x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Ilustracija fraktala - Zmajeva krivulja (Autor: Stefan Lew) Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve.png, Autor: Stefan Lew
    Fraktal – Zmajeva krivulja, Autor: Stefan Lew, Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve.png

    Naučili smo da kompleksni brojevi osim svoje primjene imaju i vizualnu ljepotu te privlače i one koji ne izučavaju matematičke pojmove. Pri tome mislimo na fraktale. Na internetu možemo pronaći mnogo slika fraktala.

    Zmajeva krivulja

    Zmajeva krivulja opisana je u kompleksnoj ravnini rekurzivnim funkcijama f 1 z = 1 + i z 2 , f 2 z = 1 - 1 - i z 2 , gdje je z kompleksan broj.

    Praktična vježba

    Pokušajte konstruirati nekoliko iteracija zmajeve krivulje. Za pomoć proučite upute na slici ili pratite korake konstrukcije. Konstrukciju provedite u GeoGebri.

    Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve_iterations_(2).svg, Autor: Prokofiev
    Iteracije zmajeve krivulje. Autor: Prokofiev. Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve_iterations_(2).svg

    Koraci konstrukcije:

    a. Nacrtajte dvije dužine s jednom zajedničkom krajnjom točkom i kutom od 90 ° između njih (kao na slici).

    b. Nad svakom od dužina nacrtajte jednakokračan pravokutni trokut. Pripazite da jedan trokut konstruirate iznad dužine, a drugi ispod dužine.

    Napomena: početne dužine iz a. koraka konstrukcije su hipotenuze, a dužine nacrtane u b. koraku su katete pravokutnih trokuta.

    c. Postupak ponovite nad četirima dužinama konstruiranima u b. koraku.

    d. Nad dužinama konstruiranima u c. koraku ponavlja se postupak konstrukcije.

    Ponavljamo postupak u svakom idućem koraku.

    Pogledajte animaciju zmajeve krivulje.

    Sierpinski

    Zanimljivost

    Sierpinski krivulja
    Izvor: creativecommons.org. Autor: Vahram Mekhitarian. Licenca: CC BY-SA 3.0

    Wacław Sierpiński (1882. – 1969.) bio je poljski matematičar koji se bavio teorijom skupova, teorijom brojeva, funkcijama i topologijom. Objavio je više od 700 članaka i 50 knjiga. Po njemu nazivamo i Sierpinski trokut (o kojem možete pročitati više na poveznici) i Sierpinski krivulju.

    Sierpinski tetraedar

    Osim u ravnini, fraktali mogu nastajati i u prostoru. Na sljedećoj slici vidimo Sierpinski tetraedar.

    Projekt

    Pratite slikovne upute te izradite Sierpinski tetraedar.

    Slikovne upute te izradu Sierpinskog tetraedra

    1. Podloga za Sierpinski tetraedar izrezana je u obliku jednakostraničnog trokuta duljine stranice 40 cm . Kolika je duljina brida malih tetraedara potrebnih za izradu Sierpinski tetraedra? Brid tetraedra je cm .
      null
      null
    2. Koliko je malih tetraedara potrebno izraditi da bismo dobili Sierpinski tetraedar? Potrebna su  tetraedra.
      null
      null

    Koraci izrade Sierpinski tetraedra: ​

    1. Iz hamer papira izrežite jednakostraničan trokut za podlogu Sierpinski tetraedra.
    2. Izradite 64 tetraedra iz hamer papira. Brid tetraedra mora biti osam puta kraći od stranice trokuta u podlozi (iz 1. koraka). Razmislite o timskoj izradi rad u timu je brži i zabavniji!
    3. Tetraedre slažite prema rasporedu kako je prikazano na prethodnoj slici.

    Kutak za znatiželjne

    Girolamo Cardano
    Izvor: commons.wikimedia.org. Autor: R. Cooper. Licenca: CC-BY-4.0

    Za vrijeme renesanse u Europi su matematičari postavljali probleme koje nitko nije znao riješiti. Oni su time stjecali znanstveni ugled te dobivali radna mjesta na sveučilištima i novčane nagrade. Postojala su i natjecanja u rješavanju matematičkih problema. Neki od najpoznatijih matematičkih dvoboja su između del Ferra i Tartaglie te poslije Tartaglie i Cardana. Tijekom dvoboja rješavali su kubnu jednadžbu, ali nisu je znali riješiti jer se tijekom rješavanja ispod korijena pojavio negativan broj.

    Matematičari su tek poslije, otkrićem i prihvaćanjem kompleksnih brojeva, uspjeli objasniti i riješiti problem kojim se bavio još i Cardano.

    Više o toj temi pročitajte na:

    Diplomski rad: Matematika u doba renesanse

    Ivica Gusić: Zašto su uvedeni kompleksni brojevi

    Prikaz u kompleksnoj ravnini

    Kutak za znatiželjne

    Naučili ste da skup z C : z - z 1 = r opisuje kružnicu, a skup z∈C : z - z 1 = z - z 2 pravac.

    Podsjetite se na kompleksne ravnine u šestoj jedinici ovoga modula .

    Praktična vježba

    U sljedećem primjeru istražite o čemu ovise položaji pravca i kružnice u kompleksnoj ravnini. Što označavaju klizači? Odgovorite na postavljena pitanja.
    Povećaj ili smanji interakciju
    Povećaj ili smanji interakciju

    Kutak za znatiželjne

    Koristeći se prethodnim primjerom zapišite z 1 i z 2 te promotrite pravac i njegovu jednadžbu. Nacrtajte ih u kompleksnoj ravnini (za tu prigodu možete se koristiti programom za dinamičnu geometriju GeoGebra).

    Zadatak 1.

    Neka su z 1 i z 2 krajnje točke dužine. Pronađite jednadžbu simetrale te dužine. Objasnite.

    Pomoć: prisjetite se što je simetrala dužine.

    z - z 1 = z - z 2 je jednadžba simetrale dužine z 1 z 2 ¯ u kompleksnoj ravnini.


    Zadatak 2.

    U kojem su međusobnom položaju brojevi z 1 = x + y i i z 2 = y + x i u kompleksnoj ravnini? Nađite kompleksni broj koji se nalazi u kompleksnoj ravnini u polovištu dužine z 1 z 2 ¯ .

    Brojevi z 1 i z 2 su simetrični u odnosu prema pravcu y = x . U polovištu je broj z = x + y 2 + x + y 2 i .


    Zadatak 3.

    Odredite podskup kompleksne ravnine određen s 2 z > 1 + z 2 .

    Uvrštavanjem z = x + y i u 2 z > 1 + z 2 tj. u 2 | z | > | z - i | · | z + i | dobivamo x 2 + y - 1 2 - 2 · x 2 + y + 1 2 - 2 < 0 .

    Zato je rješenje ove nejednadžbe skup samo onih točaka T x , y koje se nalaze unutar samo jedne od kružnica x 2 + y - 1 2 < 2 i x 2 + y + 1 2 < 2 .


    Jednadžbe s kompleksnim brojevima

    Zadatak 4.

    Riješite jednadžbe.

    1. 1 + i z 2 - 5 + i z + 4 - 2 i = 0
    2. 2 z - 4 a z + 1 + a i = 0 , a R
    1. z 1 = 2 - i , z 2 = 1 - i
    2. z 1 = 1 4 i , z 2 = 2 a 4 a 2 - 1 + 1 4 i

    ...i na kraju

    Na državnoj su se maturi proteklih godina pojavljivali zadatci s kompleksnim brojevima.

    Riješite zadatke birane prema primjerima s državne mature.

    Koliko je racionalnih brojeva u skupu brojeva 4 , 3 7 i , 5 , 5 6 , - 3 , π ?

    Izračunajte: 2 - i 3 + 2 i .

    Za kompleksni broj z = 4 - i odredite z · z ¯ .

    Odredite a , b R tako da brojevi z = a + 3 - b i i v = 3 - b + 1 2 i budu jednaki.

    Gdje se nalaze svi kompleksni brojevi koji imaju isti modul kao i broj z = 3 + i ?

    Potražite zadatke s državne mature i na poveznici.