x
Učitavanje

4.4 Primjena trigonometrije na pravokutni trokut

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Problemi s pravokutnim trokutom

Svaki problem iz animacije može se riješiti primjenom trigonometrije na pravokutan trokut. Najprije je potrebno uočiti pravokutan trokut i zadane veličine. Ali počnimo redom i ponovimo trigonometrijske omjere za različito označene pravokutne trokute.

Trigonometrijski omjeri različito označenih pravokutnih trokuta

Primjer 1.

Različito označeni pravokutni trokuti

Pogledajmo nekoliko različito označenih pravokutnih trokuta. Za svaki odredimo trigonometrijske omjere šiljastog kuta označenog na slici.

sin α = l j cos α = k j tg α = i k
sin β = d e cos β = f e tg β = d f
sin γ = i h cos γ = g h tg γ = i g
sin δ = n m cos δ = o m tg δ = n o

Uz sljedeću aplikaciju uvježbajte određivanje trigonometrijskih omjera šiljastih kutova za različito označene pravokutne trokute. Upišite vrijednosti trignometrijskih omjera. Tipkom Provjerite možete vidjeti jeste li dobro riješili zadatak. Tipka „Novi zadatak ” dati će vam novi trokut za nastavak vježbanja. Broj zadataka je beskonačan.

Povećaj ili smanji interakciju

Rješavanje pravokutnog trokuta

Riješiti pravokutan trokut znači izračunati stranice i kutove koji su nepoznati. Pri rješavanju koristimo se Pitagorinim poučkom i trigonometrijskim omjerima zadanog kuta. Upotrebljavamo uobičajne oznake kako slijedi: c hipotenuza, a  i b katete, α i β kutovi nasuprot katetama a  i b  redom.

Mogu se pojaviti četiri osnovna slučaja:

Svaki slučaj razmotrimo posebno.

Trokut kojemu su zadani hipotenuza i kut.

Izračunat ćemo katete a i b , te kut β .

sin α = a c a = c · sin α

cos α = b c b = c · cos α

α + β = 90 β = 90 - α

Trokut u kojemu su zadani kut i nasuprotna kateta.

Izračunat ćemo katetu b , hipotenuzu i kut α .

tg β = b a b = a · tg β

cos β = a c c = a cos β

α + β = 90 α = 90 - β

Trokut u kojem su zadani kateta i hipotenuza

Trebamo izračunati katetu a i oba šiljasta kuta.

cos α = b c α = cos - 1 b c

α + β = 90 β = 90 - α  

a 2 + b 2 = c 2 a = c 2 - b 2

Trokut u kojemu su zadane obje katete.

Izračunajmo hipotenuzu i šiljaste kutove.

tg α = a b α = tg - 1 a b

α + β = 90 β = 90 - α  

a 2 + b 2 = c 2 c = a 2 + b 2

Primjer 2.

Primjena trigonometrijskih funkcija na pravokutan trokut.Zadane su karaća kateta od 13 cm i hipotenuza od 23 cm.

Za pravokutan trokut sa slike izačunajmo kutove i stranicu d .

Zadane su nam hipotenuza i kateta, pa je to treći slučaj.

cos θ = 13 23 θ = cos - 1 13 23 = 55 34 ' 57 "

δ = 90 - θ = 34 25 ' 3 "

d = 23 2 - 13 2 = 6 10 18.97

Primjer 3.

 U nastavku pogledajte videozapis u kojem se rješava još jedan primjer.

Zadani elementi pravokutnog trokuta i traženi elementi.

Za oznake upotrebljene su c – hipotenuza, b   kateta nasuprot kutu β  i sl.

Upotrijebite formule i uparite ih.

Zadani su kateta a i kut uz nju.
Izračunajte drugu katetu i kut.
α = cos - 1 b c
​Zadani su hipotenuza i kut α . Odredite katete .
α = 90 - β   ​
Zadane su hipotenuza i kateta b .
Izračunajte drugu katetu i oba kuta.
b = c · cos α
null
null

Primjena trigonometrijskih omjera na pravokutan trokut u svakodnevnim situacijama

U uvodu smo vidjeli četiri situacije iz života na kojima možemo prepoznati pravokutan trokut i njegove poznate i nepoznate elemente. S pomoću trigonometrijskih omjera možemo odrediti nagib ceste, duljinu „rogova” greda na krovu, nagib vatrogasnih ljestava, duljinu gazišta stuba...

Problemske situacije zahtijevaju rad u nekoliko koraka.

  1. ​Pročitati problem do kraja.
  2. Pročitati ponovno i nacrtati sliku, crtež, skicu.
  3. Povezati sliku sa zadanim podatcima i označiti ih na slici.
  4. Zapisati sve što nije na slici, a moglo bi pomoći u rješavanju.
  5. Zapisati nepoznate veličine, tj. ono što se traži.
  6. Zapisati formule koje povezuju poznate i nepoznate veličine.
  7. Izračunati nepoznate veličine s pomoću algebre.

Razmislite i potražite još primjera u kojiima bi vam trigonometrija pravokutnog trokuta pomogla u pronalaženju rješenja.

U nastavku pogledajte primjere.

Primjer 4.

Na slici je prikazan problem određivanja visine oblaka u zračnim lukama

Meterolozi u zračnim lukama prate vrijeme da bi osigurali sigurnost slijetanja i polijetanja zrakoplova. Jedno od obilježja koje mjere je visina oblaka. Ako su oblaci prenisko, zrakoplovima nije dopušteno slijetanje i uzlijetanje. Jedan od načina mjerenja je reflektor postavljen tako da baca svjetlo okomito prema nebu, a nalazi se na fiksnoj udaljenosti od ureda meterologa. Zatim se mjeri kut elevacije svjetlosne točke na oblaku. Kut elevacije je kut između svjetlosne točke na oblaku i horizonta pod kojim se svjetlo reflektora na oblaku vidi s tla. Koristeći se trigonometrijom, možemo utvrditi visinu oblaka.

Primjer: Reflektor je postavljen 200 m od ureda. Izmjeren je kut elevacije svjetlosne točke od 35 . Kolika je visina oblaka?

Nakon što smo problem pročitali, pokušajmo ga nacrtati.

U zadatku imamo dvije katete i kut. Koji trigonometrijski omjer sadržava te elemente?

tg 35 = x 200 x = 200 · tg 35 = 140.042 m

Oblak se nalazi na približno 140  metara visine.

Primjer 5.

Njihalo i maksimalna visina-prikaz problema iz zadataka.

Njihalo duljine 30 cm njiše se pod maksimalnim kutom od 30 . Kolika je visina koju pritom njihalo postiže?

Uočite pravokutan trokut s hipotenuzom l i katetom l - h , te kutom β .

Dakle, imamo kut i njemu priležeću katetu te hipotenuzu.

cos β = l - h l

l · cos β = l - h h = l · 1 - cos β

h = 30 · 1 - cos 30 = 4.02 cm

Visina koju njihalo postiže je približno 26 cm .

Zadatak 1.

Ski lift iz zadataka.

Nalazimo se u podnožju skijaškog dizala. Kut elevacije pod kojim se vidi vrh na koji dizalo vodi je 25 . Koliko je duga žica koja povezuje podnožje i vrh ako su vrh i podnožje horizontalno udaljeni 5 km ?

Imamo pravokutan trokut u kojem su zadani kateta i kut uz katetu. Ono što se traži je hipotenuza.

cos 25 = 5 c c = 5 cos 2 5 = 5.52 km

Vozimo se nešto više od 5.5 km .


Zanimljivost

Na slici je Georg Joachim Rheticus.
Georg Joachim de Porris, Rheticus (1514. – 1574.)

Georg Joachim de Porris, Rheticus (1514. – 1574.) bio je matematičar, kartograf, izrađivao je navigacijske uređaje i radio kao učitelj.

Većinu života posvetio je proučavanju trokuta i to posebno grane koja se danas naziva trigonometrija. Godine 1551. objavio je letak „Canon of the Science of Triangles” u kojem su bile napisane tablice s trigomometrijskim omjerima (iako tada još nije bila u upotrebi riječ trigonometrija). Letak je bio samo uvod u veće djelo koje je završio njegov učenik Valentinus Otho. Kada je završen, 1596., „Opus platinum de triangulis” imao je 1 500 stranica i podatke toliko precizne da su se njima koristili u astronomskim računanjima sve do ranoga dvadesetog stoljeća.

Kutak za znatiželjne

Na slici je prikazan odnos tetive i kuta.

Jeste li razmišljali o tome kako, kada i zašto su nastali trigonometrijski omjeri. Kako su dospjeli u tablice i džepna računala? Tko i zašto ih je računao?

Astronomi su zapravo zaslužni za to. Htjeli su izračunati udaljenosti koje nije moguće mjeriti. Hiparh (120. g. pr. Krista) prvi je sastavio trigonometrijske tablice (to smo već spomenuli), a trebale su mu pri računanju ekscentričnosti orbite Sunca i Mjeseca. Tablice su povezivale duljinu tetive i pripadajućeg kuta (u modernom zapisu): tetiva α = 2 sin α 2 .

...i na kraju

S pomoću kutova mogle su se mjeriti udaljenosti koje ne možemo fizički izmjeriti. I danas se za udaljenost dalekih zvijezda koristi metoda paralakse.

Metoda paralakse je mjerenje pomaka zvijezde gledajući s dviju točaka na Zemljinoj orbiti oko Sunca. Tijekom šest mjeseci Zemlja napravi polovicu kruga na svojemu putu oko Sunca, što čini najveću duljinu osnovice za izračunavanje zvjezdane paralakse, dvije astronomske jedinice ( 1 a.j. = 149.598.000 km , tj. udaljenost Zemlje od Sunca). Zvijezda koju promatramo promijenit će svoj položaj u odnosu prema drugim zvijezdama.

Koristeći se trigonometrijom, računamo da je zvijezda Sirius od nas udaljena:

d = 2.63 · 3.262 svj. g. = 8.58 svj. g.

To znači da svjetlosti od Siriusa do nas treba 8.58 godina ili da je slika zvjezde Sirius koju gledamo stara 8.58 godina.

I tako je trigonometrija počela s čovjekovim pogledom u nebo.

Na slici je prikaz metode paralakse.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Povežite nazive trigonometrijskih omjera i postupak računanja.

kosinus kuta
Omjer nasuprotne katete i hipotenuze.
sinus kuta
Omjer priležeće katete i hipotenuze.
 tangens kuta
Omjer nasuprotne i priležeće katete.
null
null
2

Odredite sinus kuta β za trokut na slici.

kviz 2

null
null
3

Za trokut sa slike uparite trigonometrijske omjere kutova s omjerima pripajućih stranica.

kviz 2

tg β
k m   ​
sin γ   
  ​ k l  
cos γ  
m l   ​
null
null
4

Kut β  (na trokutu sa slike) jednak je:

kviz 3

null
null
5

Vrijednosti trigonometrijskih omjera nisu iste za sve slične trokute.

null
null
6

Ako je u pravokutnom trokutu omjer priležeće katete kutu β i hipotenuze 0.4 , onda je α :

null
null
7

Koliki je manji šiljasti kut pravokutnog trokuta ako je duljina jedne katete 33 cm , a hipotenuze 45 cm ?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

4.5 Primjena trigonometrije u planimetriji