Matematika 2 - 4.5 Primjena trigonometrije u planimetriji

Na početku...

Trigonometrija primjenu pronalazi u vrlo različitim područjima kao što su arhitektura, geodezija, astronomija, fizika i forenzika.

Trigonometrija (barem slična onome što danas upotrebljavamo) pojavila se vezano za astronomiju, navigaciju i kalendare prije

2 000

godina. Geometrija je starija, a trigonometrija ima temelje u geometriji. Podrijetlo trigonometrije seže do drevnog Egipta (piramida i premjeravanja poplavljenih oranica), Mezopotamije (u izgradnji hramova) i Indije prije više od

4 000

godina.

Povezani sadržaji

Što je zajedničko svim slikama?

Primjena trigonometrije pravokutnog trokuta u svakodnevnom životu.

Mjerenje visine zgrade ili planine

Arhitektura i građevina

Videoigre

Upravljanje zrakoplovom

Fizika

Arheologija

Forenzika

Biologija mora

Navigacija

Oceanografija

Kartografija

Satelitski sustavi

...

Ipak nije sve tako jednostavno. Jedan dio problema svodi se na planimetrijske gdje veze između osnovnih elemenata lika nalazimo iz dobro odabranoga pravokutnog trokuta. Ovdje ćemo proučiti nekoliko tipičnih primjera.

Jednakokračan trokut

Jednakokračan trokut sastoji se od osnovice i krakova. Određen je dvama svojim elementima:

osnovicom i krakom
osnovicom i kutom
krakom i kutom.

Nije važno koji je kut zadan zato što imamo dva kuta iste mjere, a znamo da je zbroj svih kutova u bilo kojem trokutu $180^{\circ} .$

Ako spustimo visinu na krak ili osnovicu, dobit ćemo dva pravokutna trokuta na koja dalje možemo primijeniti trigonometrijske omjere pravokutnih trokuta. Pogledajmo primjere.

Primjer 1.

U jednakokračnom trokutu zadani su osnovica duljine $4 cm$ i kut uz osnovicu $50^{\circ} .$ Treba odrediti drugi kut, katetu i površinu.

Za početak svakako treba nacrtati skicu i označiti poznate elemente i tražene elemente. Na slici ćemo lakše uočiti pravokutni trokut i trigonometrijske omjere koji će nam poslužiti za određivanje traženih veličina.

Na slici smo žutom bojom označili poznate veličine.

Budući da znamo jedan kut, drugi računamo.

$β = 180^{\circ} - 2 α$

Primijetimo na slici dva pravokutna trokuta koja su nastala spuštanjem visine na okomicu. U računanju ćemo se koristiti $△ B C E .$

$\frac{a}{2}$ je priležeća kateta kutu $α,$ a $b$ je hipotenuza. Možemo, dakle, upotrijebiti sljedeći omjer:

$\cos α = \frac{\frac{a}{2}}{b} \Rightarrow b = \frac{\frac{a}{2}}{\cos α} = \frac{2}{\cos 50^{\circ}} = 3.11 cm .$

Za računanje površine trokuta trebamo još visinu koju možemo izračunati s pomoću Pitagorina poučka.

$v = \sqrt{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = 2.38 cm$

$P = \frac{a \cdot v_{a}}{2} = 4.76 {cm}^{2}$

Zadatak 1.

Izračunajte ostale elemente jednakokračnog trokuta ako je zadan krak duljine $7$ i kut nasuprot osnovici od $25^{\circ} .$ Obvezno na papiru nacrtajte skicu.

Na slici je jednakokračan trokut sa zadanim elementima.

$β = \frac{180^{\circ} - α}{2} = {77.5}^{\circ}$

$\sin α = \frac{v_{b}}{b} \Rightarrow v_{b} = b \cdot s i n α = 2.96$

$\sin β = \frac{v_{b}}{a} \Rightarrow a = \frac{v_{b}}{\sin β} = 3.03$

$P = \frac{b \cdot v_{b}}{2} = 10.36$

Pravokutnik, romb i trapez

O tim smo geometrijskim likovima učili u prvom razredu pa se prisjetite ako je potrebno.

Za rješavanje sljedećih zadataka trebate, osim trigonometrije, ponoviti kako pronaći opseg i površinu tih likova te u kakvom su odnosu stranice, kutovi i dijagonale.

Paralelogram

Paralelogram je geometrijski lik kojemu su nasuprotne stranice usporedne i jednakih duljina. Opseg paralelograma je zbroj duljina svih stranica.

Površinu računamo s pomoću formule:

$P = a \cdot v_{a} = b \cdot v_{b} .$

Na slici je niz crnih i bijelih paralelograma koji čine uzorak. — Uočite paralelograme u uzorku. Crni ili bijeli?

Pravokutnik

Pravokutnik je vrsta paralelograma. Kao što samo ime kaže, taj lik ima sve prave kutove. Pravokutnik je geometrijski lik čiji su kutovi pravi, a po dvije nasuprotne stranice usporedne i jednakih duljina.

$o = 2 (a + b)$ – opseg je zbroj svih stranica

Ako pravokutnik i paralelogram imaju istu visinu i širinu, imaju jednaku površinu.

$P = a \cdot b$ – površina

Dijagonale pravokutnika se raspolavljaju.

Na slici je uzorak koji se sastoji od različitih pravokutnika. — Pravokutnici

Romb

Romb je geometrijski lik kod kojeg su sve stranice jednake duljine, a nasuprotne su stranice usporedne. Kvadrat je vrsta romba koji ima četiri prava kuta. Romb za razliku od kvadrata nema prave kutove, ali se dijagonale sijeku pod pravim kutom kao i kod kvadrata te romb dijele na četiri sukladna pravokutna trokuta. Dijagonale romba raspolavljaju unutarnje kutove romba, tj. kvadrata.

Formulu za opseg i površinu pravokutnika ili paralelograma lako prilagodimo.

$o = 4 \cdot a$

$P = a \cdot v_{a}$

Uzorak sastavljen od rombova. — Jesu li ovo rombovi?

Trapez
Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice usporedne. Ako su mu krakovi jednake duljine, onda je to jednakokračni trapez.

Kako je prema definiciji opseg četverokuta zbroj duljina stranica, opseg trapeza je:

$o = a + b + c + d .$

Površinu možemo računati tako da trapez podijelimo na dva pravokutna trokuta i pravokutnik. Nakon računanja dobijemo formulu:

$P = \frac{a + c}{2} \cdot v_{a} .$

Zgrada na kojoj prozori izgledaju kao trapezi - pogled dozdo. — Ovisi li trapez o perspektivi?

U sljedećem ćete videozapisu vidjeti kako možemo dokazati da je površina paralelograma jednaka:

$P = a \cdot b \cdot \sin α .$

Primjer 2.

Izvod formule za površinu paralelograma

Primjer 3.

Dijagonale pravokutnika zatvaraju kut od $78^{\circ} .$ Ako je opseg pravokutnika $36 cm,$ kolika mu je površina?
Najprije crtamo skicu.

Pogledajte pravokutni trokut $E F C .$ Možemo dovesti u vezu katete s polovicom kuta između dijegonala.

$tg \frac{α}{2} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{b}{a}$

Iz poznatog opsega imamo vezu između stranica $a$ i $b .$

$b = 18 - a$

$tg \frac{α}{2} = \frac{18 - a}{a} \Rightarrow a = \frac{18}{t g \frac{α}{2} + 1} = 9.95$

$b = 8.05$

$P = a \cdot b = 80.0975$

Zadatak 2.

Pravokutnik ima površinu $6,$ a opseg $12 .$ Koliki kut stranice zatvaraju s dijagonalom?

Uputa: Svakako nacrtajte sliku.
Iz podataka o površini i opsegu dobit ćete sustav dviju jednadžbi koje se svode na kvadratnu jednadžbu.

$b^{2} - 6 b + 6 = 0$

Rješenja su stranice $4.73$ i $1.27 .$

Zapravo imamo dva moguća pravokutnika gdje se izmjenjuju njihova širina i visina.

$tg α = \frac{a}{b} \Rightarrow α = 15 ° 1' 46 "$

$t g β = \frac{b}{a} \Rightarrow β = 74 ° 58'' 14 "$

Primjer 4.

Stranica romba duga je $13,$ a površina iznosi $130 .$ Kolika je visina romba, a koliki tupi kut?

Najprije treba nacrtati skicu i uočiti pravokutne trokute.

Prvo iz površine i stranice računamo visinu.

$v = \frac{P}{a} = 10$

Uočavamo pravokutni ružičasti trokut sa slike u kojem su nam poznate kateta $v$ i hipotenuza $a$ . Na osnovi tih dviju veličina možemo izračunati kut nasuprot visini $v .$

$\sin β = \frac{v}{a} = 0.77 \Rightarrow β = 50^{\circ} 21' 14 "$

Tupi kut računamo oduzimanjem šiljastog od ispruženog kuta.

$α = 180^{\circ} - β = 129 ° 38' 46 "$

Uočite da je važno prepoznati i uočiti pravokutan trokut te povezati njegove poznate elemente s definicijama trigonometrijskih omjera.

Primjer 5.

Izračunajmo kutove jednakokračnog trapeza kojemu su osnovice $15$ i $5,$ a krakovi duljine $9 .$ Prvo obvezno nacrtajmo skicu.

$\frac{a - c}{2} = \frac{15 - 5}{2} = 5$

Sada imamo priležeću katetu kutu $α$ i hipotenuzu $9 .$ Što je omjer priležeće katete i hipotenuze? To je kosinus kuta.

$\cos α = \frac{5}{9} \Rightarrow α = 56 ° 15'$

Tupi kut izračunajte sami.

Uputa: Koliki je zbroj kutova u četverokutu?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Romb ima dijagonale dugačke $8$ i $10 .$ Koliki su kutovi romba?

Uputa: Uočite pravokutan trokut koji zatvaraju polovice dijagonala i stranica romba. Dijagonale se raspolavljaju pa u tom trokutu znamo katete. S pomoću kateta računamo kutove.

$α = 102.7 °$

$β = 77.3 °$

Zadatak 4.

Ako jednakokračni trapez ima šiljasti kut $60 °,$ a osnovice $6$ i $12,$ izračunajte mu površinu.

Uputa: Uočite pravokutni trokut kao i u riješenom primjeru. U tom trokutu znamo kut i priležeću katetu tom kutu, a možemo izračunati nasuprotnu katetu koja je zapravo visina trapeza. Uz visinu i zadane osnovice, računamo površinu.

$P = 46.8$

Zatvori

Osim u navedenim primjerima, trigonometrijski omjeri pravokutnog trokuta koriste se i u zadatcima s kružnicom, krugom i pravilnim poligonima, ali i u stvarnim situacijama. Trigonometrija će se još dugo družiti s vama. Pogledajte primjer.