x
Učitavanje

2.8 Bikvadratne jednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Naučili smo rješavati kvadratnu jednadžbu. Prokušajmo riješiti sljedeći zadatak.

Zbroj kvadrata duljina stranica pravokutnika je 18 . Odredi duljine stranica pravokutnika ako je površina 9 .

Pomičući točku B mijenjaj duljine stranica pravokutnika.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 1.

Oznake: a ,   b - duljine stranica pravokutnika.

Poznato: zbroj kvadrata duljina stranica je 18

a 2 + b 2 = 18 .

Površina pravokutnika je 9 . Površina pravokutnika jednaka je produktu duljina stranica.

a · b = 9 .

Nepoznato: duljine stranica pravokutnika: a , b .

Da bismo izračunali duljine stranica potrebno je riješiti sustav od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

a 2 + b 2 = 18

a · b = 9

Postoji li uvijek jedinstveno rješenje sustava od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice?  

Pomoć:

Rješavanje sustava od dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice objašnjeno je u Matematici 1, modul 7 i Matematici 7, modul 9.

null

Rješavanje sustava od dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice objašnjeno je u Matematici 7 i Matematici 1. Vidjeli smo da sustav neće uvijek imati jedinstveno rješenje. U prethodnoj jedinici rješavali smo sustave linearne i kvadratne jednadžbe.

Pripadaju li sustavi a 2 + b 2 = 18 i a · b = 9  u sustave linearne i kvadratne jednadžbe?

null
null

Pokušajmo riješiti i ovu vrstu sustava. Analogno kao i kod sustava linearne i kvadratne jednadžbe pokušat ćemo upotrijebiti metodu supstitucije.

a 2 + b 2 = 18 i

a · b = 9 a = 9 b

Uvrštavanjem izraza a = 9 b u prvu jednadžbu dobivamo

( 9 b ) 2 + b 2 = 18  

  81 b 2 + b 2 = 18.  

Množenjem s b 2 dobijemo jednadžbu 81 + b 4 = 18 b 2 . Prebacimo li sve članove na lijevu stranu i posložimo ih po potencijama, od b dobijemo b 4 - 18 b 2 + 81 = 0 . Ova jednadžba podsjeća na kvadratnu, ali to nije kvadratna jednadžba.  ​

Bikvadratna jednadžba

Jednadžba oblika a x 4 + b x 2 + c = 0  naziva se bikvadratna jednadžba.

Kako ćemo riješiti bikvadratnu jednadžbu? Možemo li od bikvadratne jednadžbe dobiti kvadratnu?

null
null

Supstituiramo li t = x 2 bikvadratna jednadžba prelazi u kvadratnu.

Uvrštavanjem t = b 2 u jednadžbu b 4 - 18 b 2 + 81 = 0 dobivamo kvadratnu jednadžbu t 2 - 18 t + 81 = 0 . Ta kvadratna jednadžba ima samo jedno rješenje t = 9 . Ako to rješenje vratimo u našu supstituciju b 2 = t, dobit ćemo b 2 = 9, odnosno b 1 = 3 , b 2 = - 3 . Naravno, duljina stranice nije negativan broj, pa je b = 3 . Iz a = 9 b dobijemo da je a = 3 . Dakle, pravokutnik kojem su duljina stranica a i b jednake (kvadrat) i iznose 3 , zadovoljava uvjete da je zbroj kvadrata duljina stranica 18 , a površina 9 .

Bikvadratne jednadžbe su jednadžbe oblika a x 4 + b x 2 + c = 0 . Rješavamo ih uvođenjem zamjene (supstitucijom) t = x 2, čime bikvadratna jednadžba prelazi u kvadratnu a t 2 + b t + c = 0 .

Zanimljivost

Naziv bikvadrat dolazi od dviju latinskih riječi:

bi - (lat. bis) predmetak u složenicama koji kazuje da se značenje drugog dijela složenice pojavljuje dvaput

kvadrat – (lat. quadratum) matematička jednadžba drugog stupnja (kod koje nepoznata veličina stoji na drugoj potenciji).

Primjer 2.

Riješimo jednadžbu:

36 x 4 - 25 x 2 + 4 = 0 .

Rješenje je prikazano u videu koji slijedi.

Kutak za znatiželjne

Grafički prikaz bikvadratne funkcije f ( x ) = 36 x 4 - 25 x 2 + 4 u koordinatnom sustavu izgleda ovako:  

Grafički prikaz bikvadratne funkcije
Grafički prikaz bikvadratne funkcije

Rješenja bikvadratne jednadžbe su nultočke funkcije čiji je grafički prikaz na slici. Iz grafičkog prikaza mogu se naslutiti rješenja

x 1 = - 2 3 , x 2 = - 1 2 , x 3 = 1 2 , x 4 = 2 3 .

Primjer 3.

Riješimo bikvadratnu jednadžbu: x 4 + 3 x 2 - 4 = 0 .

Uvrštavanjem supstitucije t = x 2 bikvadratna jednadžba prelazi u kvadratnu t 2 + 3 t - 4 = 0 . Rješenja ove kvadratne jednadžbe su: t 1 = 1 i t 2 = - 4 . Dobivena rješenja uvrstimo u t = x 2 i dobivamo dvije kvadratne jednadžbe x 2 = 1 i x 2 = - 4 .

Iz prve jednadžbe, x 2 = 1, dobijemo rješenja za x: x 1 = 1 , x 2 = - 1 .

Rješenja druge jednadžbe, x 2 = - 4, su x 3 = 2 i , x 4 = - 2 i .

Rješenja bikvadratne jednadžbe

Spojite bikvadratne jednadžbe s njihovim rješenjima.

x 4 + 8 x 2 + 16 = 0   ​
x 1 = 3 i , x 2 = - 3 i , x 3 = 2 i , x 4 = - 2 i   ​
x 4 + 4 x 2 = 0   ​
x 1 = 2 i , x 2 = - 2 i
x 4 - 13 x 2 + 36 = 0  
x 1 = 0 , x 2 = 2 i , x 3 = - 2 i   ​
x 4 - 5 x 2 - 36 = 0  
x 1 = 3 , x 2 = - 3 , x 3 = 2 i , x 4 = - 2 i   ​
x 4 + 13 x 2 + 36 = 0   ​
x 1 = 3 , x 2 = - 3 , x 3 = 2 , x 4 = - 2   ​
null
null

U prethodnom zadatku imali smo nekoliko sličnih bikvadratnih jednadžbi s različitim brojem i vrstom rješenja.

Koliko najviše različitih rješenja može imati bikvadratna jednadžba?

null
null

Bikvadratna jednadžba može imati najviše četiri različita rješenja. Rješenja mogu biti realna i kompleksna. Kompleksna rješenja uvijek se pojavljuju u parovima – konjugirano kompleksni brojevi.

Zadatak 1.

Odredite vrijednost realnog parametra p za koji će jednadžba x 4 - 2 x 2 + p = 0 imati samo dva realna (dvostruka) rješenja.

p = 1

Uputa: diskriminanta bikvadratne jednadžbe treba biti 0 .


Zadatak 2.

Odredite bikvadratnu jednadžbu čija su rješenja x 1 = 3 , x 2 = - 3 , x 3 = 1 , x 4 = - 1 .

    ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 0   ​

x 4 - 10 x 2 + 9 = 0  


...i na kraju

Bikvadratne jednadžbe su jednadžbe oblika a x 4 + b x 2 + c = 0 . Rješavamo ih uvođenjem zamjene (supstitucijom) t = x 2 čime bikvadratna jednadžba prelazi u kvadratnu a t 2 + b t + c = 0 . Bikvadratna jednadžba može imati najviše četiri rješenja.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Kvadratna jednadžba može imati samo jedno rješenje.

null
null
2

Bikvadratna jednadžba može ima najviše četiri rješenja.

null
null
3

Vieteove formule određuju vrstu rješenja kvadratne jednadžbe.

null
null
4

Kvadratna jednadžba ima samo realna rješenja ako joj je diskriminanta veća ili jednaka nuli.

null
null
5

Spojite jednadžbe s pripadnim rješenjima.

x + 2 x - 1 = 0  
x 1 = 2 , x 2 = 2 , x 3 = i , x 4 = - i   ​
x 4 - 3 x 2 - 4 = 0  
x 1 = 1 2 , x 2 = - 2   ​
2 x - 1 x + 2 = 0   ​
x 1 = 1 , x 2 = - 1  
x 4 - 2 x 2 + 1 = 0   ​
x 1 = 1 , x 2 = - 2   ​
null
null
6
Riješite jednadžbu 3 x + 2 + 1 x - 2 = 1
x 1 =
x 2 = .
null
null
7

Koliko iznosi realan parametar k ako su rješenja jednadžbe ​ 3 x 2 - k - 1 2 x - 4 = 0 suprotni brojevi?

null
null
8
Riješite sustav jednadžbi:
x + y = 1
x 2 + x y - y 2 = - 5 .
x 1 =
y 1 =
x 2 =
y 2 =
null
null
9

Kompleksni broj ​ 2 - 3 i  je rješenje jednadžbe:

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.9 Primjena kvadratnih jednadžbi