7.6 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih nejednadžbi

Primjena eksponencijalnih nejednadžbi

Kako se smanjivanje temperature čaja može prikazati eksponencijalnom funkcijom, za rješavanje uvodnog problema trebat će nam eksponencijalna nejednadžba.

Primjer 1.

Prema Newtonovu zakonu hlađenja, temperatura tijela početne temperature $T_0,$ u okolini temperature $T_s,$ nakon $t$ minuta iznosit će $T\left(t\right)=T_s+\left(T_0-T_s\right)·e^{kt},$ gdje je $k$ konstanta karakteristična za određeno tijelo.

Marko je jednog jutra napravio eksperiment. Pet minuta nakon kuhanja čaja izmjerio je temperaturu čaja od $83°,$ dok je temperatura sobe bila $23°.$ Odredio je konstantu $k$ rješavajući jednadžbu $83=23+\left(100-23\right)·e^{5k}.$

$k\approx -0.05$

Newtonov zakon hlađenja za Markov čaj bi glasio: $T\left(t\right)=23+77e^{-0.05t}.$

Sad mu je još preostalo izračunati koliko najmanje minuta treba pričekati prije nego što popije čaj, ako želi da temperatura čaja bude najviše $50°?$​

Na grafičkom prikazu pogledajte vrijednosti temperatura u određenim trenucima. Pokušajte procijeniti koliko bi najmanje vremena trebalo proteći da temperatura Markovog čaja bude $50°$ ili manje.

Pokušajmo to izračunati s pomoću Newtonova zakona hlađenja.

Uvrstimo li da temperatura čaja treba biti $50°$ ili manje, dobivamo nejednadžbu:

$23+77·e^{-0.05t}\le 50$

$77·e^{-0.05t}\le 27$

$e^{-0.05t}\le 0.35065$

Djelujemo li s funkcijom $\ln$ (baza veća od $1,$ znak nejednakosti neće promijeniti smjer), dobit ćemo​ $-0.05t\le -1.04797,$ odnosno $t\ge 20.96.$

Dakle, Marku bi bilo najbolje da pričeka $21$ minutu kako bi bio siguran da neće opeći jezik.

Nakon koliko vremena će Markov čaj imati temperaturu $23°\mathrm{C}$ ili manje?

$30$ minuta

$T\left(30\right)=23+77e^{-0.05·30}=40$ 

$5$ sati

$T\left(300\right)=23+77e^{-0.05·300}=23.00002355$  jako blizu

nikada

Točno $23°\mathrm{C}$ neće imati nikada ( $y=23$ je asimptota ove eksponencijalne funkcije).

idući dan

Ako Marko ne popije čaj?
Točno $23°\mathrm{C}$ neće imati nikada ( $y=23$ je asimptota ove eksponencijalne funkcije).

null

null

Zadatak 1.

Koliko bi najmanje minuta majka trebala hladiti juhu na balkonu zimi, kad je temperatura zraka $5°\mathrm{C},$ ako želi da se ohladi na $20°\mathrm{C}$ ili manje (temperatura vruće juhe je $100°\mathrm{C},$ a koeficijent $k=-0.054$ )?​

Primjer 2.

Marta želi organizirati dobrotvorni koncert u svojoj školi. Da bi proširila vijest o organizaciji koncerta, može odabrati dva načina:

1. Proslijediti vijest o koncertu na adrese četvero prijatelja i zamoliti svakoga od njih da je pošalje na adrese svojih četvero prijatelja.
2. Poslati vijest na $20$ adresa nastavnika i na adrese svojih dvoje prijatelja, uz zamolbu da svatko od njih pošalje vijest na adrese svojih dvoje prijatelja.

Koji će od ta dva modela brže proširiti vijest? Nakon koliko prosljeđivanja će bolji biti prvi model (nakon koliko prosljeđivanja će više ljudi primiti vijest ako Marta upotrijebi prvi model)?

Algebarski zapis tih dvaju modela bi glasio:

$f\left(x\right)=4^x$ i

$g\left(x\right)=20+2^x.$

Pogledajmo grafički prikaz tih dviju funkcija.

Možemo uočiti da je drugi model ( $g$) povoljniji (poprima veće vrijednosti) do točke $A,$ a nakon točke $A$ veće vrijednosti poprima prvi model ( $f$).
Odredimo od koje vrijednosti za $x$ veće vrijednosti poprima funkcija $f.$

$4^x>20+2^x.$

Ova nejednadžba rješava se metodom supstitucije. Uvedimo $t=2^x.$ Dobivamo $t^2-t-20>0.$ Rješenja ove kvadratne nejednadžbe su Kako eksponencijalna funkcija ne može biti negativna, gledamo samo $t>5$ $,$ odnosno $2^x>5,$ $x>2.32.$

Dakle, u slučaju da vijest koju je Marta proslijedila proslijede i njezini prijatelji te prijatelji njezinih prijatelja, ta će vijest stići do više ljudi upotrebom 1. modela.

Primjer 3.

Ako je Marta zamislila da na humanitarni koncert dođe barem $100$ ljudi, koliko bi najmanje prosljeđivanja trebalo biti ako je upotrijebila 1. model (​ $f\left(x\right)=4^x$)?

$4^x>100$

Logaritmiranjem po bazi $4$ dobijemo $x>{\log }_{4}100,$ tj. $x>3.32.$

Ako je Marta zamislila da na humanitarni koncert dođe barem $100$ ljudi, koliko bi najmanje prosljeđivanja trebalo biti ako je upotrijebila 2. model (​ $f\left(x\right)=20+2^x$)?

$20+2^x>100$

$2^x>80$ 

Logaritmiranjem po bazi $2$ dobijemo $x>{\log }_{2}80,$ tj. $x>6.32.$

Zadatak 2.

Vrijednost tvorničkog stroja za izradu ambalaže mijenja se eksponencijalno prema formuli ​ $f\left(t\right)=50000·2^{-0.2t},$ gdje je $t$ vrijeme u godinama, a $f\left(t\right)$ vrijednost u kunama.

Vrijednost sličnog ali skupljeg stroja mijenja se eksponencijalno prema formuli $g\left(t\right)=100000·3^{-0.2t},$ gdje je $t$ također vrijeme u godinama, a $g\left(t\right)$ vrijednost stroja nakon $t$ godina.

1. Nakon koliko godina će vrijednosti strojeva pasti ispod $10000$ kuna?
2. Nakon koliko godina će vrijednost drugog stroja biti manja od vrijednosti prvog stroja?

Primjer 4.

U travnju 1986. u Černobilu u Ukrajini dogodila se eksplozija nuklearnog reaktora, pri čemu su u atmosferu iscurile velike količine radioaktivne tvari: cezij- $137,$ stroncij- $90$ i jod- $131.$

Ako je vrijeme poluraspada cezija- $137$ $30$ godina, za koliko će godina te tvari biti manje od $10\%$ u odnosu na prvobitnu količinu.

Raspad radioaktivne tvari zbiva se prema eksponencijalnom zakonu. Masa $M$ radioaktivne tvari nakon $t$ godina dana je formulom

$M=M_0·e^{kt},$ gdje je $M_0$ početna masa radioaktivne tvari i $k$ koeficijent specifičan za određenu tvar.

Vrijeme poluraspada je vrijeme potrebno da se masa smanji za polovinu početne mase.

Da bismo odredili koeficijent raspada cezija- $137,$ upotrijebit ćemo vrijeme poluraspada. ​

$\frac{1}{2}{M}_0=M_0·e^{30k}$ 

$e^{30k}=\frac{1}{2}$

$30k=-0.6931$

$k=-0.0231$

Da bismo odredili nakon koliko će godina koncentracija biti manja od $10\%$ početne, upotrijebimo istu formulu, ali sada imamo:

$M_0·e^{-0.0231t}<0.1·M_0$

$e^{-0.0231t}=0.1$

$-0.0231t<-2.3026$

$t>\mathrm{99.68.}$

Možemo zaključiti kako je potrebno gotovo $100$ godina da bi količina cezija- $137$ u atmosferi bila $10\%$ od količine koja je iscurila u atmosferu.

Zadatak 3.

Koliko je vremena potrebno da se $10$ grama ugljika- $14$ radioaktivnim raspadom reducira na manje od $2$ grama? Vrijeme poluraspada ugljika- $14$ je 5730 godina.

Primjena logaritamskih nejednadžbi

Za rješavanje problema koji se prikazuju logaritamskom funkcijom katkad ćemo zatrebati logaritamske nejednadžbe. U nastavku je dano nekoliko primjera upotrebe logaritamskih nejednadžbi.

Primjer 5.

Matematičari su 1900. godine pretpostavili da se životni vijek ljudi mijenja prema formuli​ $f\left(x\right)=40+10\ln x,$ gdje je $x$ vrijeme od 1900. godine izraženo u godinama. Koliko bi prema njihovim proračunima iznosio životni vijek 2018. godine? Koje godine bi životni vijek čovjeka premašio $100$ godina?

Na grafičkom prikazu pogledajte kako se mijenjaju vrijednosti životnog vijeka s obzirom na godine. Pomičući točku na krivulji pokušajte procijeniti koje godine bi životni vijek mogao biti dulji od $100$ godina.

Da bismo odredili životni vijek 2018. godine, izračunavamo vrijednost funkcije za $x=118.$

$f\left(118\right)=40+10\ln 118=87.71$

Da bismo odredili kad će životni vijek biti dulji od $100$ godina, rješavamo nejednadžbu: ​ $40+10\ln x>100.$

$10\ln x>60$

$\ln x>6$

$x>403.43$

Dakle, za $403.43$ godina od 1900., što bi iznosilo sredinom 2303. godine. Kod rješavanja logaritamskih nejednadžbi naučili smo da osim rješenja nejednadžbe moramo razmišljati o uvjetu da argument logaritma uvijek treba biti pozitivan. Rješavajući nejednadžbu dobili smo rješenje $x>403.43,$ a uvjet bi bio $x>0,$ tako da je konačno rješenje naše nejednadžbe $x>403.43.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Vrijednost automobila u tisućama mijenja se prema formuli $f\left(x\right)=150-40\ln x,$ gdje je $x$ vrijeme izraženo u godinama. Nakon koliko će godina vrijednost automobila pasti ispod trećine nabavne vrijednosti?

Rješenje

$150-40\ln x<50$

$x>12.18$ 

---

Zadatak 5.

Govor čovjeka ima stupanj glasnoće $60$ decibela. Stupanj glasnoće određuje se iz intenziteta zvuka prema formuli​ $L=10\log \frac{I}{I_0},$ gdje je $I$ intenzitet zvuka u $\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$ i $I_0$ najmanji intenzitet zvuka koji ljudsko uho čuje te iznosi ${10}^{-12}\frac{W}{m^2}.$

Koliko bi ljudi trebalo istovremeno govoriti da bi stupanj glasnoće bio veći od stupnja glasnoće prometne ulice ( $80$ decibela)?

Kako je stupanj glasnoće ljudskoga govora $60$ decibela, izračunajmo intenzitet zvuka $1$ čovjeka.

$60=10\log \left(\frac{I}{{10}^{-12}}\right)$

$\log \left(I·{10}^{12}\right)=6$

$I={10}^{-6}$

Intenzitet zvuka $n$ ljudi tada bi bio $n·{10}^{-6}.$ Želimo li da stupanj glasnoće govora $n$ ljudi bude veći od $80,$ dobit ćemo nejednadžbu $10\log \left(n·{10}^{-6}·{10}^{12}\right)>80.$

Rješavanjem nejednadžbe imamo $\log \left(n·{10}^6\right)>8$

$n·{10}^6>{10}^8$

$n>100$

Kako je uvjet na argument logaritma da treba biti veći od $0,$ rješenje našeg problema je $100.$ Barem $100$ ljudi bi trebalo istovremeno govoriti da proizvedu buku jednake glasnoće kao što je buka prometne ulice.

U nekom rezervatu su nabavili $10$ lisica i $2$ zeca. Kad će broj zečeva premašiti broj lisica ako se broj zečeva mijenja prema funkciji $f\left(t\right)=2+5\ln t,$ a broj lisica prema funkciji $g\left(t\right)=10+2\ln t,$ gdje je $t$ vrijeme u godinama?

Prikaz tih dviju funkcija možete pogledati u koordinatnom sustavu.

Možemo uočiti da će vrijednosti funkcije $f$ biti veće nakon otprilike $14$ godina. Odredimo točnu vrijednost.

Postavimo li problem matematički, dobivamo:

$2+5\ln t>10+2\ln t$

Rješavanjem ove nejednadžbe dobit ćemo:

$3\ln t>8$

$\ln t>\frac{8}{3}$

$t>14.39$

$f\left(14.39\right)=2+5\ln 14.39=15.33.$

Dakle, za više od $15$ godina i $4$ mjeseca broj zečeva će biti veći od broja lisica.

Želimo li odrediti koliko će tada biti zečeva, možemo broj godina, $15.33,$ uvrstiti u funkciju f i dobit ćemo $f\left(15.33\right)=2+5\ln 15.33=15.65,$ a broj lisica bi bio $g\left(15.33\right)=10+2\ln 15.33=15.5.$

Naravno, kako broj zečeva ne može biti $15.65,$ uvjet zadatka će biti ispunjen tek kad bude $16$ zečeva.

Zadatak 6.

Broj članova udruge $A$ povećava se prema formuli $A\left(t\right)=5+10{\log }_{2}t,$ a udruge $B$ prema formuli $B\left(t\right)=50+{\log }_{2}t,$ gdje je $t$ vrijeme u mjesecima. Nakon koliko će mjeseci udruga $A$ imati više članova od udruge $B?$

Rješenje

$5+10{\log }_{2}t>50+{\log }_{2}t$

$t>32$

Nakon $32$ mjeseca broj članova udruge $A$ bit će veći od broja članova udruge $B.$

---

Zatvori