Aktivnosti za samostalno učenje

Ponavljanje i uvježbavanje

Zadatak 1.

1. Kako prepoznati da je funkcija eksponencijalna, a ne linearna? U sljedećim tablicama prepoznajte i pridružite linearnu funkciju, eksponencijalnu funkciju ili ni jednu ni drugu.
   

   $x$  $-3$  $-2$  $-1$  $0$    $f\left(x\right)$  $11$  $9$  $7$  $5$	Ni jedna, ni drugaEksponencijalna funkcijaLinearna funkcija
   $x$  $-1$  $0$  $1$  $2$  $f\left(x\right)$  $3$  $9$  $27$  $81$	Ni jedna, ni drugaEksponencijalna funkcijaLinearna funkcija
   $x$  $1$  $2$  $3$  $4$  $f\left(x\right)$  $1$  $4$  $9$  $16$	Ni jedna, ni drugaEksponencijalna funkcijaLinearna funkcija

   

   null

   null

2. Graf koje eksponencijalne funkcije $f\left(x\right)=a·b^x$ prolazi točkama $\left(2,3\right)$ i $\left(5,81\right)?$
   

   $f\left(x\right)=\frac{1}{3}·3^x$  ​

    Bravo!

   $f\left(x\right)=3^x$  ​

   Probaj uvrstiti argumente, dobivaš li vrijednosti koje su navedene?

   $f\left(x\right)=3^{-x}$  ​

   Probaj uvrstiti argumente, dobivaš li vrijednosti koje su navedene?

   $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$  ​

   Probaj uvrstiti argumente, dobijaš li vrijednosti koje su navedene?

   

   null

   null

3. U siječnju je prodaja bila $50000$ kuna. Od siječnja je rasla $3.5\%$ svaki mjesec. Naka je $p$ mjesečna prodaja, a $m$ broj mjeseci. Koji eksponencijalni model opisuje situaciju?

   $p\left(m\right)=1.035·{\left(50 000\right)}^m$  ​

   $p\left(m\right)=50 000·\left(1.035\right)·m$  ​

   $p\left(m\right)=1.035·\left(50 000\right)·m$  ​

   $p\left(m\right)=50 000·{\left(1.035\right)}^m$  ​

   

   Pomoć:

   Kolika je prodaja u veljači, ožujku? Podijeli prodaju u veljači s prodajom u siječnju. Koliki je kvocjent?
   

   null

4. Vrijednost velike kompanije (u milijunima kuna) procijenjena je eksponencijalnim modelom $f\left(x\right)=167·{\left(1.07\right)}^x.$ Argument $x$ je broj godina s početkom u 2003. godini. Kolika će vrijednost kompanije biti 2018. godine?
   

   $460.75$ milijuna

   $460.76$ milijuna

   $430.62$ milijuna

   

   null

5. U tablici su neke od vrijednosti eksponencijalne funkcije​ $f\left(x\right)=a·b^x.$ S pomoću zadanih vrijednosti pronađi funkciju. Nakon toga izračunaj vrijednosti za zadane argumente.
   

   

   $0.75$
   

   $1.5$
   

   $3$
   

   $6$
   

   

   null

   null

Projektne aktivnosti

Do sada ste vidjeli kako prepoznati eksponencijalni model, kako ga iz podataka koje imamo pronaći te kako ga primijeniti.

Vrijeme je za malo samostalnog rada.

Pred vama su projektne aktivnosti u dvama različitim projektima. Kroz njih možete proći kako je zapisano, ali možete i modelirati, istraživati, mijenjati. Svoja mala istraživanja provedite u timu, skupini ili samostalno. Surađujte preko Padleta, Yummera i drugih mreža. Izradite prezentacije u PowerPointu ili Preziju. Osmislite scenarij za film i snimite svoje istraživanje. Bez obzira na metodu rada koju odaberete, na kraju svakako rad predstavite razrednim kolegama i nastavniku/nastavnici.

Praktična vježba

Prirast broja stanovnika

Porast stanovništva i prenapučenost usko su vezani. Postoji opravdani strah od prenapučenosti Zemlje čiji resursi nisu neograničeni. Istražimo kako se kreće i kako će se kretati broj stanovnika Zemlje u drugom desetljeću 21. stoljeća.

Zadatak 2.

Koristeći se internetom, na papiru nacrtajte i popunite tablicu kao u nastavku. Možete se koristiti podatcima sa stranice:

godina	2010.	2011.	2012.	2013.	2014.	2015.	2016.	2017.	2018.	2019.	2020.
broj stanovnika (u milijunima)

1. Podatke iz tablice prikažite u koordinatnom sustavu tako da na os apscisa upišete godine, a na os ordinata broj stanovnika.
2. Provjerite je li rast eksponencijalan na način kako smo to radili u prethodnoj jedinici.
3. Odredite eksponencijalni model koristeći se GeoGebrom ili računajući.
4. S pomoću eksponencijalnog modela odredite broj stanovnika 2016. godine. Koliko je odstupanje?
5. Koliko će stanovnika na Zemlji biti 2020. godine?

Zadatak 3.

Odaberite jednu od svjetskih zemalja prema svojemu izboru za koju biste očekivali da će odstupati od modela (epidemije, rat, vremenske nepogode i sl.) te vrijeme promatranja.

Ponovite postupak od a. do e.

Zašto ste očekivali velike razlike?

Jeste li uspjeli pokazati te razlike?

Praktična vježba

Zakon hlađenja

U prethodnoj ste se jedinici  upoznali s Newtonovim zakonom hlađenja. Vrijeme je da provjerimo funkcionira li taj zakon u praksi. Mjerit ćemo, računati, uspoređivati, biti pravi istraživači.

​Ponovimo!

Stavimo li tijelo temperature $T_0$ u okolinu temperature $T_s$ nakon vremena $t$ temperatura tijela iznosit će:

$T\left(t\right)=T_s+\left(T_0-T_s\right)·e^{kt}.$

Pokusom ćemo odrediti konstantu $k$ za odabranu tekućinu.

Zadatak 4.

a. Odaberite tekućinu (kava, čaj, voda...).

b. Ugrijte odabranu tekućinu na visoku temperaturu.

c. Posudu odnesite u prostoriju znatno niže temperature.

d. U posudu uronite termometar i svakih $30$ sekundi mjerite temperaturu tekućine. Podatke upišite u tablicu kao na slici. Što više podataka prikupite, izračun će biti točniji.

$t$(min)	$T\left(t\right)$-izmjerena temperatura vode	$T_s$-temperatura okoline	$T_0$- početna temperatura	$e^{kt}=\frac{T\left(t\right)-T_s}{T_0-T_s}$
$0$
$0.5$
$1$
$1.5$
$2$
$2.5$
$3$
$3.5$
$4$
$4.5$
$5$
$5.5$
$6$

e. Podatke u zadnjem stupcu izračunajte.

f. Točke ​ $\left(t,e^{kt}\right)$ucrtajte u GeoGebru.

g. Izradite klizač $k$ s korakom $0.01$ kako biste bili precizniji (klizač možete lagano pomicati strelicama na tipkovnici).

h. Nacrtajte funkciju $f\left(t\right)=e^{kt}.$

i. Klizačem mijenjajte $k$ kako biste „namjestili” funkciju koja će što bolje povezati vaše podatke, tj. točke.

j. Očitajte $k.$

k. Ponovite pokus. Uz $k$ koji ste odredili izračunajte sada s pomoću zakona hlađenja temperaturu u proizvoljno odabrano vrijeme. Mjerite i usporedite.

Primjer 1.

Pokazat ćemo postupak opisan u prethodnom zadatku.

U tablici su podatci (podatci ne odgovaraju stvarnom mjerenju) i izračun.

$t$(min)	$T\left(t\right)$-izmjerena temperatura vode	$T_s$-temperatura okoline	$T_0$- početna temperatura	$e^{kt}=\frac{T\left(t\right)-T_s}{T_0-T_s}$
$0$	$100$	$25$	$100$	$1$
$5$	$90$	$25$	$100$	$0.87$
$10$	$75$	$25$	$100$	$0.67$
$15$	$50$	$25$	$100$	$0.33$
$20$	$30$	$25$	$100$	$0.07$
$25$	$26$	$25$	$100$	$0.012$

Podatci su u sljedećoj interakciji. Pronađite konstantu.

Logistička funkcija

Kutak za znatiželjne

Upoznali ste se i s Malthusovim modelom rasta populacije. Već smo rekli da taj model nije dobar iz više razloga, a najvažniji je da pretpostavlja kako su stopa rasta i smrtnosti konstantne. Ako je populacija u zatvorenoj sredini, s vremenom stopa rasta počinje padati, a stopa smrtnosti rasti.

Model koji opisuje te promjene je Verhulstov ili logistički model rasta populacije.

Kutak za znatiželjne

Jednostavna logistička funkcija je funkcija oblika

$f\left(t\right)=\frac{K}{1+A{e}^{-rt, }},$

gdje je:

$\mathrm{K }$– kapacitet staništa

$A$ – ​početna populacija

$r$ – konstanta proporcionalnosti​

$t$ – vrijeme.​

Na slici je logistička funkcija za koju je kapacitet staništa $10,$ početni broj jedinki $2,$ a konstanta proprcionalnosti $1.$ Vidimo da broj jedinki raste eksponencijalno dok populacija ne postigne maksimalan kapacitet, a nakon toga populacija ne raste. To je pojednostavnjeni model.

Logistička funkcija nije uspješna u modelima u kojima je prisutno useljavanje i iseljavanje jedinki populacije. Tada ju je potrebno prilagoditi i model postaje složeniji.

Svinjska gripa i logistička funkcija

Jedan od primjera modela prirodnog procesa ograničenog rasta su i epidemije zaraznih bolesti.

Broj oboljelih u početku eksponencijalno raste približavajući se najvišoj ili najnižoj vrijednosti, a zatim stagnira.

U slučajevima kada možemo primijeniti Malthusov model riječ je o pandemiji ili epidemiji velikih razmjera.

Praktična vježba

Svinjska gripa se prvi put pojavila 2. travnja 2009. u Meksiku, u gradiću Veracruzu. Do ranog ožujka zaraženo je bilo $60\%$ stanovništva i gripa se širila dalje. Od $6043$ zaraženih u Meksiku umrlo ih je $109,$ a bolest se proširila na $33$ države. Postojala je opasnost od pandemije pa je Svjetska zdravstvena organizacija proglasila peti stupanj pripravnosti. Ipak, pokazalo se da se pandemija nije mogla dogoditi.

Provedite istraživanje i utvrdite odgovara li rastu oboljelih više Malthusov ili logistički model.

Zadatak 5.

Podatke o broju oboljelih i umrlih u Meksiku potražite na internetu (možete upotrijebiti i model sa stranice ili stranice). Ako ne uspijete pronaći podatke za Meksiko, odaberite drugu zemlju ili drugu epidemiju.

1. Podatke koje ste pronašli prikažite u bilježnicu grafički tako da na os apscisa upišete vrijeme, a na os ordinata broj zaraženih stanovnika.
2. Koju funkciju prikazuje graf?
3. Prema modelu (funkciji), koliko je stranovnika zaraženo nakon jedne godine?
4. Koliko bi stanovništva bilo zaraženo danas prema modelu koji ste dobili, a koliko prema logističkoj funkcij