x
Učitavanje

9.1 Obujam tijela. Cavalierijev princip

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Bonaventura Cavalieri
Bonaventura Cavalieri

Tko je bio Cavalieri?

Bonaventura Cavalieri rođen je u Milanu 1598. Veliki utjecaj na njega imao je Galileo Galilei, čiji je bio učenik. Cavalieri se bavio trigonometrijom, geometrijom, optikom, astronomijom i astrologijom.

Najpoznatija knjiga mu je: "Geometria indivisibilibus continuorum nov qudam ratione promota", iz 1635. Knjiga se bavi specifičnom metodom bliskom metodi ekshaustije (više o toj metodi pročitajte http://hrcak.srce.hr/file/129926). Na nju se nadovezuju kasniji radovi mnogih matematičara, posebno Keplera.

Cavalieri u knjizi slijedi svoju ideju nedjeljivosti. Geometrijske se likove promatra kao strukture satkane od nedjeljivih elemenata: točaka, tankih niti ili ravnih slojeva.

Cavalieri ističe dva principa: jedan za površinu likova u ravnini, a drugi za obujam geometrijskih tijela.

Postoji li način kako možemo izračunati površine i volumene nepravilnih likova i tijela? Tim pitanjem bavio se Cavalieri.

Ne znamo je li Cavalieri tražio odgovore na baš ova pitanja, ali zahvaljujući njemu na ta pitanja možemo pronaći odgovor.

Cavalierijev princip za likove

U geometriji između ostalog računamo i površine likova. Površine nekih likova računali smo "preslagivanjem". Podsjetimo se kako smo računali površinu paralelograma.

Površina paralelograma

Računamo površinu paralelograma A B C D . Prvo spuštamo okomicu iz vrha D na stranicu a . Time smo dobili pravokutni trokut A D F , koji možemo "odsjeći" od paralelograma. Zamislimo dalje da taj dio premještamo na mjesto trokuta B C E .

Na taj smo način paralelogram A B C D zamijenili pravokutnikom F E C D . Vidimo da su površine obaju likova jednake. Primijetimo da su osnovice i visine obaju likova jednake.

Pravokutnik/paralelogram

Rastaviti i presložiti likove kako bismo utvrdili imaju li istu površinu možemo i na drugi način: presijecajući ih poprečno na više dijelova. Pogledajmo likove na sljedećoj slici.

Jesu li površine ovih likova jednake? Prvi lik je pravokutnik "rasječen" na 10 jednakih dijelova (pravokutnika). Što je drugi lik? Ako bismo povećali broj dijelova na npr. 50 , na koji lik bi vas podsjećao tada?

Nakošeni lik ima istu osnovicu, visinu i površinu kao i paravokutnik, ali nije pravokutnik. Lik podsjeća na parlelogram, a s povećanjem broja dijelova približava se pravokutniku.

Cavalieri opisuje odnos između dvaju likova koristeći se paralelnim pravcima koji sijeku oba lika. Paralelne linije su jednako udaljene, pa su visine svih dijelova jednake.

Cavalieri 2D

Cavalierijev princip za likove:

Uvjeti:

  • ​dva paralelna pravca p i q
  • dva lika između paralelnih pravaca
  • svaki novi pravac paralelan s p i q odsijeca dužine iste duljine na oba lika.

Zaključak:

Površine obaju likova su jednake.

Primjer 1.

Jedan od najčešćih primjera Cavalierijeva principa za likove su trokuti smješteni između dvaju paralelnih pravaca, čija je baza jednake duljine.

U sljedećoj interakciji pogledajte upravo takav primjer. Uz pomoć klizača a mijenjate duljinu osnovice, a možete mijenjati i visinu trokuta. Na samim trokutima ispisuje se i njihova površina.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 2.

Pravokutnici

Još jedan od primjera su paralelogrami između dvaju paralelnih pravaca s osnovicom iste duljine. Ova dva paralelograma imaju istu površinu.

Zadatak 1.

Zadatak 1

Trokuti na slici imaju istu površinu od ​ 15 cm 2

Također vrijedi:

Udaljenost između dužine E F - i C C 1 - iznosi 3 cm . Izračunajte duljinu dužina E F - i E 1 F 1 - .

Iz formule za površinu trokuta izrazimo visinu trokuta A B C :

P A B C = 1 2 A B - · B C -

B C - = 2 · P A B C A B - = 2 · 15 5 = 6 cm

Dužine E F - i C C 1 - su paralelne, pa je visina drugog trokuta također 6 . Sada iz formule za površinu drugog trokuta računamo da je A 1 B 1 = 5 .

Iz A B C E F C i A 1 B 1 C 1 E 1 F 1 C 1 računamo koeficijent sličnosti k = 1 2 .

Sada jednostavno računamo da su tražene veličine 2.5 cm .


Primjer 3.

Primjer 2

Ana tvrdi da ako dva lika imaju istu visinu i površinu, tada su im duljine dužina koje ih presijecaju jednake. Je li Ana u pravu? Možete li nacrtati primjer koji pokazuje da Ana nije u pravu?

Trokuti na slici su očit primjer da obrat Cavalierieva principa ne vrijedi. Oba trokuta imaju istu površinu, tj. iste osnovice i visinu, ali duljine dužina koje ih presijecaju nisu iste.

Primjer 4.

Pogledajte u sljedećoj animaciji kako možemo s pomoću Cavalierijeva principa izračunati površinu između dvaju cikloida.

Problem površine latica

Cavalierijev princip za tijela

Cavalieriev princip - žetoni

Promotrite 18 žetona složenih u dva različita niza iste visine. Je li volumen tih dvaju stupaca jednak?

Bez obzira na to što je oblik različit, volumen obaju stupaca je jednak.

Ideja za određivanje volumena slična je ideji za određivanje površina. Geometrijsko tijelo "režemo" na tanke vodoravne dijelove, poput žetona u prethodnom primjeru. Presjek je u ovom slučaju krug. Površina kruga dana je formulom:

P = r 2 · π

Ako je broj vodoravnih dijelova n , a visina svakog dijela 1 , tada je ukupni volumen jednak:

V = n · r 2 · π

Slično računamo volumen za bilo koji presjek, tj. bazu.

Cavalierijev princip za tijela:
Cavalierijev princip za tijela:

Cavalierijev princip za tijela:

Ako se dva geometrijska tijela nalaze između dviju paralelnih ravnina i svaka ravnina paralelna tim ravninama siječe tijela tako da presjeci imaju istu površinu, tada tijela imaju jednake volumene.

Uvjeti:

  • ​dvije paralelne ravnine p i q
  • dva tijela između paralenih ravnina
  • svaka ravnina paralelnim ravninama p i q siječe tijela tako da presjeci imaju istu površinu.

Zaključak:

Tijela imaju isti volumen.

Napomena: Tijela ne moraju imati ste baze, ali površine baze moraju biti jednake.

Praktična vježba

Cavalieriev princip - primjer

Cavalieriev princip za tijela možemo predočiti na razne načine. Od dvaju stupaca papira možemo složiti različite prizme. Isto je novčićima.

Pokušajte pronaći još primjera koji zorno prikazuju Cavalieriev princip.

Zanimljivost

Presjek dvaju valjaka
Presjek dvaju valjaka

U trećem stoljeću kineski matematičar Lui Hui pokušao je izračunati volumen kugle. Pritom je određivao omjer volumena kugle i presjeka dvaju valjaka (mou he fang gai). Primijenio je princip sličan Cavalierievu. Izračunao je omjer, ali nije izračunao volumen kugle. U petom stoljeću Zu Geng je izračunao volumen kugle primjenjujući ovaj princip.

Primjer 5.

Dvije prizme
Dvije prizme

Između dviju paralelnih ravnina nalaze se dva tijela. Kad presiječemo ta dva tijela novom ravninom, koja je paralelna bazama tih tijela, jedan presjek je trokut, a drugi pravokutnik. Udaljenost između presjeka i baze je 3 .

Izračunajmo:

  1. Površinu presjeka za oba tijela

    P = a · v a 2 = 10 · 3.3 2 = 16.5

    P = a · b = 4 · 4.125 = 16.5

    Površine presjeka obaju tijela su jednake i visine su jednake.

  2. Volumen drugog tijela ako je volumen prvog 82.5

    Volumen drugog tijela je 82.5 , uz primjenu Cavalierieva principa.

Primjer 6.

Zadana su dva tijela. Prvom tijelu baza je pravokutni jednakokračni trokut hipotenuze 32 , a visina je 15 . Drugo tijelo ima istu visinu i volumen jednak prvom tijelu. Kolika je površina baze drugog tijela? Ako je baza kvadrat, kolika je duljina stranice?

Ako je visina tijela jednaka i volumen je jednak, onda su površine presjeka (baze) jednake.

Ako je baza prvog tijela pravokutan trokut hipotenuze 32 , onda s pomoću Pitagorinog poučka računamo katete.

32 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 , iz čega slijedi da je kateta jednaka 4 .

Sada računamo bazu:

B = 1 2 · 4 · 4 = 8

a = 8 = 2 2

Zadatak 2.

Valjak visok 5 cm  ima volumen 45 π . Ako je presjek tijela paralelan bazi tijela krug, koliki je radijus tog kruga?

r = 3   ​


Zadatak 3.

Kvadar ima bazu u obliku pravokutnika dimenzija 16  i 9 . U kvadru je "rupa" čija je baza također pravokutnik, dimenzja 3  i 6 . Oba kvadra imaju istu visinu, 9 . Koliki je volumen čvrstog dijela?

Računamo prvo volumen prvog tijela:

V = 16 · 9 · 9 = 1 296

Volumen drugog tijela je:

V = 3 · 6 · 9 = 162

Volumen čvrstog dijela razlika je dvaju volumena: 1 134 .


Zadatak 4.

Provjerimo za kraj koliko smo naučili o ovom važnom principu.

Svi presjeci dvaju tijela su krugovi. Visina obaju tijela je 15 .

Ako je radijus presjeka isti, onda su i volumeni ovih dvaju tijela jednaki.

null
null

Zadana su dva tijela istih visina. Jednom tijelu baza (presjek) je krug, a drugom kvadrat, istih površina.

Volumeni nisu jednaki zato što tijela nemaju iste baze.

null
null

Tijelo ima visinu 22 cm . Baza tijela je krug radijusa 5 cm . Koliki je volumen tijela?

null
null

Zadana su dva tijela. Prvo za bazu ima jednakokračan pravokutan trokut čija je hipotenuza jednaka 6 2 . Oba tijela imaju jednaku visinu 10 . Baze su im jednake površine. Izračunajte duljinu stranice baze drugog tijela ako je baza kvadrat.

null
null

U svakom je stupcu jednak broj novčića jednakih dimenzija. Koja od sljedećih izjava je točna?

novčići

null
null

...i na kraju

CT scan

Cavalierijev princip ne primjenjuje se samo u matematici. Jedna od najčešćih primjena tog principa je u medicini. Cavalierijev se princip upotrebljava u stereološkoj analizi ljudskih organa, npr. volumena pluća.

Idemo na sljedeću jedinicu

9.2 Prizme