Matematika 2 - 3.3 Nultočke i ekstremi kvadratne funkcije

Na početku...

Kvadratne funkcije primjenjuju se u znanosti, poslovanju i inženjeringu. U-oblik parabole može opisati putanju vodenih mlaznica u fontanu i odskakivanje kugle ili biti ugrađen u strukture poput paraboličnih reflektora koji čine bazu satelitske antene i svjetla automobila. Kvadratne funkcije pomažu u predviđanju profitabilnosti i gubitka poslovanja, obilježavanju tijeka objekata koji se kreću i pomažu pri određivanju minimalnih i maksimalnih vrijednosti. Predmeti kojima se koristimo svaki dan, od automobila do satova, ne bi postojali da netko negdje nije primijenio kvadratne funkcije na njihov dizajn. A sve je počelo, kao i obično, od promatranja prirode. Pogledajmo dva primjera.

Putanja košarkaške lopte – parabola. — Parabola kod gibanja košarkaške lopte

Razmotrit ćemo jednu moguću primjenu kvadratne funkcije u poslovanju i optimiziranju dobiti. Dobit je razlika između ukupnog prihoda i troškova proizvodnje. Odnos između cijene proizvoda i prodane količine često je linearan. Drugim riječima, za svako povećanje cijene od 1 kn postoji odgovarajuće smanjenje prodane količine.

(Razmislite o tome: ako se cijena nečega povisi, kupujete li više ili manje? Nadam se manje!) Nakon što odredimo odnos između prodajne cijene proizvoda i prodane količine, možemo razmišljati o tome kako postići najveću dobit.

Za koju cijenu proizvoda je dobit najveća?

Iznos ostvarene dobiti računamo oduzimanjem troškova prizvodnje od ukupnog prihoda (prodana količina pomnožena s prodajnom cijenom).

Uvrštavanjem linearnog odnosa prodajne cijene s količinom u formulu dobiti imamo kvadratnu funkciju. Pogledajmo primjer.

Tablicom ćemo prikazati odnos cijene i broja prodanih proizvoda, uz podatak da je cijena proizvodnje $10 kn$ po komadu.

Cijena proizvoda (kune) (c)	Broj prodanih proizvoda u 1 godini (n)
$10$	$1 000$
$15$	$900$
$20$	$800$
$25$	$700$

Podatke možemo prikazati linearnom funkcijom:

$n = - 20 c + 1 200 .$

Formula dobiti je:

$D = c \cdot n - 10 \cdot n,$

gdje je $D$ dobit, $c$ prodajna cijena proizvoda, a $n$ broj prodanih proizvoda.

Iz tih dviju funkcija dobit ćemo kvadratnu funkciju ovisnosti dobiti o cijeni proizvoda:

$D (c) = - 20 c^{2} + 1 400 c - 12 000 .$

Prikažimo to grafički.

Zadatak 1.

S pomoću grafičkog prikaza odgovorite na pitanja.

Za koju je cijenu proizvoda dobit najveća?
Kolika je najveća dobit?
Za koju je cijenu dobit $0 ?$
Kolika je cijena proizvoda ako je dobit $8 000 kn ?$

Dobit je najveća uz prodajnu cijenu od $35 kn .$
Najveća je dobit $12 500 kn .$
Dobit je nula kad je prodajna cijena jednaka proizvodnoj cijeni, ali i uz prodajnu cijenu od $60 kn .$
Dobit od $8 000$ kuna ostvarujemo uz prodajnu cijenu od $20 kn,$ ali i od $50$ kuna.

Najviša točka grafa funkcije, njezina sjecišta s osi $x$ i os simetrije dali su nam odgovor. To su pojmovi o kojima ćemo učiti u ovoj jedinici.

Nultočke kvadratne funkcije

Pogledajmo ponovno funkciju $D (c) = - 20 c^{2} + 1 400 c - 12 000 .$

Ako riješimo kvadratnu jednadžbu $- 20 c^{2} + 1 400 c - 12 000 = 0,$ rješenja će biti $10$ i $60 .$

(Provjerite!)

Rješavajući kvadratnu jednadžbu našli smo one vrijednosti nepoznanice $c$ za koje je $D (c) = 0,$ tj. našli smo nultočke pripadajuće kvadratne funkcije $(10, 0)$ i $(60, 0) .$

Nultočka kvadratne funkcije $f (x) = a x^{2} + b x + c$ je točka $(x, f (x) = 0)$ presjeka grafa funkcije i osi apscisa.

Apscisa nultočke, tj. vrijednost varijable $x$ za koju je $f (x) = 0$ naziva se nulište funkcije.

Vrijednost nulišta kvadratne funkcije računamo tako da riješimo kvadratnu jednadžbu $a x^{2} + b x + c = 0 .$

Primjer 1.

Odredimo nultočke sljedeće kvadratne funkcije.

$f (x) = - 2 x^{2} + x + 3$

Riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu.

$- 2 x^{2} + x + 3 = 0$

Nultočke su $(\frac{3}{2}, 0)$ i $(- 1, 0) .$

Zaključujemo da graf kvadratne funkcije siječe os apscisa u navedenim točkama. Kako graf izgleda? Pogledajmo.

Primjer 2.

Odredimo nultočke kvadratne funkcije:

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 2 .$

Za rješavanje se koristimo pripadajućom kvadratnom jednadžbom:

$4 x^{2} + 4 x + 2 = 0 .$

Nultočke su:

$(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i, 0)$ i

$(- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i, 0) .$

Kako sada nacrtati nultočke? Što znače kompleksne nultočke? Pogledajmo graf.

Ako su nulišta kompleksni brojevi, parabola ne siječe os apscisa.

Povežite taj zaključak s diskiriminantom pripadajuće kvadratne funkcije. Možemo li bez računanja zaključiti da parabola nema sjecišta s osi apscisa?

Ako je za pripadajuću kvadratnu jednadžbu $D < 0,$ onda parabola nema sjecišta s osi apscisa.

Primjer 3.

Odredimo nultočke kvadratne funkcije:

$f (x) = - x^{2} + 8 x - 16 .$

Obje nultočke su $(4, 0) .$ Kako sada izgleda graf?

Kada su nulišta jednaka, onda parabola samo dodiruje os apscisa u toj jednoj zajedničkoj točki.

Kvadratna funkcija ima:

Dvije nultočke ako je $D > 0$ za pripadajuću kvadratnu jednadžbu

Jednu nultočku u kojoj parabola samo dodiruje os apscisa ako je $D = 0$ za pripadajuću kvadratnu jednadžbu.

Nema realnih nultočaka, tj. parabola ne siječe os apscisa ako je $D < 0$ za pripadajuću kvadratnu jednadžbu.

Nultočke kvadratne funkcije na grafu funkcije prikazujemo kao sjecišta grafa kvadratne funkcije s osi apscisa.

Koordinate tjemena kvadratne funkcije

U rješavanju kvadratne jednadžbe koristili smo se dopunjavanjem do potpunog kvadrata. Isti postupak iskoristit ćemo i sada da bismo kvadratnu funkciju oblika

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ zapisali u obliku $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0} .$

Točka s koodinatama $(x_{0}, y_{0})$ pomoći će nam da nacrtamo graf kvadratne funkcije jer, kao što smo vidjeli, to je točka u kojoj je tjeme parabole.

$\begin{array}{l} f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \end{array}$

Ako usporedimo $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}$ i $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a},$ možemo zaključiti da je:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a},$ $y_{0} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} .$

Sada imamo formule s pomoću kojih možemo izračunati koordinate tjemena parabole.

Primjer 4.

Nacrtajmo graf kvadratne funkcije $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3 .$ Koristeći se tjemenom, nultočkama i osi simetrije (prisjetite se iz 3.2.), nacrtat ćemo parabolu.

Prvo izračunajmo koordinate tjemena.

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{5}{2 \cdot 2} = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{l} y_{0} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 3 - 5^{2}}{4 \cdot 2} = \frac{24 - 25}{8} = - \frac{1}{8} \end{array}$

Koodinate tjemena su: $T (- \frac{5}{4}, - \frac{1}{8}) .$

Izračunajmo sada nulišta.

$\begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{- 5 \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 \pm 1}{4} \end{array}$

Nulišta su $x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{3}{2},$ pa su nultočke $(- 1, 0)$ i $(- \frac{3}{2}, 0) .$

Os simetrije je pravac $x = - \frac{5}{4} .$

Možemo još iskoristiti točku $(0, c) = (0, 3)$ i njezinu osnosimetričnu točku.

Pokažimo u GeoGebri korake crtanja. Tipkom "Pokreni crtanje" pokrećete animaciju. U svakom trenutku možeš stisnuti "Pauza" ili "Kreni" kako bi se konstrukcija nastavila.

Zadatak 2.

Nacrtajte u bilježnicu graf kvadratne funkcije $f (x) = - x^{2} + 6 x + 4 .$

Izračunajte koordinate nultočaka, tjemena, točke u kojoj graf siječe os y i njemu simetričnu točku (koristeći se osi simetrije).

Graf parabole s dvostrukom nultočkom-tjeme je jednako nultočkama

Izračunajmo koodinate nultočaka. Riješimo kvadratnu jednadžbu:

$- x^{2} + 6 x + 4 = 0 .$

Nultočke su $(6.61, 0)$ i $(- 0.61, 0) .$

Izračunajmo sada koordinate tjemena.

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot (- 1)} = 3$

$\begin{array}{l} y_{0} = \frac{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}{4 \cdot a} = \frac{4 \cdot (- 1) \cdot 4 - 6^{2}}{4 \cdot (- 1)} = \frac{- 16 - 36}{- 4} = 13 \end{array}$

Tjeme je T $(3, 13) .$

Sjecište parabole s osi $y$ je točka $(0, 4),$ a njoj simetrična točka s obzirom na pravac $x = 3$ je točka $(6, 4) .$

Ucrtajmo sada sve točke u koordinatni sustav i nacrtajmo parabolu.

Ekstremi kvadratne funkcije

Minimum ili maksimum grafa kvadratne funkcije prikazane u koordinatnom sustavu.

U uvodnom primjeru računanja dobiti parabola je bila otvorom okrenuta prema dolje i tjeme je bilo najviša točka parabole. Već smo vidjeli da je vrijednost tjemena važna pa pogledajmo malo kako vrijednost koordinata tjemena ovisi o koeficijentu $a .$

Funkciju $f (x) = a x^{2} + b x + c$ napišimo u obliku $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0} .$

Ako je $a > 0,$ onda je $a {(x - x_{0})}^{2} \geq 0 .$ Vrijedi, dakle, da je $f (x) \geq y_{0}$ za svaki $x \in R .$ Ako je $x = x_{0},$ onda je $f (x_{0}) = y_{0} .$ Kažemo da za $x_{0}$ funkcija postiže svoj minimum, koji je $y_{0} .$
Ako je $a < 0,$ onda je $a {(x - x_{0})}^{2} \leq 0 .$ Vrijedi, dakle, da je $f (x) \leq y_{0}$ za svaki $x \in R .$ Ako je $x = x_{0},$ onda je $f (x_{0}) = y_{0} .$ Kažemo da za $x_{0}$ funkcija postiže svoj maksimum.

Minimum i maksimum funkcije nazivamo ekstremi.

Primjer 5.

Odredimo ekstrem funkcije $f (x) = x^{2} - 2 x - 3 .$

Vodeći koeficijent $a$ je pozitivan, a to znači da za $x_{0}$ funkcija poprima minimum koji iznosi $y_{0} .$

Izračunajmo $x_{0} .$

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$

Vrijednost minumuma možemo izračunati na dva načina:

s pomoću formule za $y_{0}$

uvrštavanjem $x_{0}$ u funkciju.

$f (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 5 = - 4$

Vrijednost minimuma funkcije je $- 4 .$

U nastavku odgovorite na nekoliko pitanja kako biste provjerili svoj napredak.

Za funkciju $f (x) = a x^{2} + b x + c$ vrijedi:
ako je $a < 0,$ onda funkcija za $x_{0}$ postiže
Razmislite i ponovite!

ako je $a > 0,$ onda funkcija za $x_{0}$ postiže
Razmislite i ponovite!

null

null

Uparite funkcije i ekstreme.

$f (x) = - x^{2} + 5 x - 7$
$f (x) = 5 x^{2} - 7 x + 2$

null

Postiže li funkcija u apscisi tjemena minimalnu ili maksimalnu vrijednost?

minimalnu

maksimalnu

null

null
Postiže li funkcija u apscisi tjemena minimalnu ili maksimalnu vrijednost?

minimalnu

maksimalnu

null

null

Ako želite vježbati crtanje grafa kvadratne funkcije s pomoću gore navedenih točaka, možete se koristiti sljedećom aktivnošću.

Odaberite koeficijente $a,$ $b,$ $c .$

Izračunajte nultočke, tjeme, sjecište s osi ordinata te s pomoću osi simetrije njoj simetričnu točku. Nacrtajte graf.

Upišite koeficijente $a,$ $b,$ $c .$

Pokrenite interakciju da biste provjerili rješenje.

Tok kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije u apscisi tjemena postiže svoj minimum ili maksimum. Što to zapravo znači?

Podsjetimo se prvo što znači da funkcija pada ili raste na određenom intervalu.

Za funkciju kažemo da raste na intervalu $[a, b]$ ako za $x_{1} \leq x_{2}$ vrijedi da je $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ za sve $x_{1}, x_{2} \in [a, b] .$

Za funkciju kažemo da pada na intervalu $[a, b]$ ako za $x_{1} \leq x_{2}$ vrijedi da je $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ za sve $x_{1}, x_{2} \in [a, b] .$

a. Ako je ekstrem funkcije minimum, tada funkcija na intervalu $⟨- \infty, x_{0}⟩$ pada dok ne postigne minimalnu vrijednost u apscisi tjemena, a zatim počinje opet rasti na intervalu $⟨x_{0}, \infty⟩ .$

Tok možemo prikazati u tablici.

b. Ako je ekstrem funkcije maksimum, tada funkcija na intervalu $⟨- \infty, x_{0}⟩$ raste dok ne dostigne maksimalnu vrijednost u apscisi tjemena, a zatim počinje opet padati na intervalu $⟨x_{0}, \infty⟩ .$

Tok prikažimo u tablici.

Primjer 6.

Kvadratna funkcija $f (x) = a x^{2} + b x + c$ najveću vrijednost $12$ postiže za $x = - 2 .$

Vrijedi također da je za $x = 0$ vrijednost funkcije $11 .$

Odredimo kvadratnu funkciju.

Opišimo tok kvadratne funkcije.

Grafički prikažimo funkciju.

a. Maksimum povezujemo s $y_{0} = 12$ i $x_{0} = - 2 .$ Iz uvjeta $f (0) = 11$ čitamo da je $c = 11 .$

Upotrijebimo formule za računanje tjemena.

$- \frac{b}{2 \cdot a} = - 2$ iz čega slijedi $b = 4 a .$

$\frac{4 \cdot a \cdot 11 - b^{2}}{4 \cdot a} = 12,$ što uvrštavanjem gornjeg izraza postaje: $\frac{44 \cdot a - 16 a^{2}}{4 \cdot a} = 12 .$

Sređivanjem gornjeg izraza dobijemo nepotpunu kvadratnu jednadžbu $4 a \cdot (4 \cdot a + 1) = 0,$ iz koje zaključujemo da je koeficijent $a = - \frac{1}{4} .$ A zatim računamo i koeficijent $b = - 1 .$

Kvadratna funkcija je $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} - x + 11 .$

b. Kvadratna funkcija u apscisi tjemena postiže maksimum, a to znači da od $⟨- \infty, - 2⟩$ raste, a zatim do $⟨- 2, \infty⟩$ pada. U tablici to izgleda ovako.

Tok kvadratne funkcije prikazan u tablici.

c. Da bismo nacrtali graf kvadratne funkcije, potrebne su nam i nultočke.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- \frac{1}{4}) \cdot 11}}{2 (- \frac{1}{4})},$ iz čega slijedi $x_{1} = 4.93$ i $x_{2} = - 8.93 .$

Uz točku $C (0, 11)$ i njoj simetričnu točku, nultočke $(4.93, 0)$ i $(- 8.93, 0)$ i uz zadano tjeme graf funkcije izgleda kao na slici.

Zadatak 3.

Za kvadratnu funkciju $f (x) = a x^{2} + b x + 5$ zadana su sjecišta s osi apscisa $(- 5, 0)$ i $(3, 0) .$ Opišite tok kvadratne funkcije.

Uputa: s obzirom na simetričnost parabole, $x$ koordinata tjemena je aritmetička sredina nulišta:

$x_{0} = \frac{- 5 + 3}{2} = - 1 .$

Uvrštavanjem nultočaka u funkciju možemo izračunati koeficijente $a$ i $b$ .

Funkcija glasi: $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 5 .$

Vidimo da je $a$ negativan pa zaključujemo da funkcija za $x_{0}$ postiže maksimum.

Kvadratna funkcija na intervalu $⟨- \infty, - 1⟩$ raste, a zatim na intervalu $⟨- 1, \infty⟩$ pada.

Svojstva kvadratne funkcije ili kako čitati graf

Do sada smo s pomoću zadane kvadratne funkcije tražili način crtanja grafičkog prikaza ili parabole. U uvodnom smo primjeru vidjeli koliko je važno znati čitati grafički prikaz. Pogledajmo što se sve može očitati s grafa kvadratne funkcije.

Za primjer uzet ćemo parabolu $f (x) = - x^{2} + 6 x + 4,$ čiji grafički prikaz vidite na slici.

Primjer 7.

Domena funkcije je skup $R$

Maksimum funkcije je $13 .$

Pravac $m$ siječe parabolu u dvjema točkama. To znači da je $f (0) = f (6) = 4 .$

Postoje $x_{1} \neq x_{2}$ takvi da je $f (x_{1}) = f (x_{2})$ simetričnost grafa kvadratne funkcije.

Tok funkcije: na intervalu $⟨- \infty, 3⟩$ funkcija raste, a na intervalu $⟨3, \infty⟩$ funkcija pada.

Zadatak 4.

Grafički prikaz ovisnosti dobiti o cijeni proizvoda

Za kvadratnu funkciju iz uvodnog primjera ispišite svojstva te pokušajte objasniti značenje za primjenu (ako je to moguće).

Domena funkcije je skup $R$ ; za cijenu je dopušteno birati bilo koji realan broj.

Razmislite: može li cijena biti negativna?
Maksimum funkcije je $12 500$ ; maksimalna dobit koju je moguće postići je $12 500$ kuna.
Graf je simetričan s obzirom na os $x = 35$ ; $f (15) = f (55) = 4 000,$ za dvije različite cijene dobit je jednaka.

Pronađite još cijena za koje je dobit jednaka.
Funkcija na intervalu od $⟨- \infty, 35⟩$ raste, a na intervalu $⟨35, \infty⟩$ pada.

Povećanjem cijene do $35$ kuna po proizvodu dobit raste, nakon toga dobit počinje padati.

...i na kraju

Osječki pješački most - primjer parabole u arhitekturi — Fotografija osječkoga pješačkog mosta

Parabola je prekrasna i elegantna krivulja. Zato je vole i u arhitekturi. Možemo pronaći velik broj parabola napravljenih ljudskom rukom. Osječki pješački most ili Paški most primjeri su kako je hrvatska arhitektura upotrebljavala tu krivulju.

Ako je uže vezano između dviju točaka, oblik mu je sličan paraboli, ali to nije parabola nego lančanica. To je slučaj kada uže drži samo vlastitu težinu. No kad bi se uže koristilo za podupiranje mosta, onda bi poprimilo oblik parabole.

Je li osječki pješački most parabola ili lančanica?

Pitanje za raspravu:

Znate li za još neki primjer primjene parabole u arhitekturi ili dizajnu? Istražite!

Kutak za znatiželjne

Sedlo - hiperbolični paraboloid — Sedlo – kombinacija dviju parabola otvorenih u suprotnom smjeru

U našem 3D svijetu više rabimo plohe od krivulja. Matematičari se bave i plohama drugog stupnja – kvadrikama: sfere, elipsoidi i hiperboloidi.

Jedna je kvadrika posebno elegentna: HIPERBOLIČKI PARABOLOID. To je kombinacija parabola koje se otvaraju u suprotnim smjerovima. Katkad ga nazivaju i sedlo, a omiljen je među arhitektima-matematičarima.

Pogledajte ovu plohu na zgradi u Kanadi.