x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Što je zajedničko tim fotografijama?

    Parabole oko nas

    Projekt

    Ne moramo ići u Sydney, San Francico, Pariz ili daleku Australiju (a možda bismo i mogli) da bismo pronašli parabole. One su i tu negdje oko nas, samo se treba osvrnuti.

    Organizirajte tim i krenite u potragu za parabolama koje ćete moći izmjeriti te pronaći kvadratnu funkciju koja najbolje odgovara tom obliku.

    Predlažemo sljedeći tijek aktivnosti:

    1. ​Pronađite i snimite više primjera „parabola”. Možete napraviti i „selfie” s parabolom kako bi se vidjelo da su to doista vaše slike.
    2. Odaberite sliku čije dimenzije u stvarnosti najlakše možete izmjeriti ili dobiti podatke o njoj (širina parabole – nultočke; visina parabole – tjeme; izmjeriti neke druge točke kojima ćete upisati koordinate; možete pronaći podatke o nekoj građevini, skulpturi, portalu, vodoskoku i sl. te ih iskoristiti za definiranje točaka na paraboli).
    3. Nakon što ste dobili minimalno tri podatka, počnite računati parabolu. Odaberite u koju jednadžbu parabole ćete uvrštavati podatke: y = a x 2 + b x + c , y = a x - x 0 2 + y 0 ili y = a x - x 1 x - x 2 . Nacrtajte parabolu na papiru (prilagodite omjere) i napišite joj jednadžbu.
    4. Vratite se u školske klupe (ili kod nekoga tko ima volje napraviti palačinke – pa zaslužili ste), smjestite sliku u koordinatni sustav u nekom programu dinamične geometrije (npr. GGB), nacrtajte parabolu kroz točke koje ste prethodno izračunali te prilagodite sliku paraboli.
    5. Razgovarajte o dobivenim rezultatima. Ako su se parabole donekle poklopile, zašto se to dogodilo (tko je zaslužan), ili ako postoji pogreška, zbog čega se dogodila (pogreška u računu ili možda ipak taj oblik koji ste odabrali nije oblik parabole nego nešto slično).
    6. Napravite pregled tijeka svojih aktivnosti (video, prezentacija, plakat) te prezentirajte to u razredu.

    Pogledajte kako su učenici Elektrotehničke i prometne škole iz Osijeka izmjerili Dravski most.

    Praktična vježba

    Kako još možemo doći do jednadžbe parabole nekog oblika u prirodi ili utvrditi ima li on uopće oblik parabole? S pomoću GeoGebre. Pogledajte u nastavku postupak dobivanja jednadžbe parabole.


    Koraci koji prate animaciju u nastavku:

    Povećaj ili smanji interakciju

    Sada pokušajte sami.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Različiti zapisi kvadratne funkcije

    1. Koju formulu treba primijeniti da se dobije parabola kojoj je zadano: a)

      tri proizvoljne točke na paraboli
      y = a x - x 0 2 + y 0   ​
      tjeme i još jedna točka parabole
      y = a x - x 1 x - x 2   ​
      nultočke i još jedna točka parabole
      y = a x 2 + b x + c   ​
      null
      null
    2. Koordinate tjemena parabole y = - x + 3 2 - 2 su:

      null
      null
    3. Parabola je okrenuta prema:

      null
      null
    4. Dobije se pomakom parabole y = - x 2 u smjeru osi x (lijevo/desno) za te u smjeru osi y (gore/dolje)  za .
      null

       

    5. Iz kojeg oblika jednadžbe parabole možemo bez računanja pročitati presjek s osi y ?

      null
    6. Presjek parabole i osi y je točka ( ,  ).
      null
      null
    7. Jesu li ove parabole jednake?

      null
      null
    8. Koordinate tjemena su:

      x 0 =  
      y 0 =  
      null
    9. Nultočke parabole su:
      manja, x 1 = i veća x 2 = .
      null
      null
    10. Graf parabole je:

      Graf parabole 1

      Graf parabole 2

      Graf parabole 3

      Graf parabole 4

      null
      null

    Zadatci za najupornije

    Zadatak 1.

    Riješite nejednadžbu:

    2 x - 25 2 x 2 + 2 x - 3 + 2 x + 11 2 x 2 - 1 > 1 x + 3 .

    x - 3 , - 1 1 , +   ​


    Povezani sadržaji

    Zadan je polinom P x = 2 x 3 - x 2 - 14 x + 7 . Provjerite je li 1 2 jedna nultočka tog polinoma i rastavite ga na linearne faktore.

    Da, lako se provjeri uvrštavanje u polinom, P 1 2 = 0 .

    Kako imamo jednu nultočku, znamo da je polinom djeljiv s ​ x - 1 2 . Prisjetite se dijeljenja polinoma iz Matematke 1:

    2 x 3 - x 2 - 14 x + 7 : x - 1 2 = 2 x 2 - 14 .

    Sređivanjem umnoška dobije se rješenje:

    P x = 2 x - 1 x 2 - 7 = 2 x - 1 x - 7 x + 7 .


    Kutak za znatiželjne

    Riješite u skupu cijelih brojeva sustav nejednadžbi.

    y - x 2 - 2 x + 1 2 > 0 y + x - 1 < 2

    Nađite presjek dviju pripadajućih jednadžbi.

    Uputa: riješite zadatak grafički (primijenite metodu pomaka grafa).

    Grafičko rješenje zadatka

    Nacrtajte: y = x 2 - 2 x - 1 2 y = - x - 1 + 2 .

    Postupak crtanja/dobivanja rješenja:

    • parabolu y = x 2 - 2 x = x x - 2 pomaknemo za 1 2 dolje
    • iz početne nejednadžbe dobijemo ​ y > - 1 2 (što se moglo odmah naslutiti zbog pomaka po osi y )
    • apsolutnu vrijednost y = - x  pomaknemo za 1  udesno i za 2 gore
    •  iz početne nejednadžbe dobijemo ​ y < 2 (što se moglo naslutiti odmah zbog pomaka za 2 )
    • potražimo za koje x -eve je - 1 2 < y < 2
    • kako se traže cjelobrojna rješenja, lako se iz grafa vidi da je rješenje 0 i 2 .

    Savjet:

    Upotrijebite GeoGebrin predložak za crtanje parabole (imate u tekstu iznad). U polje za unos upišite (ne)jednadžbe (GeoGebra podržava i nejednadžbe). Za upis znaka apsolutno i kvadrat upotrijebite virtualnu tipkovnicu u donjem lijevom kutu. Prema potrebi, zumirajte grafički prikaz. Iz grafa pročitajte cjelobrojna rješenja presjeka na osi x .


    Riječi, riječi, riječi...

    Zadatak 2.

    Za danu funkciju f x = a x 2 + b x + c  odredite koeficijente a , b i c , tako da funkcija ima jednu nultočku 3 te ekstremnu vrijednost - 4 za x = 1 .

    a = 1 , b = - 2 , c = - 3


    Zadatak 3.

    Od konopa duljine 28 cm napravite pravokutnik najveće površine. Kolika je površina dobivenog pravokutnika?

    Dobit ćemo kvadrat stranice 7 cm i površine 49 cm 2 .


    Povezani sadržaji

    Moment sile je umnožak sile i njezine najkraće udaljenosti do točke u kojoj se moment računa.
    Ako sila čiji moment računamo izaziva rotaciju u smjeru kazaljke na satu, moment ima negativan predznak. U suprotnom je pozitivan.

    Na slici je prikazano opterećenje grede na dva oslonca te djelovanje momenta savijanja na gredu.

    Istražite dodatno značenje pojmova: moment sile, greda, težina i savijanje.

    Više o funkciji momenta savijanja doznajte od nastavnika Fizike.

    Zadatak 4.

    Slika grede s dva nosača na krajevima
    Izvor: https://hr.Wikipedia.org/wiki Licenca: CC BY-SA 4.0 Autor: Hermanoere

    Greda mase m i duljine L oslonjena je svojim krajevima na oslonce i opterećena je vlastitom težinom m g . Funkcija momenta savijanja dana je formulom M x = - m g 2 L · x 2 + m g 2 · x , gdje je x udaljenost od lijevog oslonca grede. Odredite:​

    1. maksimalni moment savijanja
    2. moment savijanja u točki udaljenoj 1 3 L od lijevog oslonca (oslonci su nultočke funkcije, iz zadane je funkcije vidljivo da je graf funkcije momenta okrenut prema dolje i prolazi kroz ishodište).
    1. M m a x = m g 8 L
    2. M 1 3 L = m g L 9

    Zadatak 5.

    Za koje je vrijednosti parametra m funkcija ​ y = m x 2 + 2 m + 2 x + 2 m + 4 negativna za svaki x ?

    Ovaj zadatak možete riješiti s pomoću interakcije. Napravite brojač za m , upišite u polje za unos jednadžbu parabole te mijenjajte m . Rješenje:  m < - 2 .


    ...i na kraju

    Parabola uz 5. zadatak

    Gotovo svaki zadatak s kvadratnom funkcijom može se riješiti s pomoću digitalnih alata (npr. GeoGebre). Međutim, na maturi još ne možemo rabiti nijedan digitalni alat za rješavanje zadataka. Zato vam na kraju nudimo nekoliko oblika zadataka kakvi se pojavljuju na maturi (bez uporabe GGB-a). Provjerite koliko ste naučili o kvadratnoj funkciji.

    1. Zadana je funkcija f x = - 2 x 2 + 2 x + 4 . Nacrtajte graf te funkcije. Riješite nejednadžbu f x 4 i rješenje napišite s pomoću intervala.
    2. Riješite nejednadžbu 3 x - 2 x - 1 < 0 i njezina rješenja zapišite s pomoću intervala.
    3. Zadana je funkcija ​ f x = a x 2 + 3 2 x + 9 4 . Odredite sjecište grafa funkcije s osi y . Najveća vrijedost funkcije jednaka je 3 . Odredite a .
    4. Riješite nejednadžbu 3 x 2 - 2 > 5 x i njezina rješenja zapišite s pomoću intervala.
    5. Odredite jednadžbu parabole prikazane na slici.