x
Učitavanje

2.6 Faktorizacija kvadratnog trinoma

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Tijekom godina naučili ste razne metode rješavanja istih matematičkih zadataka. Primijetili ste da se neki zadatci mogu riješiti primjenom različitih metoda.

U prvom razredu učili ste računati s algebarskim razlomcima. Prije samog računanja razlomke je trebalo skratiti. Skratiti smo mogli razlomke kod kojih su brojnik i nazivnik bili u obliku umnoška dvaju ili više faktora. Katkad nam nije bilo jednostavno rastaviti kvadratne binome na faktore.

Faktorizaciju kvadratnog trinoma ili binoma možemo provesti upotrebom nekoliko metoda. Prisjetimo ih se:

Rastavljanje polinoma na faktore

Ponovimo

Primjer 1.

Prisjetimo se primjera skraćivanja algebarskih razlomaka kada su u brojniku i nazivniku kvadratni trinomi:

Skratimo razlomak ​ 2 x 2 - 5 x - 3 x 2 + 4 x - 21 .

Znamo da prije skraćivanja trebamo faktorizirati brojnik i nazivnik.

Možemo li u brojniku ili nazivniku izlučiti neki zajednički faktor?

Ne možemo.

Prepoznajemo li koju od poznatih formula u brojniku i nazivniku?

Kvadratni trinomi u brojniku i nazivniku nisu kvadrati binoma.

Pokušajmo primjeniti metodu rastavljanja po srednjem članu.

Brojnik zapišimo u sljedećem obliku:

2 x 2 - 5 x - 3 = 2 x 2 + x - 6 x - 3 = x 2 x + 1 - 3 2 x + 1 = x - 3 2 x + 1 .

U nazivniku možemo rastaviti srednji član na 7 x - 3 x .

x 2 + 4 x - 21 = x 2 + 7 x - 3 x - 3 · 7 = x · x + 7 - 3 · x + 7 = x + 7 x - 3 .

U ovom obliku razlomak možemo skratiti:

x - 3 2 x + 1 x + 7 x - 3 = 2 x + 1 x + 7 .

Nije jednostavno sjetiti se rastavljanja srednjeg pribrojnika kako bismo mogli primijeniti grupiranje te izlučivanje zajedničkog faktora.

Postoji li jednostavnija metoda?

Postoji li veza između kvadratnog trinoma i kvadratne jednadžbe?

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Pogledajmo što vrijedi za izraze koji imaju oblik kao izraz iz brojnika.

Kvadratni trinom zapišimo

a x 2 + b x + c = a x 2 + b a x + c a .

Primijetimo koeficijente u zagradi.

Primijenimo Vietèove formule.

a x 2 + b a x + c a = a x 2 - x 1 + x 2 x + x 1 · x 2

= a x x - x 1 - x 2 x - x 1

= a x - x 1 x - x 2 .

Primijenimo sada dobivenu formulu na naš primjer.

Rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe iz brojnika su x 1 = 3 i x 2 = - 1 2 .

Brojnik možemo zapisati 2 x 2 - 5 x - 3 = 2 · x - 3 x + 1 2 .

Pomnožimo li izraz u drugoj zagradi s 2 , dobivamo x - 3 2 x + 1 .

Zapišimo zaključak:

Svaki kvadratni trinom može se zapisati u obliku

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2 ,

gdje su x 1 i x 2 rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0.

Koja od navedenih kvadratnih jednadžbi ima rješenja​ x 1 = 1 i x 2 = 3 ?

null

Postupak:

Kvadratna jednadžba može se zapisati u obliku ​ a x - x 1 x - x 2 = 0 .

Primjer 2.

Zapišimo zadane polinome kao umnoške polinoma I. stupnja primjenom postupka faktorizacije kvadratnog trinoma:

a) 5 x 2 + 2 x - 3

Riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu 5 x 2 + 2 x - 3 = 0 .

Njezina rješenja su brojevi - 1 i 3 5 . Prema formuli za rastavljanje kvadratnog trinoma dobivamo 5 x 2 + 2 x - 3 = 5 x + 1 x - 3 5 , što je nakon sređivanja (množenje druge zagrade s 5 ): 5 x 2 + 2 x - 3 = x + 1 5 x - 3 .

b) 2 x 2 + 7 x 2 - 12 2 x 2 + 7 x - 45 .

Promotrimo dani primjer. Uočimo izraz 2 x 2 + 7 x . Pojavljuje se kao baza potencije s eksponentom 2 i još jednom u izrazu. Uvedimo supstituciju 2 x 2 + 7 x = m i riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu.

Slijedi: m 2 - 12 m - 45 = 0 .

Rješenja te jednadžbe su brojevi - 3 i 15 .

Dobivamo: m 2 - 12 m - 45 = m + 3 m - 15 .

Vratimo li početni izraz iz supstitucije, imamo 2 x 2 + 7 x 2 - 12 2 x 2 + 7 x - 45 = 2 x 2 + 7 x + 3 2 x 2 + 7 x - 15 .

Primijenimo li postupak iz zadatka a) na svaku od zagrada, dobivamo

2 x 2 + 7 x + 3 2 x 2 + 7 x - 15 = 2 x - 3 2 x + 5 · 2 x + 3 x + 1 2 = 2 x - 3 x + 5 x + 3 2 x + 1 .

To je ujedno i rješenje zadatka b).

Zadatak 1.

Kvadratni trinom ili binom uparite s odgovarajućim faktoriziranim izrazom povlačenjem uz pomoć miša.

2 x 2 - 5 x + 2   ​
3 x - 2 x + 1   ​
3 x 2 - 3 x - 6  
x - 6 x + 2   ​
x 2 - x - 20  
2 x - 1 x - 2   ​
x 2 - 4 x - 12   ​
x + 4 x - 5   

Pomoć:

Sjetite se kako možete zapisati kvadratni trinom primjenjujući rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe.

Postupak:

Riješite pripadajuću kvadratnu jednadžbu te primjenjujući formulu a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2 zapišite izraz.​

Zadatak 2.

Napišite na papir u obliku umnoška polinoma I. stupnja sljedeće polinome:

  1. 4 x 2 - 5 x + 1

  2. x 2 + 3 x 2 - 2 x 2 + 3 x - 8

  1. 4 x - 1 x - 1

  2. x - 1 x + 1 x + 2 x + 4

Zadatak 3.

Skratite razlomke:

  1. x 2 + 8 x + 15 x 2 - 4 x - 21

  2. 10 x 2 + 3 x - 4 10 x 2 - 3 x - 1

  1. x + 5 x - 7

  2. 5 x + 4 5 x + 1


Određivanje kvadratne jednadžbe

Do sada smo rješavali jednadžbe i provjeravali rješenja. Možemo li obrnutim postupkom iz rješenja dobiti jednadžbu?

Pogledajmo. U prethodnim primjerima upotrijebili smo raspis kvadratne jednadžbe:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2 .

To znači da u izraz s desne strane možemo uvrstiti rješenja kvadratne jednadžbe i množenjem ćemo doći do izraza na lijevoj strani, tj. do kvadratne jednadžbe kojoj rješenja pripadaju.

Riješimo sada nekoliko primjera.

Primjer 3.

Napišimo kvadratnu jednadžbu kojoj su rješenja brojevi 2 i - 4 .

Uvrstimo li u jednadžbu a x - x 1 x - x 2 = 0 rješenja jednadžbe, dobijemo:

a x - 2 x + 4 = a x 2 + 2 x - 8 = 0 .

Primijetimo da a može biti bilo koji realan broj različit od nule. Istu jednadžbu dobivamo izravnom primjenom Vièteovih formula

a x 2 + b a x + c a = a x 2 - x 1 + x 2 x + x 1 · x 2 .

Primjer 4.

Odredimo kvadratnu jednadžbu kojoj je jedno od rješenja broj 1 1 - i .

Znamo da kod kvadratne jednadžbe kompleksna rješenja dolaze u paru. Stoga, ako znamo jedno, drugo rješenje će biti konjugirano kompleksni par danog rješenja. Pogledajmo čemu je jednak broj 1 1 - i = 1 1 - i · 1 + i 1 + i = 1 + i 2 .

Slijedi da je drugo rješenje broj 1 - i 2 .

Pripadajuća kvadratna jednadžba je x 2 - 1 + i 2 + 1 - i 2 x + 1 + i 2 · 1 - i 2 = 0 .

Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu x 2 - x + 1 2 = 0 .

Kvadratna jednadžba kojoj je jedno od rješenja 1 + 7 glasi x 2 + b x + c = 0 .
Koeficijenti su:

b =   , a ​ c =

Pomoć:

Primijenite formulu​ a x 2 - x 1 + x 2 x + x 1 x 2 = 0 .

Postupak:

Ako je jedno rješenje 1 + 7, tada je drugo jednako 1 - 7 . Uvrštavanjem u formulu dobije se tražena kvadratna jednadžba.

Primjer 5.

Zadana je kvadratna jednadžba 5 x 2 - 3 x + 1 = 0 .

Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je zadano da je razlika između rješenja tražene i zadane jednadžbe jednaka 2 .


Zadatak 4.

Pokušajte sada sami riješiti sljedeći zadatak. Za pomoć kod rješavanja pogledajte prethodni video.

Zadana je kvadratna jednadžbe ​ 5 x 2 - 3 x + 1 = 0 .

Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je kvocjent rješenja tražene i zadane jednadžbe jednak 5 .

Nazovimo rješenja tražene jednadžbe sa ​ t 1 i t 2 . Za njih tada vrijedi t 1 = 5 x 1 , t 2 = 5 x 2 .

Kako vrijedi t 2 - t 1 + t 2 t + t 1 t 2 = 0 uvrštavanjem dobivamo t 2 - 5 x 1 + 5 x 2 t + 5 x 1 · 5 x 2 = 0 .

Primijenimo li Vièteove formule na početnu jednadžbu dobivamo t 2 - 5 · 3 5 t + 25 · 1 5 = 0 . Konačno rješenje je t 2 - 3 t + 5 = 0 .


Zanimljivost

Adrien Marie Legendre's
Adrien Marie Legendre's

Metode faktorizacije polinoma nisu tako stare kako biste pomislili.

Jedan od matematičara koji se bavio faktorizacijom polinoma je Adrien Marie Legendre's (1752.-1833.).

...i na kraju

Ponovimo što smo naučili u ovoj nastavnoj jedinici.

Svaki kvadratni trinom a x 2 + b x + c = 0 možemo zapisati u obliku a x - x 1 x - x 2 = 0 . Kvadratnu jednadžbu možemo zapisati i x 2 - x 1 + x 2 x + x 1 x 2 = 0 .

Ono što smo naučili možemo primjeniti kod rastavljanja polinoma drugog stupnja na faktore i prilikom "rekonstrukcije" kvadratne jednadžbe iz njenih rješenja.

Idemo na sljedeću jedinicu

2.7 Sustavi kvadratne i linearne jednadžbe