10.2 Stožac

Definicija stošca

Piramidu smo definirali kao poliedar kojem je baza konveksni mnogokut, a sve su ostale strane (pobočke) trokuti sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide. Sve pobočke zajedno tvore pobočje piramide. Pogledajmo u sljedećoj interakciji što se događa s pravilnom piramidom kada joj se povećava broj stranica/pobočki, a smanjuje joj se duljina brida osnovice.

Dakle, možemo zaključiti da $n$-terostrana pravilna piramida za beskonačno veliki $n$  postaje oblo geometrijsko tijelo koje nazivamo stožac.

Stožac je najmanji konveksni skup koji sadržava krug i točku izvan ravnine kruga.

Stožac, kao i valjak, možemo definirati s pomoću izvodnice.

 ​

Stožac je geometrijsko tijelo omeđeno

 

koju čine sve dužine $\stackrel{-}{VT},$ pri čemu je $T$ proizvoljna točka kružnice. Krug se naziva

 

stošca, zakrivljena ploha njegov je

 

, a spojnica $\stackrel{-}{VT}$

 

stošca.
Ako je $S$ središte baze stošca, spojnicu $\stackrel{-}{VS}$ nazivamo

 

stošca. Ako je os stošca okomita na ravninu baze, stožac je

 

, inače je

 

stožac.
Točka $O$ je

 

vrha $V$ na bazu stošca.

izvodnica

baza

os

uspravan

ortogonalna projekcija

krugom i zakrivljenom plohom

plašt

kosi

 

null

Kutak za znatiželjne

Neka su u nekoj ravnini zadane elipsa i točka $V$ izvan te ravnine. Stožac je geometrijsko mjesto točaka koje čine sve dužine između zadane elipse i vrha $V.$ Elipsa je baza stošca, a $V$ vrh stošca. Ako s $T$ označimo proizvoljnu točku na elipsi, dužinu $\stackrel{-}{VT}$ nazivamo izvodnica stošca. Skup svih točaka izvodnice, kada točka $T$ prolazi elipsom, nazivamo plašt stošca. Udaljenost vrha $V$ od baze je visina stošca. Ako je baza elipsa, stožac je eliptični, a ako je krug, stožac je kružni. U daljnjem ćemo radu podrazumijevati da je stožac kružni.

Povezani sadržaji

Conus ili puž stožac (puž čunjaš) rod je morskih puževa prednjoškržnjaka, kojeg čini više od $750$ priznatih vrsta. Čunjaši žive u Indijskom i Tihom oceanu, te u Sredozemnome moru, na pješčanom dnu i stjenovitoj obali. Predatori su naoružani otrovom koji može biti smrtonosan i za čovjeka. Zato se ubrajaju među najotrovnija bića na svijetu.

Na slici je Conus monile ili ogrlica. I ta je vrsta, kao i ostale, grabežljiva i otrovna. Sposobni su ubosti ljude. Zato sa živim puževima treba oprezno rukovati ili ih uopće ne dirati.

Još zanimljivosti o tim vrstama puževa potražite na internetu. Pročitajte članak o Conus snailu. O najotrovnijoj vrsti Geography Cone pročitajte na stranicama Nacional Geographica.

Mreža stošca

U videosnimci pozorno pogledajte kako izraditi stožac iz dane mreže.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Vidjeli ste da je za izradu stošca potrebna kružnica, odnosno kružni isječak. Ponovimo osnovne pojmove i formule o kružnom isječku.

Dani kružni isječak dopunite točnim oznakama i formulama na za to označenim mjestima (crtama).

$S$ 

$\alpha$  ​

$r$  ​

$l=\frac{r\pi \alpha }{180°}$  ​

$\frac{r·l}{2}$  ​

null

null

Pridružite nazive pripadajućim oznakama kružnog isječka.

$r$	površina kružnog isječkapolumjersredišnji kutsredišteduljina kružnog luka
$\alpha$	površina kružnog isječkapolumjersredišnji kutsredišteduljina kružnog luka
$l$  ​	površina kružnog isječkapolumjersredišnji kutsredišteduljina kružnog luka
$S$	površina kružnog isječkapolumjersredišnji kutsredišteduljina kružnog luka
$p_{ki}$  ​	površina kružnog isječkapolumjersredišnji kutsredišteduljina kružnog luka

null

null

Zadatak 2.

Ako ste pozorno gledali videosnimku, znate odgovore na sljedeća pitanja.

Postavite odgovarajuće oznake na mrežu uspravnog stošca.

 površina plašta

 površina baze

$r$

$2r\pi$

$s$

null

null

Mreža stošca sastoji se od

 

elemenata.
Baza je

 

a plašt

 

. Duljina luka kružnog isječka  jednaka je

 

. Polumjer kružnog isječka jednak je

 

stošca.

izvodnici

kružni isječak

dvaju

opsegu kruga

krug,

null

null

Zatvori

Primjer 1.

Kakav stožac dobijemo ako imamo kružni isječak polumjera $6\mathrm{cm}$ sa središnjim kutom $120°?$ Odredite stošcu polumjer i visinu.

​Najprije iz zadanog plašta izračunajmo polumjer baze, $r.$

$\frac{6·\pi ·120°}{180°}=2r\pi \Rightarrow r=2\mathrm{cm}$ 

Zatim iz pravokutnog trokuta (kao na slici) možemo dobiti visinu, $h.$

$h=\sqrt{s^2-r^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$

Izradi vježbu

Izradite uspravni stožac iz prethodnog primjera. Za pomoć, pogledajte još jedanput prethodnu videosnimku.

Koje elemente možemo izračunati u stošcu?

Elementi stošca

Poznavajući piramidu i valjak, označite elemente stošca (na sredinu predviđene crte).

 polumjer baze

 baza stošca

 izvodnica

 visina

 vrh stošca

 os stošca

null

null

Povežite definicije s pripadajućim elementima stošca.

Točka najudaljenija od baze	vrh stošcaizvodnicastožasta plohaos stošcakrug
Pravac koji prolazi vrhom stošca i središtem baze	vrh stošcaizvodnicastožasta plohaos stošcakrug
Dužina koja povezuje vrh stošca s točkom na obodu baze	vrh stošcaizvodnicastožasta plohaos stošcakrug
Baza stošca	vrh stošcaizvodnicastožasta plohaos stošcakrug
Plašt stošca	vrh stošcaizvodnicastožasta plohaos stošcakrug

null

null

Osni presjek stošca leži u ravnini koja sadržava

os

stošca. Osni presjek stošca je

 trokut

. Ako je stožac uspravan, trokut je

 jednakokračan

.

null

null

Kao i kod kosog valjka, od svih osnih presjeka kosog stošca izdvaja se onaj okomit na bazu stošca. Takav osni presjek naziva se karakteristični presjek stošca. Stranice tog trokuta su promjer baze te najkraća i najdulja izvodnica.

Zadatak 3.

Neka je karakteristični presjek kosog stošca pravokutan jednakokračan trokut s površinom $18{\mathrm{cm}}^2.$ Koliki su visina te polumjer baze stošca?

Jednakokračni trokut s jednakim katetama ... $s_m=2r$

Površina pravokutnog trokuta... $P=\frac{2r·s_m}{2}=r·s_m\Rightarrow 2r^2=18\Rightarrow r=3\mathrm{cm}$ polumjer

Pravokutni trokut... $2·{\left(2r\right)}^2={\left(s_M\right)}^2\Rightarrow s_M=2r\sqrt{2}=6\sqrt{2}\mathrm{cm}$ najveća izvodnica.

Visina je jednaka najkraćoj izvodnici ... $h=2r=6\mathrm{cm}$ 

Ako je osni presjek uspravnog stošca jednakostranični trokut, takav se stožac naziva jednakostranični stožac. Njegov plašt razvijen u ravnini jest polukrug.

Zadatak 4.

Ako je plašt jednakostraničnog stošca polukrug duljine luka $6\pi ,$ izračunajte polumjer baze $\left(r\right),$ duljinu izvodnice $\left(s\right)$ te visinu stošca $\left(h\right).$

Duljina luka plašta... $2r\pi =6\pi \Rightarrow r=3$

Osni je presjek jednakostranični trokut... $s=2r=6$

Visina stošca je visina jednakostraničnog trokuta... $h=\frac{s\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Oplošje stošca

Oplošje piramide kojoj je površina baze $B$ te površina plašta $P$

 

. Ako umjesto

 

bazu zamijenimo s

 

, dobijemo

 

.

$O=B+P$

stožac

mnogokuta

krugom

null

null

Vrijedi li za oplošje stošca ista formula kao i za piramidu?

Da

Ne

null

null

U formuli za oplošje stošca $B$ je površina 

 

s formulom

 

, a $P$   površina

 

s formulom 

 

.

kružnog isječka

$B=r^2\pi$ 

kruga

$P=r\pi s$  ​

null

null

Kojom formulom računamo oplošje stošca?

$O=r^3{\pi }^{2}s$  ​

$O=2r^2\pi s$  ​

$O=r\pi (r+s)$  ​

$O=r^2\pi (1+s)$  ​

null

null

Oplošje uspravnog stošca polumjera baze $r$ i duljine izvodnice $s$ jednako je $O=r\pi \left(r+s\right).$

Primjer 2.

Osni presjek uspravnog stošca jest jednakokračan pravokutni trokut, a površina plašta stošca je $9\pi \sqrt{2}{\mathrm{cm}}^2.$

1. Izračunajmo površinu baze i visinu stošca.
2. Odredimo kut izvodnice s ravninom baze.

Riješenje:

1. Iz formule za površinu plašta stošca i Pitagorina poučka (osni presjek je pravokutni trokut) dobijemo polumjer baze i izvodnicu stošca.

   $\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}r\pi s=9\pi \sqrt{2}\\ {\left(2r\right)}^2=2s^2\Rightarrow r=\frac{s\sqrt{2}}{2}\end{array}\right\}{s}^2=18\mathrm{te}{r}^2=9\end{array}.$

   Površina baze je $B=r^2\pi =9\pi {\mathrm{cm}}^2.$
   

   Visina stošca je $h=\sqrt{s^2-r^2}=3\mathrm{cm}.$
   

2. Iz jednakokračnoga pravokutnog trokuta slijedi da su šiljasti kutovi jednaki pa je kut između izvodnice i ravnine baze jednak $45°.$

Zadatak 5.

Izračunajte sljedeće zadatke s uspravnim stošcem, a rješenja provjerite u interakciji u nastavku tako da klizače za polumjer baze i visinu stošca prilagodite zadatku.

Obujam stošca

Znate li vezu između obujma stošca i valjka?

Pogledajte sljedeću animaciju koja pokazuje koliko puta obujam stošca stane u obujam valjka jednakih baza.

Ako imamo stožac i valjak istih baza i iste visine, obujam valjka sadržava

 

obujma stošca.
Ako se obujam valjka računa prema formuli

 

, tada je formula za obujam stošca

 

 .

tri

$V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h$

$V=r^2\pi h$

null

null

Obujam stošca polumjera baze $r$ i visine $h$  jednak je $V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h.$

Zadatak 6.

Izračunjate obujam stošca iz 5. zadatka.

Vratite se na prethodnu interakciju i provjerite svoja rješenja. Pokušajte utvrditi kako promjena polumjera baze utječe na oplošje stošca te kako promjena visine stošca utječe njegov obujam.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

S pomoću interakcije odgovorite na sljedeća pitanja.

1. Ako se polumjer povećava, oplošje i obujam se:
   

   povećavaju

   smanjuju.

   

   null

   null

2. Ako se visina smanjuje, oplošje i obujam se:
   

   povećavaju

   smanjuju.

   

   null

   null

3. Ako se poveća polumjer baze, da bi obujam ostao isti, visina se treba:
   

   povećati

   smanjiti

   ostati ista.

   

   null
4. U interakciji postavite polumjer na $8\mathrm{cm}$ $.$ Površina baze iznosi ​ $\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}},$ a obujam stošca jednak je ​ $\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$​
   Neka je sada polumjer $4\mathrm{cm}$ $.$ Površina baze iznosi ​ $\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$ $,$ a obujam prizme jednak je  ​ ​ $\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ $.$ ​

   

    
   

   null
5. Usporedite dobivene rezultate i pridružite točne odgovore danim omjerima.
   $r_1:r_2=$ 1/8821/441/2,
   $B_1:B_2=$  ​ 81/221/41/84,
   $V_1:V_2=$  1/441/8281/2.
   Promijenite visinu pa ponovite nekoliko mjerenja. Što zaključujete?

   

    
   

   null

6. Ako omjer polumjera označimo s $r_1:r_2=k,$ tada za omjere površina baza i plašta te omjere obujmova vrijedi:

   $B_1:B_2=$
   

   $k$ 

   $k^2$  ​

   $k^3$  ​

   ništa od navedenog.

   

   null

7. ​ $V_1:V_2=$
   

   $k$  ​

   $k^2$  ​

   $k^3$

   ništa od navedenog.

   

   null

   null

8. Što vrijedi za omjere površina plašta stošca, $P_1:P_2$?
   

   $k$  ​

   $k^2$  ​

   $k^3$  ​

   ništa od navedenog

   

   null

   null

Zadatak 8.

Ponovite postupak mjerenja i uspoređivanja, ali sada mijenjajte visinu, a polumjer baze je konstanta. Usporedite visine, površine baza, oplošja i obujme. Što zaključujete? Kako oplošje i obujam ovise o visini?

Ako je omjer visina $h_1:h_2=k,$ tada za omjere površina baza, oplošja i obujma vrijedi:

$B_1:B_2=$

$1$  ​

$k$  ​

$k^2$  ​

$k^3$  ​

ništa od navedenog.

null

null

$O_1:O_2=$ 

$1$  ​

$k$  ​

$k^2$  ​

$k^3$  ​

ništa od navedenog.

null

null

$V_1:V_2=$ 

$1$  ​

$k$  ​

$k^2$  ​

$k^3$  ​

ništa od navedenog.

null

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Dokažite prethodne tvrdnje direktnim uvrštavanjem koeficijenta proporcionalnosti, $k,$ u formule za površinu baze, plašta i obujma stošca.

Napravimo to za obujam ako je $h_1:h_2=k.$ S obzirom na to da su polumjeri jednaki, jednake su i površine baza stošca.

$V_1:V_2=\left(\frac{1}{3}B·h_1\right):\left(\frac{1}{3}B·h_2\right)=h_1:h_2=k$

Ostale omjere provjerite sami.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Kako površine baza i obujma ovise o polumjeru i visini?

1. S čime je obujam proporcionalan? (moguće je više odgovora)
   

   s polumjerom

   s kvadratom polumjera

   s  visinom

   s kvadratom visine

   s izvodnicom

   s kvadratom izvodnice

   

   null

   null

2. S čime je površina baze proporcionalna?
   

   s polumjerom

   s kvadratom polumjera

   s visinom

   s kvadratom visine

   s izvodnicom

   s kvadratom izvodnice

   

   null

   null

3. S čime je površina plašta proporcionalna?
   

   s polumjerom

   s kvadratom polumjera

   s visinom

   s kvadratom visine

   s izvodnicom

   s kvadratom izvodnice

   

   null

   null

Zadatak 10.

Obujam uspravnog stošca je $100\pi {\mathrm{cm}}^3,$ a njegova izvodnica čini s ravninom baze kut od $67°22\text{'}10\text{'}\text{'}.$ Izračunajte površinu plašta stošca.

Rješenje

Uočite pravokutni trokut (kao na slici).

Iz sustava jednadžbi $\frac{1}{3}{r}^2\pi h=100$ i $\mathrm{tg}67°22\text{'}10\text{'}\text{'}=\frac{h}{r}$ dobiju se polumjer i visina.

$r=5\mathrm{cm}$

$h=12\mathrm{cm}$

Pitagorin poučak... $s=\sqrt{r^2+h^2}=13\mathrm{cm}$

$P=65\pi {\mathrm{cm}}^2$

---

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Ako stožac presječemo ravninom, što možemo dobiti?

U kojim slučajevima dobijemo točku, dužinu ili trokut? Skicirajte!

Osim tih posebnih slučajeva, kao presjek stošca i ravnine dobijemo krivulje, koje ste do sada samo djelomično upoznali.

S obzirom na to da je drugi naziv za stožac konus (čunj), presjeke stošca ravninom nazivamo konike (čunjosječnice).

Uz navedene, postoje još četiri presjeka konusa ravninom, ovisno o položaju ravnine:

• ako je usporedna s nekom izvodnicom i neke od njih siječe, presjek je parabola
• ako je usporedna s ravninom baze, presjek je krug (kružnica)
• ako je pod nekim kutom u odnosu na ravninu baze, ali ne dira bazu stošca, presjek je elipsa
• ako je okomita na ravninu baze, ali ne prolazi kroz vrh, presjek je hiperbola.

Pogledajte o kojim je presjecima riječ na slici. Prikazani su parovi konusa da bi se bolje uočila hiperbola koja ima dva kraka.

Pronalazak ovih krivulja pripisuje se Menehmu iz Atene (4. st. pr. Krista). S parabolom ste se već upoznali, a ostale ćete krivulje učiti u 3. razredu.

Modelirajmo sa stošcem

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Svatko od nas ima neki hobi ili kućnog ljubimca s kojim provodi slobodno vrijeme. Dorian u svojemu vrtu ima mali ribnjak u obliku stošca pokraj kojeg provodi veliki dio slobodnog vremena. Ribnjak je širok $3\mathrm{m},$ a dubok $1.5\mathrm{m}.$ Sada Dorian već ima toliko ribica da su roditelji odlučili proširiti njegovo malo carstvo. Proširuju ga pola metra i bit će dublji cijeli metar (oblik stošca ostaje).

Koliko je litara vode do sada stalo u ribnjak? (Sva rješenja zaokružite na jednu decimalu.) Ribnjak je kapaciteta   ${\mathrm{m}}^3$ . Nakon proširenja, ribnjaku je promjer $\mathrm{m},$ a dubina (visina stošca) iznosi    $\mathrm{m}.$

 

null

Zadatak 12.

Nakon proširivanja ribnjaka, višak zemlje potrebno je odvesti. Koliko mora minimalno biti kapacitet kamiona da bi odjedanput odvezao svu iskopanu zemlju?

Izračunajte najprije obujam novog ribnjaka.

$V=11.5{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$V=8.5{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$V=6.1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$V=5.1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$​

null

null

Koliko je potrebno iskopati kubnih metara zemlje? ${\mathrm{m}}^3.$

null

null

​Dakle, kamion mora biti minimalne nosivosti:

$8.5$ kubika ​

$5$ kubika

$3.5$ kubika

$2.5$ kubika.

null

null

Pretvorite dobivene rezultate u litre i odgovorite koliko će više vode stati u ribnjak nakon proširenja.

Rješenje

Do sada je stalo $3500$ litara, a nakon proširenja stat će $8500$ litara vode. Kapacitet se povećao za $5000$ litara.

---

Zadatak 13.

Izračunajte koliko je potrebno kvadrata pločica da bi se cijeli novi ribnjak obložio? Potrebno je napraviti i tendu (prekrivač) za ribnjak, za zaštitu od lošeg vremena. Kojih će dimenzija biti tenda?

Duljina izvodnice stošca novog ribnjaka iznosi:

$3.9\mathrm{m}$

$4.38\mathrm{m}$

$3.08\mathrm{m}$

$2.92\mathrm{m}.$​

null

null

Koliko je potrebno kupiti kvadrata pločica da bi se obložio ribnjak?

$15{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

$17{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$  

$18{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$  

$35{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ 

null

null

Potrebno je nabaviti tendu u obliku kruga polumjera $\mathrm{m},$ površine ​(zaokružite na jednu decimalu) ${\mathrm{m}}^2.$ ​

null

null

Zadatak 14.

Veliki prometni čunjevi pune se vodom radi sigurnosti da se neće pomicati pri  postavljanju na za to predviđeno mjesto. Promjer je svakog čunja $60\mathrm{cm},$ a visina mu je $100\mathrm{cm}.$ Ako cisterna koja doprema vodu ima kapacitet $1900$ litara, koliko će se čunjeva moći odjedanput napuniti?

Koliki je obujam svakog čunja u ${\mathrm{dm}}^3?$

$30\pi {\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$

$90\pi {\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$  ​

$120\pi {\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$ ​

$360\pi {\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$

Pomoć:

$1\mathrm{dm}=10\mathrm{cm}$ 

null

Cisterna koja doprema $1900\mathrm{l}$ vode napunit će odjedanput  čunjeva.

Pomoć:

​ $1{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}=1\mathrm{l}$ 

Podijelite kapacitet cisterne s obujmom jednog čunja. ​

null

Zatvori