x
Učitavanje

1.4 Dijeljenje kompleksnih brojeva

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Ponovimo!

Naučili smo zbrajati, oduzimati i množiti kompleksne brojeve. Prisjetimo se!

Rješavanje jednadžbi u skupu C

Zadatak 1.

Odredite zbroj, razliku i umnožak.

z 1 = 8 - i i

z 2 = 2 + i .

z 1 + z 2 = 10  

z 1 - z 2 = 6 - 2i  

z 1 · z 2 = 17 + 6 i


Povezani sadržaji

U prošloj smo temi naučili zbrajati, oduzimati i množiti kompleksne brojeve. Sada ćemo pogledati kako se dijele kompleksni brojevi. Da bismo podijelili dva kompleksna broja, trebamo se podsjetiti kako smo racionalizirali nazivnike u drugom korijenu.

Zadatak 2.

Racionaliziraj nazivnik razlomka ​ 2 2 - 2 .

 Racionalizacija nazivnika nalazi se u sadržajima 8. razreda.

2 2 - 2 · 2 + 2 2 + 2 = 2 ( 2 + 2 ) 2 2 - 2 2 = 2 ( 2 + 2 ) 4 - 2 = 2 ( 2 + 2 ) 2 = 2 + 2   ​


Pri racionalizaciji nazivnika iz prethodnog zadatka upotrebljavali smo formulu za razliku kvadrata a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) .

Možemo li je primijeniti i na kompleksne brojeve? Odgovor slijedi uskoro.

Konjugirano kompleksni brojevi

Možemo li i podijeliti dva kompleksna broja?

U skupu realnih brojeva dijeljenje se svodi na množenje recipročnim brojem. Vrijedi li to i za skup kompleksnih brojeva?

Postoji li i u skupu kompleksnih brojeva recipročan broj, odnosno broj koji će, pomnožen sa zadanim kompleksnim brojem, dati broj 1 ?

Ako je z = a + b i, onda broj z ¯ = a - b i zovemo konjugirano kompleksnim brojem broja z . Simbol konjugiranja je crta iznad broja koji se konjugira.

z ¯ = a + b i ¯ = a - b i   ​

Primjer 1.

Odredimo konjugirano kompleksni broj brojeva.

  1. z 1 = 5 + 2 i
  2. z 2 = 4
  3. z 3 = - 4 i
  4. z 4 = 5 - 7
  5. z 5 = i + 5
  1. z 1 ¯ = 5 - 2 i
  2. z 2 ¯ = 4
  3. z 3 ¯ = 4 i
  4. z 4 ¯ = 5 - 7
  5. z 5 ¯ = - i + 5

Primjer 2.

Odredimo konjugirano kompleksni broj od z 1 ¯ . ( z 1 = 5 + 2 i ).

5 - 2 i ¯ = 5 + 2 i


Konjugiramo li konjugirano kompleksni broj, dobit ćemo početni broj.

Zanimljivost

Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Naziv konjugirano kompleksni broj prvi je upotrijebio francuski matematičar Augustin Louis Cauchy 1821. godine u svojoj knjizi A Course in Analysis.

Zadatak 3.

Odredite konjugirano kompleksni broj broja.

  1. z 1 = - 4 - 2 i
  2. z 2 = - 2  
  3. z 3 = π i .
  1. z 1 = - 4 + 2 i
  2. z 2 = - 2  
  3. z 3 = - π i

Zadatak 4.

Pomnožite zadani kompleksni broj s njemu konjugirano kompleksnim brojem.

  1. z 1 = 2 + i  
  2. z 2 = 3 - i  
  3. z 3 = 3 i
  4. z 4 = 2 + 3 i 3
  1. z 1 · z 1 ¯ = 2 + i · 2 - i = 4 - 2 i + 2 i - i 2 = 4 + 1 = 5
  2. z 2 · z 2 ¯ = 3 - i · 3 + i = 9 + 3 i - 3 i - i 2 = 9 + 1 = 10
  3. z 3 · z 3 ¯ = 3 i · - 3 i = - 9 i 2 = 9
  4. z 4 · z 4 ¯ = 2 + 3 i 3 · 2 - 3 i 3 = 2 - 9 i 2 3 = 2 + 9 3

Množenjem kompleksnog broja s njemu konjugirano kompleksnim brojem dobili smo pozitivne realne brojeve. Hoće li uvijek biti tako? Možete li naslutiti čemu bi bio jednak umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem?

Zadatak 5.

Koristeći se rješenjima iz prethodnog zadatka, odredite točan odgovor. Umnožak kompleksnog broja a+bi i njemu konjugirano kompleksnog broja a-bi uvijek je:

  1. b 2
  2. a 2 + b 2
  3. a 2 - b 2
  4. a 2 + 2 a b + b 2 .

b. a 2 + b 2


Pokažimo razlog zašto je umnožak kompleksnog broja s njegovim konjugirano kompleksnim brojem uvijek pozitivan realan broj.

a + b i · a - b i = a 2 - a b i + a b i - b 2 i 2 = a 2 + b 2

i 2 - 1

Dakle, možemo zaključiti da je:

z · z ¯ = a 2 + b 2 .

Kvadrat realnog broja uvijek je nenegativan broj, zbroj nenegativnih brojeva je nenegativan broj. Kad množimo kompleksni broj s konjugirano kompleksnim brojem, imaginarni dijelovi suprotnih su predznaka pa se mogu skratiti.

Umnožak kompleksnog broja i njemu konjugirano kompleksnog broja jednak je zbroju kvadrata realnog dijela i kvadrata imaginarnog dijela tog kompleksnog broja. To je realan, nenegativan broj.

Može li ovaj umnožak biti jednak 0 ? To vrijedi samo kada je kompleksni broj z = 0 .

Primjer 3.

Odredimo

z + z ¯ i z - z ¯ za z = 2 + 3 i .

Rješenje:

z + z ¯ = 2 + 3 i + 2 - 3 i = 4
z - z ¯ = 2 + 3 i - ( 2 - 3 i ) = 2 + 3 i - 2 + 3 i = 6 i .

z + z ¯ = 2 Re z

Zbroj kompleksnog broja i njegova konjugirano kompleksnog broja jednak je dvostrukom realnom dijelu tog broja.

z - z ¯ = 2 Im z i  

Razlika kompleksnog broja i njemu konjugirano kompleksnog broja jednaka je umnošku dvostrukog imaginarnog dijela prvog broja i imaginarne jedinice.

Konjugiranje ima još neka svojstva.

z + w ¯ = z ¯ + w ¯  

Konjugirano kompleksni zbroj dvaju kompleksnih brojeva jednak je zbroju konjugirano kompleksnih brojeva.

z - w ¯ = z ¯ - w ¯  

Konjugirano kompleksna razlika dvaju brojeva jednaka je razlici konjugirano kompleksnih brojeva.

z · w ¯ = z ¯ · w ¯

Konjugirano kompleksni umnožak dvaju brojeva jednak je umnošku konjugirano kompleksnih brojeva.

z n ¯ = z ¯ n  

Konjugirana potencija nekoga kompleksnog broja jednaka je potenciji konjugirano kompleksnog broja na isti eksponent.

Primjer 4.

Pokažimo prvo svojstvo konjugiranja kompleksnih brojeva:

z + w ¯ = z ¯ + w ¯ .

Neka su z 1 = x 1 + y 1 i i z 2 = x 2 + y 2 i dva kompleksna broja.

z + w ¯ = x 1 + y 1 i + x 2 + y 2 i ¯ = x 1 + x 2 + y 1 + y 2 i ¯ = x 1 + x 2 - y 1 + y 2 i

z ¯ + w ¯ = x 1 + y 1 i ¯ + x 2 + y 2 i ¯ = x 1 - y 1 i + x 2 - y 2 i = x 1 + x 2 - y 1 + y 2 i

Kutak za znatiželjne

Pokazali smo prvo svojstvo konjugiranja. Pokušajte sami dokazati i ostala svojstva konjugiranja kompleksnih brojeva.

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Primjer 5.

Podijelimo kompleksni broj 4 + 2 i s brojem 2 .

4 + 2i 2 = 4 2 + 2 2 i = 2 + i

Podijeliti kompleksni broj s realnim je jednostavno. Posebno dijelimo realni dio i posebno imaginarni dio te na kraju dopišemo imaginarnu jedinicu. Pokušajte!

Zadatak 6.

Podijelite 3 - 6i 3 .

1 - 2 i  


Odredimo kompleksni broj koji, pomnožen sa zadanim kompleksnim brojem, daje neutralni element za množenje, broj 1 . Takav se broj naziva inverzni broj i označava z - 1 . U skupu realnih brojeva inverzni broj broja x nazivali smo recipročan broj i označili 1 x .

Primjer 6.

Odredimo inverzni broj kompleksnog broja z = 2 + i .

z - 1 = 1 z = 1 2 + i · 2 - i 2 - i = 2 - i 2 2 - i 2 = 2 - i 4 + 1 = 2 - i 5

U postupku određivanja inverznog broja u nazivniku je bio kompleksni broj. Kako bismo to sveli na realni broj, koristili smo se činjenicom da je umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem realan broj. Pomnožimo li broj s razlomkom kojem su i brojnik i nazivnik isti, ne utječemo na vrijednost tog broja nego samo na njegov zapis.

z - 1 = 1 z = 1 a + b i · a - b i a - b i = a - b i a 2 + b 2

z · z - 1 = 1

Zadatak 7.

Odredite inverzne brojeve kompleksnih brojeva:

  1. 4 + 5 i
  2. i  
  3. - 2 + 3 i .
  1. 4 41 - 5 41 i
  2. - i
  3. - 2 - 3 i 13

Primjer 7.

Pokušajmo sada podijeliti broj 2 s kompleksnim brojem 4 + 2 i .

2 : ( 4 + 2 i ) = 2 · 1 4 + 2 i = 2 4 + 2 i · 4 - 2 i 4 - 2 i = 8 - 4 i 16 + 4 = 8 - 4 i 20 = 8 20 - 4 20 i = 2 5 - 1 5 i

Pripazi: 2 4 + 2i 2 4 + 2 2i .

Primjer 8.

Podijelimo brojeve z 1 = 8 - i i z 2 = 2 + i . Postupak je opširno prikazan u videu koji slijedi.

Postupak dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva

z 1 : z 2 = 3 - 2 i


Povezani sadržaji

Postupak dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva provodi se na isti način kao racionalizacija nazivnika binoma koji sadržava drugi korijen.

Primjer 9.

Racionalizirajmo nazivnik razlomka 2 2 - 2 .

2 2 - 2 · 2 + 2 2 + 2 = 2 ( 2 + 2 ) 4 - 2 = 2 ( 2 + 2 ) 2 = 2 + 2  

Povezani sadržaji

Racionalizacija nazivnika nalazi se u sadržajima 8. razreda.

U racionalizaciji nazivnika razlomka iz prethodnog primjera upotrebljavali smo formulu za razliku kvadrata

a 2 - b 2 = a - b a + b .

Ista se formula upotrebljava pri dijeljenju kompleksnih brojeva, uz činjenicu da je i 2 = 1 .

Dijeljenje kompleksnih brojeva možemo prikazati u obliku razlomka koji proširimo s konjugirano kompleksnim nazivnikom. Na taj način u nazivniku dobijemo umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem, što je uvijek pozitivan realan broj.

Primjer 10.

Podijelimo kompleksne brojeve z 1 = 2 + 3 i i z 2 = 1 + 2 i .

z 1 z 2 = 2 + 3 i 1 + 2 i = 2 + 3 i 1 + 2 i · 1 - 2 i 1 - 2 i = 2 - 4 i + 3 i - 6 i 2 1 2 + 2 2 = 2 - 4 i + 3 i + 6 1 + 4 = 8 - i 5 = 8 5 - 1 5 i

Pogledajmo postupak dijeljenja s pomoću općih brojeva.

z 1 : z 2 = z 1 z 2 = x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i · x 2 - y 2 i x 2 - y 2 i = x 1 x 2 - x 1 y 2 i - y 1 x 2 i - y 1 y 2 i 2 x 2 2 - y 2 2 i 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 - x 1 y 2 + x 2 y 1 x 2 2 + y 2 2 i

 Može li nazivnik biti jednak nuli?

null
null

Još ste u osnovnoj školi naučili da se s nulom ne dijeli.

Zadatak 8.

Izračunajte.

  1. 1 1 + i  
  2. 1 - 3 i i
  3. 1 + 2i 1 - i
  4. 5 + 2i 3 + 2i
  5. 1 + i 11 1 + i 77
  1. 1 2 - 1 2 i
  2. - 3 - i
  3. - 1 2 + 3 2 i
  4. 19 13 - 4 13 i
  5. - i

Kako biste uvježbali dijeljenje kompleksnih brojeva, možete iskoristiti vježbalicu koja slijedi. Klikom na ikonu odaberite računsku radnju koju želite uvježbati te u predviđene kvadratiće upišite rješenje.

Povećaj ili smanji interakciju

Kutak za znatiželjne

Dokažite svojstvo konjugirano kompleksnih brojeva: konjugirano kompleksni kvocijent dvaju kompleksnih brojeva jednak je kvocijentu konjugirano kompleksnog brojnika i konjugirano kompleksnog nazivnika.

z w ¯ = z ¯ w za w 0

U skupu kompleksnih brojeva možemo zbrajati i množiti. Te računske radnje imaju jednaka svojstva kao u skupu realnih brojeva.

Svojstva
Zbrajanje Množenje
asocijativnost
z 1 + z 2 + z 3 = z 1 + z 2 + z 3   z 1 · z 2 · z 3 = z 1 · z 2 · z 3  
komutativnost
z 1 + z 2 = z 2 + z 1   z 1 · z 2 = z 2 · z 1  
neutralni element
z + 0 = z   z · 1 = z  
inverzni element
z + - z = 0  
z · 1 z = 1  
distributivnost
z 1 · z 2 + z 3 = z 1 · z 2 + z 1 · z 3
z 1 · z 2 + z 3 = z 1 · z 2 + z 1 · z 3

Kutak za znatiželjne

Proučite kako računati s kompleksnim brojevima u Excelu. Funkcija za dijeljenje glasi IMDIV, a kompleksni brojevi pišu se u navodnicima, npr. =IMDIV („ 8 - i “, “ 2 + i “) daje rezultat 3 - 2 i .

...i na kraju

Ako je z = a + b i ,   onda broj z ¯ = a - b i   nazivamo konjugirano kompleksnim brojem broja z . Simbol konjugiranja je crta iznad broja koji se konjugira.

z ¯ = a + b i ¯ = a - b i  

Umnožak kompleksnog broja i njemu konjugirano kompleksnog broja jednak je zbroju kvadrata realnog dijela i kvadrata imaginarnog dijela tog kompleksnog broja. To je uvijek realan, nenegativan broj.

z · z ¯ = a 2 + b 2  

Dijeljenje kompleksnih brojeva možemo prikazati u obliku razlomka koji proširimo s konjugirano kompleksnim nazivnikom. Na taj način u nazivniku dobijemo umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem, što je uvijek pozitivan realan broj.

z 1 : z 2 = z 1 z 2 = x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i · x 2 - y 2 i x 2 - y 2 i = x 1 x 2 - x 1 y 2 i - y 1 x 2 i - y 1 y 2 i 2 x 2 2 - y 2 2 i 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 - x 1 y 2 + x 2 y 1 x 2 2 + y 2 2 i  

Naučili smo mnogo zanimljivosti o kompleksnim brojevima i osnovne računske radnje u skupu kompleksnih brojeva. Procijeni svoje znanje!

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Svaki kompleksni broj ujedno je i realni broj.

null
null
2

Kompleksne brojeve zbrajamo tako da zbrojimo posebno realni dio i posebno imaginarni dio.

null
null
3

Konjugirano kompleksni broj je suprotan početnome kompleksnom broju.

null
null
4

Umnožak kompleksnog broja i konjugirano kompleksnog broja je uvijek realan broj.

null
null
5

Kojem skupu brojeva pripada broj ​ - 4 9 ?

6
Imaginarni dio kompleksnog broja​ z = 2 i - 3 1 + i i
null
null
7

Odaberi točan odgovor.

Realni dio kompleksnog broja z = 6 i - 18 6  je:

 

 

8

Kompleksni broj spoji s pripadnim rješenjem.

z 4 = i 2 016 + i 2 017 i 2 020 + i 2019 2018  
  - 3 + 3 i

z 1 = 3 - 3i i  
- i   

z 3 = 2 - i 3 3 + i 2  
- 1   ​
z 2 = 15 i - 15 5
- 3 - 3 i  
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

1.5 Apsolutna vrijednost kompleksnog broja