Brzić mjeri temperaturu žrtve 33.9 stupnja, a izračunao je i konstantu hlađenja k = 0.05 . Sada je 1  sat nakon ponoći.

Pomoćnik Marin izvadi tablet i počne kuckati.

„Marine, nije vrijeme za igranje igrica, težak je slučaj pred nama”, komentira inspektor.

„Inspektore, ne igram igrice. Primijenit ćemo matematiku. Napravio sam eksponencijalni model kojim ćemo riješiti slučaj.  

„Napravio si što? Daj da ja to vidim! Pa, to je fantastično. Idemo brzo riješiti slučaj.”

Možete li s pomoću Marinova modela pomoći inspektoru da otkrije tko je ubojica? U koliko je sati počinjen zločin? Tko nema alibi?

Iskoristite Marinovu aplikaciju i riješite zločin. Možete li odrediti vrijeme ubojstva?

Upišite temperaturu tijela žrtve. Pomoću klizača namjestite temperaturu okoline. Na grafu se nalazi točka čija x koordinata govori vrijeme ubojstva.

Povećaj ili smanji interakciju

Dobili ste da je ubojstvo počinjeno 6 sati prije, dakle oko 19.00 . Ako pozorno posložite gdje i kada je tko bio, dobit ćete da je jedino Jurica u to vrijeme bio u kući sam sa žrtvom.

U aplikaciji smo upotrijebili eksponencijalni model hlađenja.

T t = T s + 37 - T s · e - 0.05 · t

Za temperaturu tijela uzeli smo uobičajnu temperaturu čovjeka 37 ° C .

Još nemamo dovoljno znanja da izračunamo proteklo vrijeme t iz temperature tijela. To ćemo moći napraviti u sljedećem modulu.


...i na kraju

Za kraj jedna zanimljivost vezana za eksponencijalni rast.

Sanjate li o putovanju u svemir? Ne treba vam svemirski brod. Dovoljan vam je list papira.

Nije šala. Pogledajte sljedeću animaciju i shvatit ćete kako to napraviti.