x
Učitavanje

7.4 Eksponencijalne nejednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Novi automobil

Kupujete novi automobil nakon godina štednje. Vaš automobil svake godine gubi 15.3 % svoje vrijednosti.

Zabrinuti ste? Razmišljate unaprijed?

Želite znati za koliko vremena će vrijednost vašeg novog automobila biti upola manja od početne cijene. To je trenutak kad ćete ga mijenjati i kupiti novi. Ali kako planirati? Možete li znati za koliko godina će se to dogoditi?

Odgovor će vam dati eksponencijalna nejednadžba.

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe.

Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Ponavljanje

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam vrlo važna svojstva eksponencijalne funkcije. Ponovite svojstvo injektivnosti, kojim ste se već koristili prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.

Monotonost eksponencijalne funkcije vrlo je važna za ispravno rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.

Zadatak 1.

Mijenjajući vrijednost a klizačem na interakciji mijenjate vrijednost baze eksponencijalne funkcije. Ako je baza veća od 1 , funkcija raste, a za bazu između 0 i 1 funkcija pada. Što to znači?

Promatrajte dvije točke na funkciji.

  1. Ako je baza veća od 1 , a x 1 < x 2 , u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za x 1 i x 2 ?
  2. Ako je baza između 0 i 1 , a x 1 < x 2 , u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za x 1 i x 2 ?
Povećaj ili smanji interakciju

Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od 1 , raste li funkcija ili pada?

null
null

Ako je baza eksponecijalne funkcije broj između 0 i 1 , raste li funkcija ili pada?

null
null

Eksponencijalna funkcija ima bazu veću od 1 .

Ako vrijedi x 1 < x 2 , koji znak nejednakosti stoji između ​ a x 1  i a x 2  
Ako vrijedi x 1 > x 2 , koji znak nejednakosti je između a x 1 i a x 2  
null
null

Eksponencijalna funkcija ima bazu između 0 i 1 .

Ako vrijedi x 1 < x 2 , koji znak nejednakosti ide između a x 1  i a x 2  
Ako vrijedi x 1 > x 2 , koji znak nejednakosti ide između a x 1  i a x 2  
null
null

Zadatak 2.

Ako niste točno odgovorili na pitanja i pojam monotonosti još vam nije sasvim jasan, pogledajte rješenja koja slijede.

Prikaz rastuće funkcije - objašnjenje uz pomoć dvije točke grafa.

Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od 1 , funkcija je rastuća.

Iz x 1 < x 2 slijedi a x 1 < a x 2 .

Prikaz padajuće funkcije - objašnjenje uz pomoć dvije točke grafa.

Ako je baza eksponencijalne funkcije manja od 1 , a veća od 0 , funkcija je padajuća.

Iz x 1 < x 2 slijedi a x 1 > a x 2 .


Primjena monotonosti kod eksponencijalnih nejednadžbi

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

  • a f x < a g x f x < g x , a > 1 , a 1
  • a f x > a g x f x > g x , a > 1 , a 1
  • a f x > a g x f x < g x , 0 < a < 1 , a 1
  • a f x < a g x f x > g x , 0 < a < 1 , a 1

Primjer 1.

Riješimo eksponencijalne nejednadžbe primjenom svojstva monotonosti.

  1. 7 3 x + 4 < 49 2 x + 1
  2. 1 6 2 x - 10 1 36 3 x + 13

Rješenja:

  1. 7 3 x + 4 < 49 2 x + 1

    7 3 x + 4 < 7 2 2 x + 1

    7 3 x + 4 < 7 4 x + 2

    Baza funkcije veća je od 1 , pa je funkcija rastuća, te je nejednadžba ekvivalentna s nejednadžbom:

    3 x + 4 < 4 x + 2

    - x < - 2 / · - 1

    x > 2

    x 2 , .

  2. 1 6 2 x - 10 1 36 3 x + 13

    1 6 2 x - 10 1 6 6 x + 26

    Baza funkcije manja je od 1 , funkcija je padajuća, pa je nejednadžba ekvivalentna s nejednadžbom:

    2 x - 10 6 x + 26

    - 4 x 36 / : - 4

    x - 9

    x - , - 9 .

Zadatak 3.

Riješite zadatake primjenom monotonosti.

  1. 12 x - 4 > 144 x - 6
  2. 8 x - 1 1 2 2 x - 1
  3. 81 3 - x > 1 3 5 x - 6
  1. x < 8
  2. x < 4 5
  3. x > - 6

Primjer 2.

Riješimo eksponencijalne nejednadžbe.

  1. 5 x · 25 x + 1 1 5
  2. 3 2 4 x + 1 < 3 2 2 x + 3

Rješenja:

  1. 5 x · 25 x + 1 1 5

    5 x · 5 2 x + 2 1 5

    5 3 x + 2 5 - 1

    3 x + 2 - 1

    3 x - 3

    x - 1

  2. 3 2 4 x + 1 < 3 2 2 x + 3

    I u ovom primjeru možemo primijeniti monotonost, i to dva puta ili koliko puta je potrebno.

    2 4 x + 1 < 2 2 x + 3

    4 x + 1 < 2 x + 3

    2 x < 2

    x < 1

Zadatak 4.

Riješite nejednadžbe.

  1. 16 · 4 y - 1 < 1 2
  2. 1 3 2 x - 5 < 1 3 2 3 - 2 x
  1. y < - 3 2
  2. x > 8 3

Koraci rješavanja eksponencijalne nejednadžbe pomiješali su se. Posloži ih da dobiješ pravilan redoslijed.

  • x < 1 2   ​
  • 2 x - 1 < 2 - x   ​
  • x + x < 1  
  • 2 x - 1 < 1 2 x   ​
  • 2 x < 1   ​
  • x - 1 < - x   ​
null
null

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi primjenom inverznosti

Primjer 3.

Sjetite se jedinice 7.1 Eksponencijalne jednadžbe koju smo rješavali u primjenom inverznosti.

10 x - 2 = 5

U ovom zadatku je baza a = 10 . Prikažimo jednadžbu pripadajućim inverzom, dekadskim logaritmom i s pomoću džepnog računala izračunajmo x .

x - 2 = log 5 x = log 5 + 2 = 2.69897 2.7

Možemo li sličan postupak ponoviti za nejednadžbu 10 x - 2 > 5 ?

Na što moramo paziti? Moramo paziti na bazu i razmišljati o monotonosti. Kako je baza 10 , funkcija je monotono rastuća.

x - 2 > log 5

x > log 5 + 2

x > 2.69897

Primjer 4.

Riješimo eksponencijalnu nejednadžbu.

e 8 - 5 x < 7

Baza je e , pa je funkcija monotono rastuća.

8 - 5 x < ln 7

- 5 x < ln 7 - 8

x > 8 - ln 7 5

x > 1.2108

Možemo li riješiti ovu nejednadžbu na drugi način? Logaritmirajmo nejednadžbu prirodnim logaritmom.

ln e 8 - 5 x < ln 7

Iskoristimo li sada svojstvo ln e x = x , imamo sljedeću nejednakost:

8 x - 5 < ln 7 , koja je jednaka kao u prvom slučaju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonost logaritamske funkcije.

Istražite monotonost logaritamske funkcije uz pomoć interakcije koju ćete sami izraditi. Upute pogledajte u sljedećem videu.

Ako je:

  • a > 1 i x > y , onda je log a x > log a y
  • 0 < a < 1  i x > y , onda je log a x < log a y .

Također vrijedi:

  • a > 1  i log a x < log a y , onda je x < y
  • 0 < a < 1  i log a x < log a y , onda je x > y .  

Primjer 5.

Riješimo eksponencijalnu nejednadžbu.

2 5 x > 5 8 - 5 x

log 2 5 x > log 5 8 - 5 x

Dobivenu nejednadžbu riješimo kao logaritamsku jednadžbu.

5 x log 2 > 8 - 5 x log 5

5 x log 2 > 8 log 5 - 5 x log 5

5 x log 2 + log 5 > 8 log 5

Iskoristimo još jedno svojstvo logaritama.

5 x log 10 > 8 log 5

5 x > 8 log 5

x > 8 5 · log 5

x > 1.2

Zadatak 5.

Riješite eksponencijalne nejednadžbe različitih baza.

  1. 5 7 - x 4 x - 5
  2. 1 2 · 4 3 - x 7 2 x · 49
  3. 25 · 4 5 x > 10
  1. 5 7 - x 4 x - 5 / log

    log 5 7 - x log 4 x - 5

    7 - x log 5 x - 5 log 4

    7 log 5 - x log 5 x log 4 - 5 log 4

    - x log 5 + log 4 - 5 log 4 - 7 log 5

    - x log 20 - 5 log 4 - 7 log 5 / : - log 20

    x 5 log 4 + 7 log 5 log 20

    x 6.0745

    Prema sličnom postupku dobiju se rješenja i u drugim dvama slučajevima.

  2. x - 0.081
  3. x 4.1063

Zadatak 6.

  1. Rješenje eksponencijalne nejednadžbe 3 x + 2 < 3 10  je:

    null
    null
  2. Rješenje nejednadžbe 3 x + 5 3 11 > 1  je:

    null
    null
  3. Rješenje nejednadžbe 1 3 x < 3 x + 5  je:

    null
    null
  4. Rješenje nejednadžbe 2 2 x + 4 < 2 3 x + 8  su svi brojevi veći od - 4 .

    null
    null
  5. Ako je 6 a + b < 6 8   i 5 b - a = 5 4 , onda je a manje od .
    null
    null
  6. Ako je 3 x 3 · 3 y < 1 , što je od sljedećeg točno za x i y ?

    null
    null

Primjena metode supstitucije

Primjer 6.

Kvadratna nejednadžba i prikaz rješenja.

Riješimo nejednadžbu:

2 x + 4 x > 6  

Imamo li nejednadžbu istih ili različitih baza? Ako 4 x prikažemo kao 2 x 2 , imamo iste baze, ali i broj 6 . Ako 2 x  u nejedandžbi zamijenimo novom nepoznanicom y , imamo novu nejednadžbu. Kojoj vrsti nejednadžbi pripada ta nejednadžba?

y 2 + y - 6 > 0

To je kvadratna nejednadžba. Prikažimo je grafički.

Dakle, y < - 3  ili y > 2 . Ako u nejednadžbe umjesto y vratimo 2 x , imamo dvije eksponencijalne nejednadžbe:

2 x < - 3  i 2 x > 2 .

Kako 2 x  ne može biti negativno, ostaje nam riješiti drugu nejednadžbu. Baza je pozitivna, pa slijedi x > 1 .

Zaključak je da su rješenja početne nejednadžbe svi brojevi veći od 1 .

Primjer 7.

Kvadratna nejednadžba i prikaz rješenja.

Riješimo nejednadžbu ​ e 2 y + 4 e y - 21 < 0 .

Ako umjesto e y uvrstimo t , imamo nejednadžbu:

t 2 + 4 t - 21 < 0

Dakle, - 7 < t < 3 . Slijedi da je - 7 < e y < 3 . Ako logaritmiramo, dobit ćemo:

ln - 7 < y ln e < ln 3 . Kako lijeva strana nije definirana za negativne brojeve, imamo:

y < 1.1

Zadatak 7.

Riješite eksponencijalnu nejednadžbu ​ 3 · 25 x + 2 · 5 x - 5 > 0 .

x > 0   ​


Zanimljivost

Simbol na rukama Indijanaca.

Kad su se prvi put pojavili znakovi nejednakosti?

Prvi koji je upotrijebio simbole za strogo veće > i strogo manje < bio je matematičar Thomas Harriot. Prvi put su upotrijebljeni u knjizi "Analitička umjetnost primijenjena na rješavanje algebarskih jednadžbi", koja je objavljena 1631. godine, nakon njegove smrti.

Navodno je Harriot inspiraciju dobio putujući po Sjevernoj Americi, gdje je na rukama Indijanaca vidio simbol:

Kutak za znatiželjne

Riješimo jedan složeniji problem.

Ako su a i b minimum i maksimum skupa svih rješanja nejednadžbe  2 x · 2 · 2 x + 8 8 x · 5 - 2 x , koliko je a + b ?

Ako 2 x  zamijenimo s t , dobit ćemo nejednadžbu:

t 2 t + 8 - t 3 5 - t 0

Tu nejednadžbu ćemo faktorizirati.

t t + 1 t - 2 t - 4 0

Vidimo da predznake sada trebamo ispitati u sljedećim intervalima:

- , - 1  , - 1 , 2  , 2 , 4  i 4 , .

Nejednakost je zadovoljena u prvom i trećem intervalu, ali uz uvjet t = 2 x > 0 imamo za rješenje jedino treći interval.

Slijedi da je minimum 1 , a maksimum 2 , uz rješavanje 2 x = 2  i 2 x = 4 , pa je a + b = 1 + 2 = 3 .

...i na kraju

stari auto

Za kraj riješimo vaš problem s automobilom.

Ako je godišnje opadanje vrijednosti 15.3 % , onda vrijednost automobila nakon x godina možemo izračunati sljedećom formulom:

v = v 0 1 - 0.153 x , gdje je

v  - vrijednost automobila nakon x godina

v 0  - početna vrijednost automobila

x - starost automobila.

Kad početnu jednadžbu sredimo, imamo:

v = v 0 · 0.847 x

Uvjet da je vrijednost automobila upola manja od početne cijene daje nam nejednakost:

v 1 2 v 0  

Kad u tu nejednakost uvrstimo početnu jednadžbu, imamo eksponencijalnu nejednadžbu.

v 0 · 0.847 x 1 2 v 0 , odnosno

0.847 x 1 2 .

Kad riješimo nejednadžbu, dobit ćemo da je vrijednost automobila veća ili jednaka pola početne vrijednosti sve do 4.2 godine starosti. Nakon toga automobil treba mijenjati.

Idemo na sljedeću jedinicu

7.5 Logaritamske nejednadžbe