3.6 Iracionalne jednadžbe

Rješavanje iracionalnih jednadžbi s parnim korijenom

Potenciranjem se rješavamo znaka korijena, ali kod parnih korijena dobili smo netočno rješenje. Zašto?

Računanja s korijenima možete se podsjetiti u Matematici 1, modul Korijeni i potencije.

Množenjem ili dijeljenjem jednadžbe nekim brojem (različitim od nula) dobivali smo ekvivalentne jednadžbe. Njihova su rješenja bila jednaka rješenjima početne jednadžbe.

Kvadriranjem iracionalne jednadžbe (ili potenciranjem s parnim eksponentom) ne dobivamo ekvivalentne jednadžbe, ali je svako rješenje polazne jednadžbe sačuvano. Možemo dobiti višak rješenja.

Primjer 2.

Jednadžba $\sqrt{x+3}=-1$ nema rješenja u skupu realnih brojeva. Kvadrirajući, dobili bismo jednadžbu $x+3=1,$ tj. $x=-2.$ Uvrštavanjem u početnu jednadžbu možemo uočiti da $x=-2$ ne zadovoljava jednadžbu. $x=-2$ nije rješenje te jednadžbe.

Da jednadžba $\sqrt{x+3}=-1$ nema rješenja, mogli smo zaključiti i bez rješavanja. Drugi korijen nikada ne može biti negativan (u našem slučaju $-1$).

Primjer 3.

Pogledajmo još jedan primjer.

$\sqrt{x+2}=x$

Kvadriranjem dobijemo

$x+2=x^2$

$-x^2+x+2=0$

$x_1=2,x_2=-1.$

Uvrštavanjem vrijednosti za $x$ u početnu jednadžbu dobivamo:

za $x_1=2$ 

$\sqrt{2+2}=2$

$\sqrt{4}=2,$

za ​ $x_2=-1$

$\sqrt{-1+2}=-1$

$\sqrt{1}\ne -1.$

Dakle, rješenje je $x=2.$ ​

I u tom smo primjeru imali drugi korijen. Također smo mogli razmišljati o tome da je drugi korijen nenegativan realan broj te postaviti uvjet $x\ge 0,$ koji zadovoljava rješenje $x_1=2,$ ali ne i $x_2=-1.$ Je li to jedini uvjet u ovom primjeru?

Funkcija drugi korijen (i svaki parni korijen) nije definirana za negativne brojeve i uvijek je nenegativan realan broj.

Jednadžba $\sqrt{x+2}=x$ ima dva uvjeta: $x+2\ge 0$ i $x\ge 0.$ Presjek tih dvaju uvjeta je $x\ge 0$ pa smo prethodni primjer dobro riješili iako smo „ zaboravili” na jedan uvjet. Na taj uvjet možemo uvijek „ zaboraviti” jer kvadriranjem desne strane dobijemo „nešto” na kvadrat, što je uvijek pozitivno.

Primjer 4.

Riješimo primjer $\sqrt{1+3x}+x=1.$

Kvadriramo li jednadžbu u ovom obliku, u kojem s lijeve strane imamo binom, trebali bismo upotrijebiti formulu za kvadriranje binoma​ ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2.$ Ali time bismo i dalje zadržali korijen s lijeve strane (pokušajte kvadrirati).

Bolje je $x$ prebaciti na desnu stranu tako da nam na lijevoj strani jednadžbe ostane samo korijen.

$\sqrt{1+3x}=1-x$ 

Kvadriranjem dobijemo:

$1+3x=1-2x+x^2$

$-x^2+5x=0$

$x_1=0, x_2=5.$

Uvjeti:

$1+3x\ge 0\Rightarrow x\ge -\frac{1}{3}$ (mogli smo i izostaviti)

$1-x\ge 0\Rightarrow x\le 1.$

Presjek tih dvaju uvjeta je interval $\left[-\frac{1}{3},1\right].$ Prvi $x_1=0$ zadovoljava uvjete pa je rješenje naše jednadžbe, a $x_2=5$ ne zadovoljava uvjete pa odbacujemo kao rješenje.

Zadatak 1.

Riješite jednadžbu​ $\sqrt{x-1}+7=x.$

Rješenje

---

Primjer 5.

Riješimo jednadžbu: $\sqrt{5-x^2}=x+1.$

Postupak rješavanja te jednadžbe pomno je objašnjen u videozapisu koji slijedi.

Iracionalne jednadžbe s parnim korijenima rješavamo potenciranjem. Pritom možemo dobiti višak rješenja. Da bismo odredili koja su rješenja točna, potrebno je:​

• provjeriti rješenja uvrštavanjem u početnu jednadžbu
• ili ispisati uvjete za parni korijen te provjeriti koja rješenja zadovoljavaju sve uvjete.​

Kutak za znatiželjne

Riješimo nejednadžbu: $\sqrt{x^2-5x+4}<x-3.$

Nakon kvadriranja dobijemo:​ $x^2-5x+4<x^2-6x+9\Rightarrow x<5.$

Provjeriti sve brojeve koji su manji od $5$ nije moguće. Zato u nejednadžbi moramo upotrijebiti uvjete.

Uvjeti:

$x^2-5x+4\ge 0\Rightarrow x\in \left.⟨-\infty ,1\right]\cup \left[4,+\infty \right.⟩$

$x-3>0\Rightarrow x>3.$

Konačno rješenje mora zadovoljavati rješenje nejednadžbe i oba uvjeta pa je to interval: $\left[4,5\right.⟩.$

Zadatak 2.

Riješite jednadžbu: $2x-6=\sqrt{6x-x^2-5}$ .​

Rješenje

---

Primjer 6.

Riješimo primjer: $\sqrt{3x+4}-2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=0.$

U ovom slučaju s lijeve strane znaka jednakosti imamo trinom. Nije moguće dobiti samo jedan korijen s jedne strane znaka jednakosti. Prebacimo li jedan korijen na desnu stranu, još će nam ostati binom. Pokušajmo riješiti zadatak kvadrirajući binom s jedne strane.

$\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$ nakon kvadriranja dobivamo

$3x+4+2\sqrt{3x^2-8x-16}+x-4=4\mathrm{x.}$ Sredimo li izraz dobit ćemo

$2\sqrt{3x^2-8x-16}=0.$ Ponovno kvadriramo i dobijemo

$12x^2-32x-64=0.$

Rješenja jednadžbe su:​ $x_1=4,x_2=-\frac{4}{3}.$

Uvrštavanjem u početnu jednadžbu ili ispisivanjem uvjeta možemo provjeriti da je samo $x_1=4$ rješenje početne jednadžbe.

Zadatak 3.

Riješite jednadžbu: $\sqrt{x+10}-\sqrt{x-2}=2.$

Rješenje

---

Rješavanje iracionalnih jednadžbi s neparnim korijenom

Primjer 7.

Riješimo iracionalnu jednadžbu s trećim korijenom.

$\sqrt[3]{x^2+4}-2=0$

Prije kubiranja prebacimo $-2$ na desnu stranu, $\sqrt[3]{x^2+4}=2.$ Kubiranjem dobivamo jednadžbu ​ $x^2+4=8,$ čija su rješenja ​ $x_1=2x_2=-2.$

Kako za treći korijen nema nikakvih ograničenja (možemo računati za negativne brojeve i treći korijen može biti negativan broj), oba rješenja zadovoljavaju početnu jednadžbu (možete provjeriti uvrštavanjem).

Kubiranjem (potenciranjem s neparnim eksponentom) dobivamo ekvivalentne jednadžbe pa su rješenja tih jednadžbi ujedno rješenja početne jednadžbe.

Zadatak 4.

Riješite jednadžbu: ​ $\sqrt[3]{2x-3}-3=0.$

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Uputa: iskoristite supstituciju $t=\sqrt[3]{x-3}.$ Time dobijete kvadratnu jednadžbu s rješenjima $6$ i $-2.$ Uvrštavanjem tih vrijednosti u $t=\sqrt[3]{x-3}$ rješenja za $x$ su $219$ i $-5,$ čiji je zbroj  $214.$

1. Odredite rješenje (rješenja) jednadžbe ​ $2x=\sqrt{1-3x}.$

   $\frac{1}{4}$

   $0$

   $-1$

   $\frac{1}{2}$

   

    
   

    
   

2. Odredite rješenje (rješenja) jednadžbe ​ $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5.$

   $3$

   $0$  ​

   $5$   

   $\frac{11}{5}$  

   

3. Odredite rješenje (rješenja) jednadžbe $\sqrt[3]{x^2+7x-17}=-3.$
   

   $2$  ​

   $-2$  ​

   $-5$  ​

   $-1$

   

4. Odredite rješenje (rješenja) jednadžbe $\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-6}=\sqrt{x-1}.$
   

   $-3$

   $-1$

   $0$

   $10$

   

    
   

   null