9.6 Oplošje piramide

Mreža piramide

Mreža piramide je prikaz svih ploha koje omeđuju tu piramidu.

Zadatak 1.

 Povežite vrstu piramide s pripadnom mrežom.

	Peterostrana piramidaTrostrana piramidaDeseterostrana piramidaKosa četverostrana piramidaPravilna četverostrana piramidaPravilna šesterostrana piramida
	Peterostrana piramidaTrostrana piramidaDeseterostrana piramidaKosa četverostrana piramidaPravilna četverostrana piramidaPravilna šesterostrana piramida
	Peterostrana piramidaTrostrana piramidaDeseterostrana piramidaKosa četverostrana piramidaPravilna četverostrana piramidaPravilna šesterostrana piramida
	Peterostrana piramidaTrostrana piramidaDeseterostrana piramidaKosa četverostrana piramidaPravilna četverostrana piramidaPravilna šesterostrana piramida
	Peterostrana piramidaTrostrana piramidaDeseterostrana piramidaKosa četverostrana piramidaPravilna četverostrana piramidaPravilna šesterostrana piramida
	Peterostrana piramidaTrostrana piramidaDeseterostrana piramidaKosa četverostrana piramidaPravilna četverostrana piramidaPravilna šesterostrana piramida

null

null

Oplošje piramide

Oplošje geometrijskog tijela jednako je površina svih ploha koje ga omeđuju. Piramida je geometrijsko tijelo omeđeno konveksnim mnogokutom koji se naziva  piramide i s $n$ trokuta koji čine  piramide.

null

null

Označimo li s $B$ površinu baze piramide i s $P$ površinu pobočja, kako će glasiti formula za određivanje oplošja piramide?

$O=2B+P$

$O=2B+P$

$O=2B+P$

$O=B+4P$

null

null

Oplošje trostrane piramide

Mreža trostrane piramide sastoji se od trokuta.

Da bismo odredili oplošje trostrane piramide, prisjetimo se formula za određivanje površine trokuta.

Neka su $a,b,c$ duljine stranica trokuta, $s$ poluopseg​, $R$ polumjer opisane kružnice, $\rho$ polumjer upisane kružnice trokuta, $v_a,v_b,v_c$ visine trokuta na stranice ​ $a,b,c.$ Tada površinu trokuta možemo odrediti s pomoću jedne od formula:

$P=\frac{a·v_a}{2}=\frac{b·v_b}{2}=\frac{c·v_c}{2}$

$P=\frac{abc}{4R}$

$P=\rho ·s$

$P=\sqrt{s·\left(s-a\right)·\left(s-b\right)·\left(s-c\right)}$

Površinu jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$ određujemo

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Površina pravokutnog trokuta duljina kateta​ $a,b$ određuje se i kao pola površine pravokutnika

$P=\frac{ab}{2}$

Primjer 1.

Odredimo oplošje pravilnog tetraedra omeđenog jednakostraničnim trokutima duljine stranice​ $a=10\mathrm{cm}.$

Baza pravilnog tetraedra je jednakostranični trokut s duljinom stranice $a=10\mathrm{cm}.$

Površina baze je $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Kako se i pobočje ove piramide sastoji od tri jednakostranična trokuta sukladna bazi, $P=3·25\sqrt{3}=75\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Zbrojimo li bazu i pobočje, dobit ćemo ​ $O=100\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Zadatak 2.

Izračunajte oplošje pravilne trostrane piramide kojoj je duljina brida baze ​ $a=12\sqrt{3}\mathrm{cm,}$ a duljina visine piramide ​ $h=8\mathrm{cm}.$

Primjer 2.

Baza piramide je jednakokračni trokut s duljinama stranica ​ $a=70\mathrm{cm}$ i $b=37\mathrm{cm}.$ Bočni brid s jednim krajem u vrhu baze gdje se spajaju krakovi okomit je na ravninu baze. Odredimo oplošje piramide ako je njezina visina $16\mathrm{cm}.$

Pogledajmo trokute od kojih se sastoji mreža te piramide.

Baza je jednakokračni trokut sa stranicom $a=70\mathrm{cm}$ i visinom $v_a=\sqrt{{37}^2-{35}^2}=12\mathrm{cm}.$

Površina baze iznosi ​ $B=\frac{70·12}{2}=420{\mathrm{cm}}^2.$

Pobočke nad krakovima baze su pravokutni trokuti, pa je ​ $P_1=P_2=\frac{37·16}{2}=296{\mathrm{cm}}^2.$

Treća pobočka je jednakokračni trokut s osnovicom $a=70\mathrm{cm}$ i visinom $v_1=\sqrt{h^2+{v_a}^2}=20\mathrm{cm},$ pa je njegova površina $P_3=\frac{20·70}{2}=700{\mathrm{cm}}^2.$

Sad je oplošje jednako zbroju površina svih četiriju trokuta ​ $O=420+296+296+700=1712{\mathrm{cm}}^2.$

Primjer 3.

Baza uspravne trostrane piramide je trokut s duljinama stranica ​ $a=6\mathrm{cm},$ $b=10\mathrm{cm}$ i $c=14\mathrm{cm},$ a pobočke s ravninom baze zatvaraju kut od ​ $45°.$ Odredimo oplošje te piramide.

Baza te piramide je raznostraničan trokut. Površinu baze možemo odrediti koristeći se Heronovom formulom ​ $\begin{array}{l}B=\sqrt{s·\left(s-a\right)·\left(s-b\right)·\left(s-c\right)}=15\sqrt{3}\end{array}.$

Koristeći se formulom $B=\rho ·s$ za određivanje površine trokuta s pomoću polumjera upisane kružnice, možemo odrediti ​ $\rho =\frac{B}{s}=\sqrt{3}.$

U karakterističnom pravokutnom trokutu znamo jednu katetu $\rho$ i kut od $45°.$

Vrijedi $cos45°=\frac{\rho }{v_1},$ tj. $v_1=\sqrt{6}.$

Sad lako odredimo površine pobočki: ​

$P_1=\frac{6·\sqrt{6}}{2}=3\sqrt{6},$ ​

$P_2=\frac{10·\sqrt{6}}{2}=5\sqrt{6},$ ​

$P_3=\frac{14·\sqrt{6}}{2}=7\sqrt{6}.$

Kako je oplošje jednako zbroju površine baze i plašta, dobivamo ​ $O=15\sqrt{3}+15\sqrt{6}.$

Zadatak 3.

Baza uspravne trostrane piramide je trokut s duljinama stranica​ $a=6\mathrm{cm},$ $b=10\mathrm{cm}$ i $c=14\mathrm{cm},$ a pobočke s ravninom baze zatvaraju kut od ​ $60°.$ Odredite oplošje te piramide.

Kutak za znatiželjne

Pogledajmo ponovno prethodni primjer i zadatak. Baza je u oba slučaja bila ista, samo je nagib pobočki u odnosu na bazu u zadatku bio veći.

Što se događa s visinama piramide i oplošjima ako su baze iste, a povećava se kut između pobočke i ravnine baze?

Pogledamo li vrijednosti visina pobočki,  možemo odrediti koliko je puta visina pobočke iz zadatka veća od visine pobočke iz primjera: $\frac{v_{1_Z}}{v_{1_P}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}.$

Mogli bismo provjeriti jesu li i visine piramida u istom omjeru $\sqrt{2}$ . (Izračunajte upotrebom Pitagorinog poučka u karakterističnom trokutu.) 

Postoji li koeficijent proporcionalnosti koji povezuje visine i kutove piramida koje imaju istu bazu (prisjetite se sličnosti trokuta i trigonometrije pravokutnog trokuta).

Projekt

Istražite pojam sličnih geometrijskih tijela. Postoji li veza između oplošja sličnih piramida?

Oplošje četverostrane piramide

Mreža četverostrane piramide sastoji se od četverokuta i četiri trokuta.

Da bismo odredili oplošje četverostrane piramide, prisjetimo se formula za računanje površine četverokuta.

Zadatak 4.

Spojite nazive posebnih vrsta četverokuta s formulama za računanje površine ako su $a,b$ označene duljine stranica, $e,f$ dijagonale, a ​ $v_a$ je visina četverokuta na stranicu ​ $a.$

Romb	$p=a^2$
Paralelogram	$p=\frac{e·f}{2}$
Kvadrat	$p=a·v_a$
Pravokutnik	$p=a·b$
Trapez	$p=\frac{a+c}{2}·v$   ​

null

null

Površine ostalih nepravilnih vrsta četverokuta određivat ćemo rastavljanjem četverokuta na dva trokuta.

Primjer 4.

Odredimo oplošje pravilne četverostrane piramide čija je duljina osnovnog brida jednaka visini i iznosi $10$ centimetara.

Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat.

$B={10}^2=100{\mathrm{cm}}^2.$

Pobočje se sastoji od četiri jednakokračna trokuta duljine stranice $a$ i visine ​ $v_1.$

Visinu pobočke možemo odrediti s pomoću Pitagorinog poučka iz istaknutog pravokutnog trokuta ​ $v_1=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Površina pobočke iznosi ​ $P_1=\frac{10·5\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Oplošje je tada ​ $O=B+4P_1=100+100\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Zadatak 5.

Dijagonalni presjek pravilne četverostrane piramide je jednakostranični trokut duljine stranice $10$ centimetara. Odredite oplošje piramide.

Primjer 5.

Baza uspravne piramide je pravokutnik sa stranicama duljine $10$ centimetara i $5$ centimetara. Odredimo oplošje piramide ako joj je visina $20$ centimetara.

Baza te piramide je pravokutnik, pa je površina baze jednaka $B=10·5=50{\mathrm{cm}}^2.$

Plašt čine dva para sukladnih jednakokračnih trokuta. Da bismo odredili njihove površine, potrebno je najprije odrediti visine pobočki.

$v_1=\sqrt{{20}^2+5^2}=5\sqrt{17}\mathrm{cm}$ i ​ $v_2=\sqrt{{20}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{65}}{2}.$

Sad su površine pobočki jednake

$P_1=\frac{5\sqrt{17}·5}{2}=\frac{25}{2}\sqrt{17}{\mathrm{cm}}^2$ i ​ $P_2=\frac{5\sqrt{65}·10}{2}=25\sqrt{65}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Oplošje iznosi ​ $O=50+25\sqrt{17}+50\sqrt{65}{\mathrm{cm}}^2.$

Baza uspravne piramide je romb s duljinama dijagonala $6$ decimetara i $8$ decimetara. Visina piramide je $1$ decimetar. Odredite oplošje piramide.

Oplošje šesterostrane piramide

Mreža šesterostrane piramide sastoji se od jednog šesterokuta i šest trokuta.

Da bismo odredili oplošje šesterostrane piramide, potrebno je odrediti površinu šesterokuta. Prisjetimo se formula za računanje površine pravilnog šesterokuta.

Zadatak 6.

Pravilni šesterokut je geometrijski lik koji se može rastaviti na

 

jednakostraničnih trokuta. Stoga je površina pravilnog šesterokuta duljine stranice a šest puta veća od površine  

 

trokuta duljine stranice

 

.

a

jednakostraničnog

 šest

null

null

Površina pravilnog šesterokuta jednaka je  ​ $p=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{2}{a}^2\sqrt{3}.$

Primjer 6.

Odredimo oplošje pravilne šesterostrane piramide kojoj je duljina osnovnog brida $10$ centimetara, a duljina pobočnog brida je dva puta veća.

Baza te piramide je pravilni šesterokut, pa je površina baze jednaka

$B=6·\frac{{10}^2\sqrt{3}}{4}=150\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Kako je bočni brid dvostruko veći od osnovnog, znamo da je $b=20\mathrm{cm}.$

Pobočka je jednakokračni trokut u kojem možemo odrediti visinu ​

$v_1=\sqrt{{20}^2-5^2}=5\sqrt{15}\mathrm{cm}.$

Površina pobočke je ​ $P_1=\frac{10·5\sqrt{15}}{2}=25\sqrt{15}{\mathrm{cm}}^2.$

Oplošje je stoga ​ $O=150\sqrt{3}+6·25\sqrt{15}=150\sqrt{3}+150\sqrt{15}{\mathrm{cm}}^2.$

Zadatak 7.

Odredite oplošje pravilne šesterostrane piramide visine $10$ centimetara u kojoj je duljina osnovnog brida jednaka visini te piramide.