Matematika 2 - 2.7 Sustavi kvadratne i linearne jednadžbe

Na početku...

Pokušajmo riješiti sljedeći problem. Vlasnik želi ograditi svoj vrt oblika pravokutnika. Koliko metara ograde mu je potrebno ako je površina vrta $578 m^{2},$ a duljina vrta je upola kraća od njegove širine?

Označimo li duljinu vrta s $x,$ a širinu s $y$ dobivamo: $x \cdot y = 578$ i $x = \frac{y}{2} .$ To je sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice. Sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice rješavali smo u Matematika 1, modul Sustavi jednadžbi. Ipak, ovaj sustav je malo drukčiji od prijašnjih, ali primjenom sličnih načina rješavanja možemo doći do rješenja.

Uvrštavanjem $x = \frac{y}{2}$ u $x \cdot y = 578$ dobijemo $\frac{y^{2}}{2} = 578,$ tj. rješenje za $y$ je $y_{1} = 34, y_{2} = - 34 .$ Kako duljina vrta može biti samo pozitivna, $y = 34 m,$ a pripadna širina iznosi polovinu duljine, $x = 17 m .$

Prethodni sustav nije se sastojao od dviju linearnih jednadžbi. Prva jednadžba, $x \cdot y = 578,$ je bila kvadratna jednadžba (uvrštavanjem $x$ dobili smo kvadratnu jednadžbu po $y$ ), dok je druga jednadžba, $x = \frac{y}{2},$ linearna jednadžba. U ovoj jedinici naučit ćemo rješavati sustave dviju jednadžbi od kojih je jedna linearna, a druga kvadratna.

Sustav kvadratne i linearne jednadžbe je sustav koji se sastoji od linearne jednadžbe oblika $k x + l y + m = 0$ i kvadratne jednadžbe oblika $\begin{array}{l} a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f = 0, \end{array}$ gdje su $a, b, c, d, e, f, k, l, m$ realni brojevi.

Linearna jednadžba mora imati barem jedan linearan član ( $k \neq 0$ ili $l \neq 0$ ), a kvadratna jednadžba barem jedan kvadratni član ( $a \neq 0$ ili $b \neq 0$ ili $c \neq 0$ ).

Rješenje sustava je svaki uređeni par brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju obje jednadžbe.

Rješavanje sustava kvadratne i linearne jednadžbe

Postupak rješavanja sustava kvadratne i linearne jednadžbe

Sustav kvadratne i linearne jednadžbe rješavamo metodom supstitucije i to tako da:

iz linearne jednadžbe izrazimo jednu nepoznanicu

taj izraz uvrstimo u kvadratnu jednadžbu i riješimo je po drugoj nepoznanici

izračunatu vrijednost druge nepoznanice uvrstimo u nađeni izraz za prvu nepoznanicu i izračunamo odgovarajuću vrijednost.

Zadatak 1.

Riješite sustav:

$\begin{array}{l} 3 x - y = 8 \\ 3 x^{2} - y = 26 \end{array}$

$(- 2, - 14), (3, 1)$

Sustave linearne i kvadratne jednadžbe uglavnom rješavamo metodom supstitucije, i to tako da iz linearne jednadžbe supstituiramo jednu nepoznanicu u kvadratnu jednadžbu. Pokažimo zašto ne primjenjujemo metodu suprotnih koeficijenata i zašto ne supstituiramo iz kvadratne jednadžbe u linearnu jednadžbu.

Primjer 1.

Riješimo sustav jednadžbi

$\begin{array}{l} x^{2} + 3 x y + 1 = 0 \\ x + y = 2 \end{array}$

Vidimo da zadani sustav nije moguće pomnožiti nekim od brojeva tako da dobijemo suprotne koeficijente, a pogledajmo što bi se dogodilo supstitucijom nepoznanice iz kvadratne jednadžbe.

Supstitucija nepoznanice $x$ iz $x^{2} + 3 x y + 1 = 0$ prilično je komplicirana i svela bi se na rješavanje kvadratne jednadžbe.

Supstituciju nepoznanice $y$ moguće je lako provesti, ali rješavanje neće biti baš jednostavno.

$x^{2} + 3 x y + 1 = 0 \Rightarrow y = - \frac{x^{2} + 1}{3 x}$

$x - \frac{x^{2} + 1}{3 x} = 2$ nakon množenja s $3 x$ dobivamo: $3 x^{2} - x^{2} - 1 = 6 x .$

Rješenja te kvadratne jednadžbe su $\frac{3 + \sqrt{11}}{2}, \frac{3 - \sqrt{11}}{2} .$ Primijetimo da ta rješenja sada moramo uvrstiti u jednadžbu $y = - \frac{x^{2} + 1}{3 x}$ te ju riješiti, a to zbog brojeva nije jednostavno.

Jednostavniji put do rješenja vodi supstitucijom nepoznanice iz linearne jednadžbe.

$\begin{array}{l} x^{2} + 3 x y + 1 = 0 \\ x + y = 2 \Rightarrow x = 2 - y \end{array}$

nakon uvrštavanja dobivamo ${(2 - y)}^{2} + 3 (2 - y) y + 1 = 0,$ čija su rješenja $\frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2} .$

Pripadajuća rješenja za $x$ dobivamo uvrštavanjem u jednostavnu jednadžbu $x = 2 - y$ i dobivamo već prije spomenuta rješenja $\frac{3 - \sqrt{11}}{2}, \frac{3 + \sqrt{11}}{2},$ tj. uređene parove brojeva

$\begin{array}{l} (\frac{3 - \sqrt{11}}{2} \frac{1 + \sqrt{11}}{2}), (\frac{3 + \sqrt{11}}{2} \frac{1 - \sqrt{11}}{2}) \end{array} .$

Primjer 2.

Riješimo sustav:

$x^{2} + y^{2} = 5$

$\underline{x - 2 y = 5} .$

Kad bismo željeli supstituirati iz kvadratne jednadžbe, dobili bismo dvoznačnost izraza $x = \pm \sqrt{5 - y^{2}} .$ Jednako bismo dobili i u slučaju da želimo uvrstiti $y .$ Suprotne koeficijente ne možemo dobiti, stoga nam u ovom slučaju preostaje jedino supstitucija iz linearne jednadžbe u kvadratnu jednadžbu.

Uvrštavanjem $x = 5 + 2 y$ u $x^{2} + y^{2} = 5$ dobit ćemo kvadratnu jednadžbu s nepoznanicom $y$ čije rješenje je samo $y = - 2,$ a vratimo li u $x = 5 + 2 y,$ dobijemo $x = 1 .$ Rješenje ovog sustava je uređeni par $(1, - 2) .$

Zanimljivost

Al Karaji je bio arapski matematičar i inženjer rođen 953. u Karaju, današnji Iran. Postavio je temelje današnje algebre te je odvojio algebru od geometrije.

Primjer 3.

Riješimo sustav jednadžbi iz Algebre Al-Karajija:

$x = \frac{3}{4} y$

$x y + x + y - 62 = 0 .$

Jednostavniju jednadžbu $x = \frac{3}{4} y$ uvrstimo u drugu jednadžbu i dobivamo: $\frac{3}{4} y^{2} + \frac{3}{4} y + y - 62 = 0 .$

Riješimo kvadratnu jednadžbu $\frac{3}{4} y^{2} + \frac{7}{4} y - 62 = 0 .$

Rješenja te kvadratne jednadžbe su $y_{1} = - \frac{31}{3}$ i $y_{2} = 8 .$ Za svako $y$ rješenje imamo pripadajuće rješenje $x .$

Stoga dobivamo uređene parove rješenja $(x_{1}, y_{1})$ i $(x_{2}, y_{2}),$ koji su $(- \frac{31}{4}, - \frac{31}{3})$ i $(6, 8) .$ Prvu koordinatu $x$ dobili smo uvrštavanjem $y$ rješenja u $x = \frac{3}{4} y .$

Simetrični sustavi

Sustave jednadžbi oblika $\{\begin{cases} x y = - 14 \\ x + y = 5 \end{cases}$ nazivamo simetrični sustavi.

U simetričnim sustavima međusobnom zamjenom nepoznanica dobivamo iste jednadžbe.

Primijetimo da jednadžbe podsjećaju na Vietove formule.

Stoga slijedi

$t^{2} - (\begin{array}{l} x + y \end{array}) t + x y = 0$

(prema formuli $t^{2} -$ [zbroj rješenja] $t +$ [umožak rješenja] $= 0$ ) tj. $t^{2} - 5 t - 14 = 0 .$

Ta kvadratna jednadžba ima rješenja -2 i 7. Slijedi da je $x = - 2,$ a $y = 7 .$ Kako je sustav simetričan, rješenje je i uređeni par $(7, - 2) .$

Zanimljivost

Starogrčki matematičar Diofant rješavao je sličan sustav. Imao je zadatak da odredi dva broja tako da njihov zbroj bude $20,$ a umnožak $96 .$

Danas lako riješimo zadatak postavimo li sljedeći sustav jednadžbi: $\{\begin{cases} a b = 96 \\ a + b = 20 \end{cases} .$

Nakon toga riješimo kvadratnu jednadžbu dobivenu supstitucijom. Rješenja su 8 i 12. Kako je Diofant riješio ovaj zadatak? Zaključio je da brojevi nisu jednaki, pa je zbog toga jedan veći od polovice, a drugi manji od polovice broja 20. Označio ih je s $10 + x$ i $10 - x .$ Iz dobivene kvadratne jednadžbe $(10 + x) (10 - x) = 96 .$ lako je izračunao da je $x = 2$ (jer je kvadratna jednadžba nepotpuna), pa su traženi brojevi 8 i 12.

Riješite sustav jednadžbi

\begin{array}{l} x - y = 2 \\ x^{2} - y^{2} = 48 \end{array} .

x =

Odgovor je netočan.

y =

Odgovor je netočan.

null

Zadatak 2.

Riješite sustav:

$\begin{array}{l} x + 2 y - 3 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x y - 39 = 0 \end{array}$

$(- 7, 5), (7, - 2)$

Povezani sadržaji

Rješavanje sustava linearne i kvadratne jednadžbe pomoći će nam u rješavanju jednog problema iz fizike.

Ukupan otpor $R$ paralenog spoja dvaju otpornika, s otporima $R_{1}, R_{2}$ dan je formulom $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} .$

Koliki je otpor na otpornicima kod paralelnog spoja ako je na jednom otporniku izmjereno za $3 Ω$ manje nego na drugom, a ukupan otpor iznosi $2 Ω?$

Zapišimo matematičkim simbolima činjenice iz zadatka.

$\begin{array}{l} R_{1} = R_{2} - 3 \\ R = 2 \end{array}$

Upotrijebimo formulu za ukupan otpor $\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{2}$ i riješimo sustav.

Dobivamo $\frac{1}{R_{2} - 3} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{2} .$

Sredimo dobivenu jednadžbu. Slijedi ${R_{2}}^{2} - 7 R_{2} + 6 = 0 .$ Rješenja te jednadžbe su $6$ i $1 .$ Međutim, $1$ nije rješenje jer bi tada $R_{1}$ bio negativan, a to ne može biti. Zaključujemo da su otpori na paralelno spojenim otpornicima $3 Ω$ i $6 Ω .$

Izradi vježbu

Formate papira označavamo oznakama A5, A4, A3, A2, A1 i A0. A5 je format "male" bilježnice, A4 je uobičajena veličina papira za ispisivanje i fotokopiranje dokumenata. A0 je najveći format i njegova površina je $1 m^{2} .$ Vrijedi: ako prepolovimo papir većeg formata, npr. A2, dobijemo manji format, A3. To vrijedi za sve formate.

Pronađite omjer duljina stranica papira. Koliko je $\frac{v i s i n a}{širina} ?$ Kolike su dimenzije papira A0?

2.7 Sustavi kvadratne i linearne jednadžbe

Na početku...

Postupak rješavanja sustava kvadratne i linearne jednadžbe

Zadatak 1.

Zanimljivost

Simetrični sustavi

Zanimljivost

Zadatak 2.

Povezani sadržaji

Izradi vježbu

...i na kraju

2.8 Bikvadratne jednadžbe