Matematika 2 - 3.5 Kvadratne nejednadžbe

Na početku...

Možete li rješiti nejednadžbu $x^{2} - 4 x + 3 > 0 ?$ Kako bi se mogle nazivati takve nejedandžbe?

Primjer 1.

Naučili ste rješavati linearne jednadžbe. Prisjetimo se.

$2 x > 4 \Rightarrow x > 2$ Rješenje nejednadžbe je interval $⟨2, + \infty⟩ .$

Tu nejednadžbu grafički možemo predočiti na dva načina.

U drugom smo slučaju nejednadžbu rješavali tako da smo gledali kad je naš izraz veći od $0 .$ Većina nejednadžbi rješava se tako da se promatra kad je vrijednost neke funkcije veća (veća ili jednaka) ili manja (manja ili jednaka) od $0$ (graf funkcije iznad ili ispod osi $x$ ).

Neke složenije nejednadžbe

Primjer 2.

U Matematici 1 naučili smo rješavati i neke složenije nejednadžbe. Prisjetimo se.

Riješimo nejednadžbu: $(x - 1) (x - 3) > 0 .$

Da bismo riješili tu nejednadžbu, možemo svaki linearni član izjednačiti s $0$ i skup realnih brojeva podijeliti na $3$ podintervala.

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1,$ za brojeve manje od $1$ izraz $x - 1$ je negativan (npr. u $x = 0$ imamo $0 - 1 = - 1$ ), a za brojeve veće od $1$ izraz $x - 1$ je pozitivan (npr. u $x = 2$ imamo $2 - 1 = 1$ ). Umetnimo znak $-$ u tablicu na interval od $- \infty$ do $1,$ a znak $+$ od $1$ do $+ \infty .$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3,$ za brojeve manje od $3$ izraz $x - 3$ je negativan (npr. u $x = 0$ imamo $0 - 3 = - 3$ ), a za brojeve veće od $3$ izraz $x - 3$ je pozitivan (npr. u $4 - 3 = 1$ ). Umetnimo znak $-$ u tablicu na interval od $- \infty$ do $3,$ a znak $+$ od $3$ do $+ \infty .$

Upišimo sve dobivene vrijednosti u tablicu.

Kako se u našem primjeru traže intervali na kojima je vrijednost izraza pozitivna, rješenje je unija intervala: $⟨- \infty, 1⟩ \cup ⟨3, + \infty⟩ .$

Pogledajmo naš primjer još jedanput: $(x - 1) (x - 3) > 0 .$

Pomnožimo li izraz s lijeve strane, dobit ćemo: $x^{2} - 3 x - x + 3 > 0,$ tj. $x^{2} - 4 x + 3 > 0 .$ Takva se nejednadžba naziva kvadratna nejednadžba.

Kvadratna nejednadžba je nejednadžba oblika

$a x^{2} + b x + c < 0$ ili
$a x^{2} + b x + c > 0$ ili
$a x^{2} + b x + c \leq 0$ ili
$a x^{2} + b x + c \geq 0,$

gdje je $a \neq 0 .$

Spojite izraz s pripadnim pojmom.

$3 > \| x \|$	linearna jednadžba
$3 x^{2} + 5 x > 6$	nejednadžba s apsolutnim vrijednostima
$2 x - 3 = 5$	jednadžba s apsolutnom vrijednosti
$\sqrt{x - 3} = 4$	iracionalna jednadžba
$\sqrt{x + 3} \leq 3$	kvadratna nejednadžba
$- x + 3 \geq 2 x + 7$	linearna nejednadžba
$\| 2 x - 3 \| = 8$	iracionalna nejednadžba
$3 - 2 x = x^{2}$	kvadratna jednadžba

null

Riješiti kvadratnu nejednadžbu znači pronaći sva njezina rješenja, tj. odrediti podskupove skupa realnih brojeva koji zadovoljavaju danu kvadratnu nejednadžbu.

Prisjetimo se crtanja grafa kvadratne funkcije.

Pogledajmo grafički prikaz funkcije $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ $.$ Pritiskom na tipku POKRENITE pomičite točku po paraboli. Pratite vrijednosti funkcije za određene vrijednosti od $x .$

Možemo uočiti da su vrijednosti funkcije pozitivne za $x \in ⟨- \infty, 1⟩$ i za $x \in ⟨3, + \infty⟩ .$

Za $x \in ⟨1, 3⟩$ vrijednosti funkcije su negativne. Pogledajmo sada našu nejednadžbu: $x^{2} - 4 x + 3 > 0 .$

Kako je u nejednadžbi znak $>,$ zanima nas kada su vrijednosti funkcije pozitivne.

Odgovor je: $x \in ⟨- \infty, 1⟩ \cup ⟨3, + \infty⟩ .$

Načini rješavanja kvadratne nejednadžbe

Prethodnu kvadratnu nejednadžbu riješili smo na dva načina:

faktorizacijom s pomoću metode testiranja točaka (tablicom)
crtajući graf kvadratne funkcije i određujući pozitivne i negativne intervale.

U nastavku ćemo opširnije objasniti drugi način rješavanja. Taj se način rješavanja može jednostavno primijeniti u svakom obliku kvadratne nejednadžbe.

Primjer 3.

Riješimo kvadratnu nejednadžbu: $2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0 .$

Postupak rješavanja kvadratne nejednadžbe

Primjer je opširno riješen u videozapisu.

$x \in [\frac{1}{2}, 2]$

Pravila za rješavanje kvadratne nejednadžbe

Pravila za rješavanje kvadratne nejednadžbe:

prebacimo sve članove na lijevu stranu tako da s desne strane znaka nejednakosti dobijemo $0$
nacrtamo graf kvadratne funkcije $f (x) = a x^{2} + b x + c$ koristeći se koeficijentom $a$ za okrenutost parabole i rješenjima kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0$ za nultočke
s obzirom na znak nejednakosti, ispišemo intervale na kojima funkcija ima pozitivne vrijednosti (za $f (x) > 0$ ), pozitivne vrijednosti uključujući nultočke (za $f (x) \geq 0$ ), negativne vrijednosti (za $f (x) < 0$ ) ili negativne vrijednosti uključujući nultočke (za $f (x) \leq 0) .$

Zadatak 1.

Riješite nejednadžbe.

$x^{2} + x - 2 \geq 0$
$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$
$x^{2} + x + 1 \geq 0$
$- x^{2} - x + 2 \geq 0$
$- x^{2} + 2 x - 1 \geq 0$
$- x^{2} - x - 1 \geq 0$
$x^{2} - 2 x + 1 > 0$
$- x^{2} + 2 x - 1 > 0$

Kao pomoć možete upotrijebiti pripremljeni predložak u kojem, mijenjajući koeficijente $a,$ $b$ i $c$ dobivate prikaz kvadratne funkcije te birajući znak nejednakosti dobivate iscrtane intervale rješenja zadane kvadratne nejednadžbe.

$x \in ⟨- \infty, - 2] \cup [1, + \infty⟩$
$x = R = ⟨- \infty, + \infty⟩$
$x = R = ⟨- \infty, + \infty⟩$
$x \in [- 2, 1]$
$x = 1$
$x = \emptyset$
$x \in ⟨- \infty, 1⟩ \cup ⟨1, + \infty⟩$
$x = \emptyset$

U prošlim smo zadatcima imali grafove kvadratnih funkcija koji su bili okrenuti prema gore i prema dolje te parabole koje sijeku os $x$ u dvjema točkama, jednoj točki ili ne sijeku os $x .$ Prisjetimo se.

Poveži vodeći koeficijent i diskriminantu s izgledom parabole.

$D < 0$	Dodiruje os $x$ .
$D > 0$	Otvor prema dolje.
$D = 0$	Siječe os $x$ u dvjema točkama.
$a < 0$	Ne siječe os $x$ .
$a > 0$	Otvor prema gore.

null

Utjecaj vodećeg koeficijenta i diskriminante na rješavanje kvadratnih nejednadžbi

Primjer 4.

Riješimo nejednadžbu $x^{2} \leq 4 .$

Takve smo nejednadžbe rješavali u prvom razredu.

Prisjetimo se.

Nejednadžba $x^{2} \leq 4$ je ekvivalentna nejednadžbi s apsolutnim vrijednostima $| x | \leq 2 .$

Njezino je rješenje $- 2 \leq x \leq 2,$ tj. $x \in [- 2, 2] .$

Tu nejednadžbu možemo riješiti i crtajući graf kvadratne funkcije.

Prikažemo li nejednadžbu u obliku $x^{2} - 4 \leq 0,$ možemo gledati kad su vrijednosti kvadratne funkcije $f (x) = x^{2} - 4$ negativne ili su $0 .$

Nultočke te funkcije su $- 2$ i $2,$ a koeficijent $a = 1$ pa je otvor parabole okrenut prema gore.

Rješenje nejednadžbe možemo iščitati iz grafičkog prikaza.

Rješenje nejednadžbe je $x \in [- 2, 2] .$

Da biste uvježbali rješavanje kvadratnih nejednadžbi, možete sami odabrati koeficijente $a, b i c$ te znak nejednakosti pa koristeći se GeoGebrinim predloškom riješiti nejednadžbe.

Kutak za znatiželjne

Za koje će vrijednosti parametra $k \in R$ nejednadžba $k x^{2} + 2 (k + 2) x + 2 k + 4 < 0$ biti ispunjena za svaki $x \in R ?$

Da bi vrijednost funkcije $f (x) = k x^{2} + 2 (k + 2) x + 2 k + 4$ bila negativna, za svaki $x \in R$ potrebno je da graf te funkcije bude ispod osi $x$ za svaki $x$ iz skupa realnih brojeva. Iz tablice koja pokazuje utjecaj vodećeg koeficijenta i diskriminante na izgled parabole možemo zaključiti da će to biti u slučaju kad je parabola okrenuta prema dolje i kad nema nultočke.

Dakle, $k < 0$ i $D < 0 .$ Iz $D < 0$ dobivamo nejednadžbu $- 4 k^{2} + 16 < 0$ čija su rješenja $k \in ⟨- \infty, - 2⟩ \cup ⟨2, + \infty⟩ .$

Rješenje tog sustava nejednadžbi je $k < - 2 .$

...i na kraju

Kvadratne nejednadžbe su nejednadžbe oblika:

$a x^{2} + b x + c < 0$

$a x^{2} + b x + c > 0$

$a x^{2} + b x + c \leq 0$

$a x^{2} + b x + c \geq 0$ , gdje je $a \neq 0 .$