x
Učitavanje

7.3 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Eksponencijalne i logaritamske funkcije imaju široku primjenu. U prethodnim poglavljima, Modeliranje eksponencijalnom funkcijom i Modeliranje logaritamskom funkcijom, susreli smo se s primjerima gdje smo modelirali eksponencijalnu ili logaritamsku funkciju iz problemske situacije. Pritom nam se događalo da nismo znali izračunati vrijednost eksponenta ili vrijednost argumenta koji se nalazio pod logaritmom. Naučili smo rješavati eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i sada možemo izračunati sve veličine koje nam trebaju da bismo modelirali situaciju i pronašli tražene vrijednosti.

Podsjetimo se primjera koje smo rješavali:

Možete li pronaći još situacija iz kojih možemo modelirati eksponencijalnu ili logaritamsku funkciju?

Slike u nastavku prikazuju još nekoliko takvih situacija. U nastavku ćemo istražiti nove primjere, ali i vratiti se na stare, pa riješiti ono što bez jednadžbi nismo mogli.

Podsjetimo se:

Ponovimo kroz IGRU MEMORIJE.

Modeliranje i rješavanje problema uz eksponencijalne jednadžbe

Pogledajmo nekoliko problema iz prethodnih jedinica, koje smo do poznavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi rješavali očitavanjem s grafa. Riješimo ih sada koristeći se znanjem o rješavanju jednadžbi.

Primjer 1.

Prateći broj korisnika (u milijunima) interneta od 1995. godine došli smo do funkcije koja opisuje rast broja korisnika.

f x = 8.58 · e x x je broj godina.

Odgovorimo na pitanje:

Uz rast prema istome modelu, za koliko godina će broj korisnika biti 500 milijuna?

Imamo jednadžbu:

500 000 000 = 8.58 · e x .  

Podijelimo lijevu i desnu stranu s 8.58 .

e x = 58 275 058.28

Ako sada lijevu i desnu stranu logaritmiramo prirodnim logaritmom, imamo:

x = ln 58 275 058.28 , odnosno broj godina je 17.88 .

Ako je početna godina bila 1995., broj korisnika od 500 milijuna dosegnut je u drugoj polovici 2012. godine.

Zadatak 1.

Modelirajući broj posjetitelja nove web stranice došli smo do funkcije f x = 12.1 · 1.8 x .

  1. Nakon koliko će mjeseci broj posjetitelja biti 50 000 ?
  2. U ranijem smo primjeru s grafa očitali da će broj posjetitelja biti 10 000 nakon 11 mjeseci i 13 dana. Provjerite.
  1. Broj posjetitelja bit će 50 000 nakon 14.17 mjeseci.
  2. Očitanje s grafa je točno. Broj će biti dostignut nakon 11 mjeseci i 12.9 dana.

Sjetimo se:

Malthusov model

N = N 0 e k t uz N 0 = N 0

k - koeficijent rasta ili pada​

t - vrijeme u satima

N 0  - početni broj jedinki

Ako je ​ k < 0 , populacija pada, dok se za ​ k > 0 radi o rastu populacije. Kad je k = 0 , broj jedinki populacije se ne mijenja.

Sad možemo izračunati koeficijent rasta ili pada te predvidjeti za koliko će vremena biti određen broj jedinki.

Primjer 2.

Zečevi i problem razmnožavanja.

Koristeći se Malthusovim modelom riješimo zadatke.

  1. Ako je populacija zečeva za 2 godine od početnog broja 12 narasla na 1200 , izračunajmo konstantu rasta.
  2. Uz konstantu iz a) izračunajmo vrijeme koje je potrebno da broj zečeva bude 2500 .

Rješenje:

  1. N = N 0 · e k t

    1 200 = 12 · e 17520 k / ln

    ln 100 = ln e 17520 · k

    ln 100 = k · 17 520

    k = 2.63 · 10 - 4

  2. N = N 0 · e k t

    2 500 = 12 · e 2.63 · 10 - 4 · t

    ln 208.33 = 2.63 · 10 - 4 · t

    t = 20 300 dana

    Ili 2.3 godine.

Zadatak 2.

Bakterije i problem rasta broja bakterija.

Znanstvenica je u početku imala 100 bakterija. Nakon 5 sati bakterija je bilo 120 .

Odredite za koliko će vremena biti dvostruko više bakterija nego na početku.

Prvo moramo izračunati konstantu rasta.

N = N 0 · e k t

120 = 100 · e 5 t

k = 0.036

Model rasta bakterija je N = N 0 · e 0.036 t .

Broj N = 2 · N 0 , pa imamo:

2 N 0 = N 0 · e 0.036 t .

Iz ove jednadžbe dobit ćemo da će se broj bakterija udvostručiti nakon 19.25 sati.


Modeliranje i rješavanje problema uz logaritamske jednadžbe

Primjer 3.

Prisjetimo se primjera iz 6.5. Modeliranje logaritamskom funkcijom. Iz podataka o dobi stanovnika od 1900. do 2010. godine (promjena je bilježena svakih 10 godina) za životni vijek ljudi pronašli smo logaritamski model f x = 39.17 + 15.7 ln x , gdje je x broj desetljeća, a f x životni vijek.

S pomoću tog modela izračunat ćemo kad će životni vijek ljudi biti 95 godina.

95 = 39.17 + 15.7 ln x

ln x = 3.56

e 3.56 = x

x = 35

Početna godina bila je 1900., a promjenu smo pratili svakih 10 godina. Za 35 desetljeća, odnosno tek 2250. možemo očekivati da će životna dob biti 95 godina.

Zadatak 3.

Tronado i veza s logaritamskom funkcijom.

Brzina vjetra v u km/h u blizini središta tornada može se izračunati s pomoću sljedeće jednakosti: v = 93 log d + 65, gdje je d udaljenost koju tornado prijeđe.

  1. Ako je tornado prešao 200 km , kolika mu je bila brzina?
  2. Izrazite udaljenost koju tornado prijeđe s pomoću brzine vjetra. 
  3. Ako je brzina vjetra 300 km/h , koliku će udaljenost tornado prijeći?
  1. Brzina mu je bila 278.99 km/h .
  2. d = 10 v - 65 93
  3. Tornado će prijeći 336.42 kilometra.

Još nekoliko primjera

Primjer 4.

Logaritamsku skalu objasnili smo u jedinici Modeliranje logaritamskom funkcijom. Kako se logaritamskom skalom koriste kemičari? Jeste li čuli za pH? Za kisele i lužnate namirnice. Pogledajte kako to funkcionira.

pH se obično rabi da bi se izrazila kiselost u kemijskoj smjesi.

pH je definiran kao p H = - l o g H + .

Ako je pH jednak 5.2 , koliko je H + ?

Imamo logaritamsku jednadžbu: - 5.2 = log H + .

Uz primjenu svojstva inverznosti imamo sljedeću eksponencijalnu jednadžbu: 10 - 5.2 = H + .

H + = 0.000006309 = 6.309 · 10 - 6

Zanimljivost

Kisele kiše uništavaju šume.

Jeste li znali? Što je pH niži, to je otopina kiselija.

Zato što se za pH koristi logaritamska skala, da bi se pH smanjio za 1 jedinicu potrebno je deset puta povećati kiselost otopine.

To znači da će se kiselost jezera povećati deset puta ako se pH jezera smanji za jednu jedinicu!

Pogledajte posljedice "kisele kiše".

Već smo ranije spominjali kamatni račun. Vrlo je važno da ga dobro proučite. Dobro je znati raspolagati svojim novcem. Novac ćete možda trebati posuditi ili ćete ga štedjeti/uložiti. Pod kojim uvjetima ga posuditi? Kako ga je najbolje uložiti?

Proučimo nekoliko primjera.

C n = C 0 · e k t

C 0  - uloženi ili posuđeni novac

k  - kamatnjak

t  - vrijeme u godinama

C n  - dobiveni novac ili glavnica s kamatama

Primjer 5.

Štedjeli ste neko vrijeme i imate 80 000 kn . Za kupovinu automobila koji želite treba vam 95 000 kn . Ako novac stavite na štednju uz kamatnjak od 3 % , koliko godina ćete trebati štedjeti da biste mogli kupiti željeni automobil?

Postavimo jednadžbu.

C n = C 0 · e k t

95 000 = 80 000 · e 0.03 t

e 0.03 t = 19 16

0.03 · t · ln e = ln 19 16

t = ln 19 16 0.03 = 5.73

Za približno 5 godina i 9 mjeseci imat ćete dovoljno novca.

Zadatak 4.

Problem iz prethodnog primjera možemo promotriti i s druge strane.

  1. Ne želite čekati toliko dugo. Posudit ćete novac, tj. dignuti kredit od 15 000 kn na 5.73 godine, uz kamatnjak od 3 % . Koliko ćete novca vratiti? ​
  2. Ili vam vrijeme štednje ne odgovara. Želite za kraće vrijeme doći do novca. Koliki treba biti kamatnjak ako želite uštedjeti novac za 2 godine?
  1. Vratit ćete 17 813.39 kn .
  2. Trebat ćete banku koja na pologe ima kamatnjak od 8.6 % .

C n = C 0 1 + r n n t

C n  - količina novca nakon određenog vremena štednje

C 0  - početna suma novca

r - kamatnjak

n  - koliko se puta godišnje pripisuje kamata

Primjer 6.

Kad ste se rodili, vaši roditelji su oročili 10 000 kuna kako bi vam skupili novac za studiranje, uz kamatnjak 4 % i pripisivanje kamate kvartalno.

  1. Koliko ćete novca imati kad navršite 18 godina?
  2. S kolikim kamatnjakom su vaši roditelji trebali oročiti novac da za 18 godina imate 30 000 kuna?

Rješenje:

  1. C n = C 0 1 + r n n t

    C n = 10 000 1 + 0.04 4 4 · 18 = 20 470.99

  2. 30 000 = 10 000 1 + r 4 4 · 18

    3 = 1 + r 4 72

    ln 3 = 72 · ln 1 + r 4

    0.015 = ln 1 + r 4

    e 0.015 = 1 + r 4

    r = 4 · e 0.015 - 1 = 0.06

    Kamatnjak je trebala biti 6 % .

Povezani sadržaji

1960. W. F. Libby dobio je Nobelovu nagradu za otkriće metode radioaktivnog izotopa ugljika C - 14 . To je tehnika kojom se može odrediti starost fosila, odjeće, kostiju, stijena, itd. Primjenjuje se u arheologiji, antropologiji, geologiji.

Ugljik dioksid u zraku sadrži radioaktivni izotop ugljik- 14 , isto kao i stablini izotop, ugljik 12 . Biljke apsorbiraju ugljik dioksid iz zraka, što znači da je omjer ugljika- 14 i ugljika- 12 u biljkama (ili životinjama koje jedu biljke) isti kao u zraku. Kad biljka ili životinja ugine, apsorpcija prestaje. Ugljik 12 koji se nalazi u životinji ili biljci ostaje isti, dok se količina ugljika 14 postupno smanjuje, a omjer ugljika 14 i ugljika 12 eksponencijalno pada.

Omjer ugljika 14 i ugljika 12 u vremenu t dan je sljedećom funkcijom:

R t = R 0 e - k t

Vrijeme poluraspada ugljika 14 je 5730 godina.

Primjer 7.

Stari artefekt

Arheolog je pronašao staru posudu u kojoj je omjer ugljika 14 i ugljika 12 jedna petina omjera iz atmosfere. Koliko je pronađena posuda stara?

Prema danim podacima ​ R t = 1 5 R 0 , zato je:

1 5 R 0 = R 0 e - k t / : R 0

1 5 = e - k t

ln 1 5 = - k t

t = ln 5 k  uz vrijeme poluraspada od 5730 godina možemo izračunati:

k = ln 2 5 730 = 0.000121.

Tako je starost predmeta:

t = ln 5 k = 13 300  godina.

Inspektor Bero i slučaj stare kosti

...i na kraju

Inspektor Bero

Sjećate li se inspektora Bere? Konačno je otišao na odmor. Nakon zamršenih slučajeva baš mu je trebao. I baš kada...

Ali da ne duljim, pogledajte što se dogodilo!

Evo što je Marin izračunao:

Prema danim podacima ​ R t = 1 3 R 0 , zato je:

1 3 R 0 = R 0 e - k t / : R 0

1 3 = e - k t

ln 1 3 = - k t

t = ln 3 k  uz vrijeme poluraspada od 5730 godina možemo izračunati:

k = ln 2 5 730 = 0.000121.

Pa je starost predmeta:

t = ln 3 k = 9 079  godina.

Ako je i bilo ubojstvo, ubojicu će biti jako teško pronaći.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Vrijednost motornih sanjki možemo prikazati jednadžbom y = 45000 0.93 t , gdje je t broj godina od kupovine. Nakon koliko godina će vrijednost motornih sanjki biti 25 000 kuna?

null
2

Količina preostale radioaktivne tvari nakon t godina opada prema jednadžbi N = N 0 e - 0.0315 t , gdje je N 0 početna količina tvari. Koliko godina treba da od 30 g ostane 15 grama?

null
null
3

Jednadžba s pomoću koje možemo odrediti broj bakterija nakon određenog vremena je P = P 0 · 2 2 t .

P 0 je početni broj bakterija, a t je proteklo vijeme. Ako je početni broj bakterija 275 , nakon koliko sati će ih biti 15 000 ?

 

null
4

Leonard je Ivanu ponudio mogućnost ulaganja s kamatom od 8.73 % , ali pod uvjetom da Ivan uloži 50 000 kuna. Leonard tvrdi da će se uloženi novac udvostručiti nakon 5 godina. Je li to točno?

null
5

Odaberite jednadžbu za grafički prikaz rješenja.

a

 

null
6

Odaberite jednadžbu za grafički prikaz rješenja.

B

null
7

Odaberite jednadžbu za grafički prikaz rješenja.

C

null
null
8
Zadana je eksponencijalna jednadžba 16 2 - x = 4 2 x + 8 . Rješenje jednadžbe je .
null
9

 Rješenje eksponencijalne jednadžbe 25 x = 5 x + 6  na dvije decimale je:

null
10

 Rješenje logaritamske jednadžbe log 4 n = 5 2  je:

null
null
11

Redoslijed riješene logaritamske jednadžbe se pomiješao. Poredajte dijelove pravilnim redoslijedom.

  • x 3 4 = 16   ​
  • log 5 x 3 4 = log 5 16   ​
  • x 3 = 64   ​
  • log 5 x 3 - log 5 4 = log 5 16   ​
  • x = 4   ​
  • 3 log 5 x - log 5 4 = log 5 16   ​
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

7.4 Eksponencijalne nejednadžbe